红豆简谱-什么并不平凡

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41中高三
数学
第一轮复习—空间几何体的表面积和体积
一．命题走向
由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色：
（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；
（2）考题可能为：与多面体和旋转 体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转
体中某些元素有关的计算问题；
二．要点精讲
1．多面体的面积和体积公式
名称
棱
柱
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
棱
台
正棱台
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
全面积(S
全
) 体 积(V)
S
底
·h=S
直截面
·h
S
侧
+2S
底

S
底
·h
S
侧
+S
底

1
S
底
·h
3
ch
各侧面积之和
棱
锥
1
ch′
2
各侧面面积之和
1
S
侧
+S
上底
+S
下底

(c+c′)h′
2
1
h(S
上底
+S
下底
3< br>+
S
下底
S
下底
)
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式

名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
πrh(即πrl)
22
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l < br>π(r
1
+r
2
)l+π(r
1
+r
2)
22
球

4πR
2
S
侧

S
全

V
1
2
πrh
3
1< br>22
πh(r
1
+r
1
r
2
+r
2
)
3
4
3
πR
3
表中l、h分别表示母线、高 ，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示圆台 上、
下底面半径，R表示半径。
四．典例解析
题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm
2
，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.
解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
依题意得：

(1)

2(xyyzzx)20

(2)

4(xyz)24
由（2）
2
得：x
2
+y
2
+z
2
+2xy+2yz+2xz=36（3）
由（3）－（1）得x
2
+y
2
+z
2
=16
即l
2
=16
所以l=4(cm)。

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点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表
面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、
体积之间的 关系。

例2．如图，三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB
1
C
1
将三 棱柱分
成体积为V
1
、V
2
的两部分，那么V
1
∶ V
2
= ____ _。

解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为 S，体积为V，则V=V
1
+V
2
＝Sh。
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴S
△AEF
=
1
S,
4
V
1
=
1
117
h(S+S+
S
)=Sh
4
123 4
V
2
=Sh-V
1
=
5
Sh，
12
∴V
1
∶V
2
=7∶5。
点评：解题的关键 是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应
关系。最后用统一的量建立比值得到 结论即可。

P
题型2：锥体的体积和表面积
例3．（2006上海， 19）在四棱锥P－ABCD中，底面是
边长为2的菱形，∠DAB＝60

，对角线 AC与BD相交
于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角
为60，求四棱锥 P－ABCD的体积？
解：（1）在四棱锥P- ABCD中，由PO⊥平面ABCD,
得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO，
于是PO=BOtan60°=
3
，而底面菱形的面积为2
3
。
∴四棱锥P－ABCD的体积V=


A
B
O
D
C
1
×2
3
×
3
=2。
3
点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力
方面主 要考查空间想象能力。

A
例4．（2006江西理，12）如图，在四面体ABC D中，截面AEF
经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，
O
DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，
D
设四棱锥A－BEFD与三 棱锥A－EFC的表面积分别是S
1
，S
2
，则
F
必有（ ）
B
A．S
1
S
2
B．S
1
S
2

E
C．S
1
=S
2
D．S
1
，S
2
的大小关系不能确定
C

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解：连OA、OB、OC、OD，
则V
A
－
BEFD
＝V
O
－
ABD
＋V
O
－
ABE
＋V
O
－
BEFD
< br>V
A
－
EFC
＝V
O
－
ADC
＋V
O
－
AEC
＋V
O
－
EFC
又V
A
－
BEFD
＝V
A
－
EFC
，
而每个 三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S
ABD
＋S
ABE
＋S
BEFD
＝S
ADC
＋S
AEC
＋S
EFC
又面 AEF公共，故选C
点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体 积、
表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。


题型3：棱台的体积、面积
例5．（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S 、S′，中截面的面积是S
0
，那么
（ ）
A．
2S
0
SS

B．
S
0
S

S
C．2S
0
＝S＋S′ D．S
0
2
＝2S′S
（2） （1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体
积为（ ）
A．32
3
B．28
3
C．24
3
D．20
3

解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；
（2）正六棱台上下底面面积分 别为：S
上
＝6·
3
2
3
2
·2＝6
3< br>，S
下
＝6··4＝24
3
，
44
V
台＝
h(S
上
S
上
S
下
S
下)283
，答案B。
点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“ 特例法”来解，此种
解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。





题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题 < br>例6．（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与
侧面 积的比是（ ）
1
3
12

A．
2

14

12

B． C．
4

14

D．
2

解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.
∴< br>S
全
=2πr
2
+（2πr）
2
=2πr
2
（1+2π）.
S
侧
=h
2
=4π
2
r< br>2
，
∴
S
全
12

。答案为A。 
S
侧
2

点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积 等知识。

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例7．（2003京春理 13，文14）如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适
量的水.若放入一个半径为r的实 心铁球，水面高度恰好升高r，则
R
= 。
r

解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR
2
·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有
4
3
R23
23
πr=πR
2
r。故< br>
。答案为。
3
3
r3
点评：本题主要考查旋转体的基础知 识以及计算能力和分析、解决问题的能力。


题型4：圆锥的体积、表面积及综合问题
例8．（1）（2002京皖春，7）在△ABC中 ，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如
图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则 所形成的旋转体的体积是（ ）
A．



（2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
全面积是（ ）A．3π B．3

解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B— ADE体积之差，又
∵求得AB=1。
∴
VV
CADE
V< br>BADE

（2）∵S＝
9
π
2
B．
7
π
2
C．
5
π
2
D．
3
π
2
图
3
，则这个圆锥的
3
π C．6π D．9π
1513

，答案D。


3

31
3232
11
absinθ，∴a
2
sin60°＝< br>3
，
22
∴a
2
＝4，a＝2，a=2r，
∴r＝1，S
全
＝2πr＋πr
2
＝2π＋π＝3π，答案A。 < br>点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是
空间想象力 深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

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例9．（2000全国文，12）如图所示，O A是圆锥底面中心O到母线的垂线，
OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的 夹角的
余弦值为（ ）
A．
11
1
B． C．
3
2
22
D．
1

4
2
图
解析：如图所示，由题意知，
1
2
1πrh＝πR
2
h，
3
6
∴r＝
R
． 又△ABO∽△CAO，
2
rOA
R
2
R
2
< br>∴，∴OA＝r·R＝
,OA
4
，
OAR
22
∴cosθ＝
图
OA1

4
，答案为D。
R
2
点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。


题型5：球的体积、表面积
例10．已知过球面上
A,B,C
三 点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
ABBCCA2
，求球的表面积。
解：设截面圆心为
O

，连结
O

A
，设球半径为
R
，
则
O

A
2323
2
，
323
222
在
RtO

OA
中，
OAO

AO

O
，
∴
R(
∴
R
2
23
2
1
2
)R
，
34
4
，
3
2
∴
S4

R
64

。
9
点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

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例 11．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且
PA=PB =PC=a，求这个球的表面积。

解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O′，球心到该圆面
的距离为d。
在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA=
2
a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。
由正弦定理，得
2a
6
=2r,∴r=a。
sin603
又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，
22
∴P、O、O′共线，球的半径R=
r
2
d
2
。又PO′=PAr
=
a
2
3
2
2
a
=a，
3
3
∴OO′=R －
3
3
22
a=d=
Rr
,(R－
3
3
a)
2
=R
2
– (
3
6
2
a)，解得R=a,
2
3
∴S
球
=4πR
2
=3πa
2
。
点评：本题也可用补形法求解 。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体
内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易 得球半径R=
3
a,下略。
2
题型9：球的面积、体积综合问题

例12．（1）（2006四川文，10）如图，正四棱锥
PABCD
底面的四个顶
点
A,B,C,D
在球
O
的同一个大圆上，点
P
在 球面上，如果
V
PABCD

则球
O
的表面积是（ ）
A．
4

B．
8

C．
12

D．
16





（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱 长为
6
，
求球的表面积和体积。

解析：（1）如图，正四棱锥< br>PABCD
底面的四个顶点
16
，
3

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S
ABCD
2R
2
，点
P
在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，
A,B,C,D
在球
O
的同一 个大圆上，
V
PABCD

16116
2
，所以
2RR
，R=2，球
O
的表面积是
16

，选D。
333
（2）作轴截面如图所示，

CC

6
，
AC2623
，
设球半径为
R
，
则
ROCCC


22

(6)(3)9

222
∴
R3
，
∴
S
球
4

R36

，
V
球

2
4
< br>R
3
36

。
3
点评：本题重点考查球截面的性 质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素
转化成球的几何要素。

例1 3．表面积为
324

的球，其内接正四棱柱的高是
14
，求这个正 四棱柱的表面积。
解： 设球半径为
R
，正四棱柱底面边长为
a
，

则作轴截面如图，
AA

14
，
AC
又∵
4

R324

，∴
R9
，
∴
AC
2
2a
，
AC

2
 CC

2
82
，∴
a8
，
∴
S
表
6423214576

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题型6：球的经纬度、球面距离问题
例14．在半径为
13cm
的球面上有
A,B,C
三点，
ABBC AC12cm
，求球心到经过
这三点的截面的距离。
解：设经过
A,B,C
三点的截面为⊙
O

，
设 球心为
O
，连结
OO

，则
OO

平面
ABC
，
∵
AO


32
1243
，
23
∴
OO

OA
2
OA

2
 11
，
所以，球心到截面距离为
11cm
．



例15．在北纬
45
圈上有
A,B
两点，设该纬度圈上< br>A,B
两点的劣弧长为
球半径），求
A,B
两点间的球面距离。 2

R
（
R
为地
4
解：设北纬
45< br>圈的半径为
r
，则
r
2
R
，设
O

为北纬
45
圈的圆心，
AO'B

，
4< br>∴

r
∴


222

R
，∴
R



R
，
424
，∴
AB

2
2rR
，
∴
ABC
中，
AOB

3
，
所以，
A,B
两点的球面距离等于

3
R
．
点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，

例16．地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为
两地经度的差.
解：90度



，求A、B

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空间几何体的表面积和体积思维总结
1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积：S
全
=
3
a；
2
(2)体积：V=
2
3
a；
12
2
a；
2
(3)对棱中点连线段的长：d=
(4)内切球半径：r=
6
a；
12
6
a；
4
(5)外接球半径 R=
(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角
四面 体有下列性质：
如图 ，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。
则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积 V=
④底面△
ABC
=
2
1
abc；
6
1
2
a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
a
2
；
⑤S
△ABC
=S
△BHC
·S
△ABC
； 2222
⑥S
△BOC
=S
△AOB
+S
△AOC=S
△ABC

1111
=+
2
+
2
;
22
OHabc
1
⑧外切球半径 R=
a
2
b
2
c
2
；
2
⑦
⑨内切球半径 r=
S
AOB
S
BOC
-S
ABC

abc
3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为
r，则
sinα=cos
α+

h
= ，
2l

=90°


2

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cosα=sin

r
= .
2l
②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分
别为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。
③球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：
r=
R
2
-d
2
.

4．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；

纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；

经度：某地的经度就是经过这点 的经线与地轴确定的半平面与
0
经线及轴确定的半平
面所成的二面角的度数。
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

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5. 两点的球面距离：
球面上两点 之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点的球面距 离
两点的球面距离公式：（其中R为球半径，

为A,B所对应的球心角的弧度数）