绿豆酥-年总总结

.
球的体积和表面积
[学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关
的组合体的计算问题.

知识点一 球的体积公式与表面积公式
4
3
1.球的体积公式< br>V
＝
π
R
(其中
R
为球的半径).
3
2.球的表面积公式
S
＝4π
R
.
思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
答 球没有底面，球的表面不能展开成平面.
知识点二 球体的截面的特点
1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何 截面均为圆，它的三视图也都
是圆.
2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直 角三角形是把空间问题转化为平面问
题的主要途径.
2

题型一 球的表面积和体积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
500
(2)已知球的体积为
π，求它的表面积.
3
解 (1)设球的半径为
R
，则4π
R
＝64π，解得
R
＝4，
4
3
4
3
256
所以球的体积
V
＝
π
R
＝
π·4
＝
π.
333
4
3500
(2)设球的半径为
R
，则
π
R
＝
π， 解得
R
＝5，
33
所以球的表面积
S
＝4π
R
＝4π×5＝100π.


跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( )
64π32π
A.64π B. C.32π D.
33
答案 D
.
22
2

.
4
32
解析 设球 的半径为
R
，则由题意可知4π
R
＝16π，故
R
＝2.所 以球的半径为2，体积
V
＝
π
R
3
32
＝
π.
3
题型二 球的截面问题
例2 平面α截球
O
的球面所得圆 的半径为1.球心
O
到平面α的距离为2，则此球的体积
为( )
A.6π B.43π C.46π D.63π
答案 B
解析 如图，设截面圆的圆心为
O
′，
M
为截面圆上任一点，
则
OO
′＝2，
O
′
M
＝1.
∴
OM
＝(2)＋1＝3.
即球的半径为3.
4
3
∴
V
＝
π(3)
＝43π.
3
跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面
积为________.
答案 9π
解析 如图，是过长方体的一条体对角线
AB
的截面，设长方体 有公共
顶点的三条棱的长分别为
x
，
y
，
z
，则由 已知，
2

xy
＝
得

yz
＝

zx
＝
3，
5，
15，


x
＝3，
解得

y
＝1，

z
＝5.


11
222
3
所以球的半径
R
＝
AB< br>＝
x
＋
y
＋
z
＝，
222
所以
S
球
＝4π
R
＝9π.
题型三 球的组合体与三视图
例3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.
2
.

.

解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体
的表面积为 S
＝×4π×1
2
＋6×2
2
－π×1
2
＝2 4＋π.
该几何体的体积为
1
2
V
＝2
3
＋×
π×1
3
＝8＋.

跟踪训练3 有三个球，第一个球内切于正方 体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三
个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.
解 设正方体的棱长为
a
.
①正方体的内切球球心是正方体的中心，
切点是正方体六个面的中心，
经过四个切点及球心作截面，
如图(1)所示，则有2
r
1
＝
a
，
即
r
1
＝，所以
S
1
＝4π
r
1
＝π
a
.
2
1
2
4
3
2π
3
a< br>22

②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，
.

.
如图(2)所示，则2
r
2
＝2< br>a
，即
r
2
＝
所以
S
2
＝4πr
2
＝2π
a
.
22
2
a
，
2
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，
如图(3)所示 ，则有2
r
3
＝3
a
，即
r
3
＝
所以
S
3
＝4π
r
3
＝3π
a
.
综上可得
S
1
∶
S
2
∶
S
3
＝ 1∶2∶3.



轴截面的应用

例4 有一个倒圆 锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为
r
的铁
球，并注入水 ，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.
分析 分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量.
解 如图，⊙
O
是球的最大截面，它内切于△
ABC
，球的半径为
r
.设将球取出后 ，水平面在
22
3
a
，
2
MN
处，
MN
与
CD
交于点
E
.则
DO
＝
r
，
AD
＝3
r
，
AB
＝
AC
＝
BC
＝23
r
，
22

1

1
33
CE

CD

∴
CD
＝3
r
.由 图形知
V
圆锥
CE
∶
V
圆锥
CD
＝

π·
ME
·
∶

π·
AD
·
＝
CE
∶
CD
.


3

3


π
23又∵
V
圆锥
CD
＝(3
r
)·3
r
＝ 3π
r
，
3
V
圆锥
CE
＝
V
圆 锥
CD
－
V
球
O
＝3π
r
3
－< br>π
r
3
＝
π
r
3
，
5π
r
3
333
∴∶3π
r
＝
CE
∶(3
r< br>)，∴
CE
＝15
r
.
3
3
∴球从容器中取出后，水的深度为15
r
.


3
4
3
5
3
.

.

1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A.36π，144π
C.144π，36π
B.36π，36π
D.144π，144π
2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
1
A. B.1 C.2 D.3
2
3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.

4.若球的半径由
R
增加为2
R
，则这个球的体积变为原 来的________倍，表面积变为原来的
________倍.
5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.




一、选择题
1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )
48π
A.
π B.
C.43π D.323π
33
2.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( )
A.8 B.82 C.83 D.42
3.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
4.设正方体的表面积为24 cm，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )
3284
33 33
A.6π cm B.
π cm
C.
π cm
D.
π cm

333
5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为
r
，
R
，则球的表面积为( )
2
.

.
A.4π(
r
＋
R
)
C.4π
Rr

2
B.4π
rR

D.π(
R
＋
r
)
2
22
6.已知底面 边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为
( )
32π4
A. B.4π C.2π D.
π
33
7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个
球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，
如果不计容器厚度，则球的体积为( )
500π
3
A. cm
3
1 372π
3
C. cm
3


二、填空题
8.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m.
3
B.
D.
866π
3
cm
3
2 048π
3
cm
3

9π
9.已知一个正方体的所有顶 点在一个球面上.若球的体积为，则正方体的棱长为_____.
2
10.正四棱锥的顶点都 在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是
________.
11.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱
的底面半 径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是
______cm.

三、解答题
12.如图所示，半径为
R
的半圆内的阴影部分以直径
AB
所在直线为轴，旋转一周得到一几何
体，求该几何体的表面积.(其中∠
BAC< br>＝30°)

.

.







13.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥的内切球的体积.







当堂检测答案
1.答案 B
4
32
解析 球的半径为3，表面积
S
＝4π·3＝36π，体积< br>V
＝
π·3
＝36π.
3
2.答案 D
4
32
解析 设球的半径为
R
，则4π
R
＝
π
R
，所以
R
＝3.
3
3.答案
3
2
4
3
4
3
解析 设大球的半径为
R
，则有
π
R
＝2×
π×1
，
33
R
3
＝2，∴
R
＝2.
4.答案 8 4
4
32
解析 球的半径为
R
时，球的体积为
V
1< br>＝
π
R
，表面积为
S
1
＝4π
R
， 半径增加为2
R
后，球
3
432
3322
的体积为
V
2
＝
π(2
R
)
＝
π
R
，表面 积为
S
2
＝4π(2
R
)＝16π
R
.
33
3
.

.
32
3
π
R
V
2
3
S
2
16π
R
2
所以＝ ＝8，＝＝4，
V
1
4
3
S
1
4π
R< br>2
π
R
3
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.
5.答案 3π
解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面 面积与截面面
1
积的和，即×4π＋π＝3π.
2


课时精练
一、选择题
1.答案 C
解析 由题意可知，6
a
＝24，∴
a
＝2.
设正方体外接球的半径为
R
，则
4
3
3
a
＝2
R
，∴
R
＝3，∴
V
球
＝
π
R
＝43π.
3
2.答案 A
解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，
∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不 妨设正方体的棱长为
a
，则有
4
22
3
a
＝4，即
a
＝.
3
4
2
∴正方体的表面积为6
a
＝6×＝8.
3
3.答案 A
解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为
R
1
∶
R
2
＝1∶9.
4.答案 D
解析 由正方体的表面积为24 cm，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2cm，故这
4
3
个球的体积为
π cm
.
3
5.答案 C
解析 方法一 如图，设球的半径为
r
1
，则在Rt△
CDE
中，
DE
＝2
r
1
，
22
CE
＝
R
－
r
，
DC
＝
R< br>＋
r
.由勾股定理得4
r
2
1
＝(
R
＋
r
)－(
R
－
r
)，解得
r
1
2
22
2
＝
Rr
.故球的表面积为
S
球
＝4π
r
1
＝4π
Rr
.
2
.

.
方法二 如图，设球心为
O
，球的半径为
r1
，连接
OA
，
OB
，则在Rt△
AOB
中，
OF
是斜边
AB
上的高.由相似三角形的性质得
OF
＝BF
·
AF
＝
Rr
，即
r
1
＝
Rr
，故
r
1
＝
Rr
，故球的表面积为
S
球
22
＝4π
Rr
.
6.答案 D
解析 ∵正四棱柱 的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为
1＋1＋(2)＝2.又∵正四棱柱的顶点 在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一
条直径，∴球的半径
R
＝1. 4
3
4
故球的体积为
V
＝
π
R
＝π.
33
7.答案 A
解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解. 11
如图，作出球的一个截面，则
MC
＝8－6＝2(cm)，
BM＝
AB
＝×8＝4(cm).设
22
球的半径为
R
c m，则
R
＝
OM
＋
MB
＝(
R
－2)＋4 ，∴
R
＝5，
4500π
33
∴
V
球
＝
π×5
＝(cm).
33
二、填空题
8.答案 9π＋18
解析 将三视图还原为实物图后求解.
3
由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；
2
上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，
427
所以
V
＝
π×
×2＋1×3×6＝9π＋18.
38
9.答案 3
22222
2
解析 先求出球的半径，再根据正 方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为
a
，
球半径为
R
，
4
3
93
则
π
R
＝
π，∴
R
＝
，∴3
a
＝3，∴
a
＝3.
322
10.答案
81
π
4
解析 由已知条件可知，球 心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为
R
，球心为
O
，正
9
222
四棱锥底面中心为
E
，则
OE
＝|4－
R< br>|，所以(4－
R
)＋(2)＝
R
，解得
R
＝.所以 球的表面
4
81π
2
积
S
＝4π
R
＝.
4
.

.
11.答案 4
解析 设球的半径为< br>r
，则圆柱形容器的高为6
r
，容积为π
r
×6
r< br>＝6π
r
，高度为
4
32,332
8 cm的水的体积为8π
r
3个球的体积和为3×
π
r
＝4π
r
，由题意得 6π
r
－8π
r
3
＝4π
r
，解得
r＝4(cm).
三、解答题
12.解 如图所示，
3
23

过
C
作
CO
1
⊥
AB
于
O
1
.
在半圆中可得∠
BCA
＝90°，∠
BAC
＝30 °，
AB
＝2
R
，
∴
AC
＝3
R
，
BC
＝
R
，
CO
1
＝
3
3< br>R
，∴
S
球
＝4π
R
2
，
23
S
圆锥AO
1
侧
＝π×
2
R
×3< br>R
＝
2
π
R
2
，
S
圆锥BO1
侧
＝π×
2
R
×
R
＝
2
π
R
2
，
∴
S
几何体表
＝
S
球< br>＋
S
圆锥AO侧
＋
S
圆锥BO侧

11< br>33
11
2
3
2
11＋3
2
＝
π< br>R
＋
π
R
＝
π
R
.
222
11＋3
2
故旋转所得几何体的表面积为
π
R
.
2
13.解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形
CAB
内接于⊙
O
，⊙
O
1
内切于△
ABC
.

4
3
设⊙
O
的半径为
R
，由题意，得
π
R
＝972π，
3
所以
R
＝729，
R
＝9，所以
CE
＝18.
已知
CD
＝16，所以
ED
＝2.
连接
AE
，因为
CE
是直径，所以
CA
⊥
AE< br>，
.
3

.
所以
CA
＝
CE
·
CD
＝18×16＝288，所以
CA
＝122，
因为
AB
⊥
CD
，所以
AD
＝
CD
·DE
＝16×2＝32，
所以
AD
＝42，
2
2
S
圆锥侧
＝π×42×122＝96π.
(2)设内切球
O
1
的半径为
r
，
因为△
ABC
的周长为2×(122＋42)＝322，
11
所以
S
△
ABC
＝
r
·322＝×82×16，解得
r
＝4，
22
4
3
256
所以内切球
O
1
的体积
V
球
＝
π
r
＝
π.
33


.