飞来横祸的读音-红楼梦刘姥姥进大观园

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空间几何体的表面积和体积
一．课标要求：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向 < br>近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体
积求某些元 素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几
何体为依托.因而要熟练 掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学
会运用等价转化思想，会把组合体求 积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求
解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运 用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：
（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；
（2）考题可能为：与多面体和旋转 体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转
体中某些元素有关的计算问题；
三．要点精讲
1．多面体的面积和体积公式

名称
棱
柱
棱
锥
棱
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
全面积(S
全
) 体 积(V)
S
底
·h=S
直截面
·h
S
侧
+2S
底

S
底
·h
S
侧
+S
底

S
侧
+S
上底
+S
精品资料
ch
各侧面积之和
1
ch′
2
各侧面面积之和
1
S
底
·h
3
1
h(S
上底
+ S
下底
3

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台 正棱台
1
(c+c′)h′
2
下底

+
S
下底
S
下底
)
表中S表示面积，c′、c 分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱
长。
2．旋转体的面积和体积公式

名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
πr
2
h(即πr
2
l)
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l
π(r
1
+r2
)l+π(r
2
1
+r
2
2
)
球

4πR
2

S
侧

S
全

V
1
2
πrh
3
1< br>πh(r
2
1
+r
1
r
2
+r
2< br>2
)
3
4
πR
3

3
表中l、h 分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示 圆台 上、
下底面半径，R表示半径。
四．典例解析
题型1：柱体的体积和表面积
例1．一个长方体全面积是20cm
2
，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线 长.








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例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB=5，AD=4，AA
1
= 3，
AB⊥AD，∠A
1
AB=∠A
1
AD=

。
3
（1）求证：顶点A
1
在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；
（2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2







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题型2：柱体的表面积、体积综合问题
例3．一个长方体共一顶点的三 个面的面积分别是
2,3,6
，这个长方体对角线的长是
（ ）
A．2






例4．如图，三棱柱 ABC—A
1
B
1
C
1
中，若E、F分别为AB、AC 的 中点，平面EB
1
C
1
将三棱柱分成体积为V
1
、V
2
的两部分，那么V
1
∶V
2
= ____ _。


3
B．3
2
C．6 D．
6

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题型3：锥体的体积和表面积
（2015湖北卷3）
用与球心距离为
1< br>的平面去截球，所得的截面面积为

，则球
的体积为
A
B
E
P
D
O
C
82

8

A. B. C.
82


3
3
D.

32


3
例6．（2015北京，19）．
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
PABCD
中，平面
PA D
平面
ABCD
，
AB∥DC
，
△PAD
是等边 三
P
角形，已知
BD2AD8
，
AB2DC45
．
（ Ⅰ）设
M
是
PC
上的一点，证明：平面
MBD
平面
PAD
；
A
（Ⅱ）求四棱锥
PABCD
的体积．
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D
M
C
B

______ __________________________________________________ __________________________________________________ ____
精品资料
P
M
D C
A
O
B

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题型4：锥体体积、表面积综合问题
例7．ABCD是边长 为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于正方形
ABCD所在的平面，且GC＝2， 求点B到平面EFG的距离？












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例8．（2015江西理，12）
如图，在四面体ABCD中，截面 AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，
且与BC，DC分别截于E、F，如果截面 将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD
与三棱锥A－EFC的表面积分别是S
1
，S
2
，则必有（ ）
A．S
1
S
2
B．S
1
S
2

C．S
1
=S
2
D．S
1
，S
2
的大小关系不能确定















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A
O
D
F
B< br>E
C

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题型5：棱台的体积、面积及其综合问题
例9．（2015四川理，19）
（本小题满分12分）
如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都 是直角梯形，∠BAD=∠
FAB=90°，BC∥
1
AD，BE∥
1
2
2
AF，G、H分别是FA、FD的中点。
(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？
(Ⅲ)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.


















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F
G H
E
A
D
B C

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例10．（1）（2015四川理，8） 设
M,N
是球心
O
的半径
OP
上的两点，且
N PMNOM
，分别过
N,M,O
作垂线于
OP
的面截球得三个圆 ，则这三个圆的面积之比为：( )
（Ａ）
3,5,6
（Ｂ）
3,6,8
（Ｃ）
5,7,9
（Ｄ）
5,8,9


例11．（2015四川文，12）
若三棱 柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为
60
的菱形，则
0
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该棱柱的体积等于( )
（Ａ）
2
（Ｂ）
22
（Ｃ）
32
（Ｄ）
42











例12．如图9—9，一 个底面半径为
R
的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径
为
r
的实心铁球，水面高度恰好升高
r
，则
R
= 。
r





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题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题
例13．已知过球面上
A,B,C
三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
ABBCCA2
，求球的表面积。












图
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例14．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果 PA，PB，PC两两互相垂直，
且PA=PB=PC=
a
，求这个球的表面积。














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题型9：球的面积、体积综合问题
例15．（1）表面积为
3 24

的球，其内接正四棱柱的高是
14
，求这个正四棱柱的表面
积 。
（2）正四面体
ABCD
的棱长为
a
，球
O
是 内切球，球
O
1
是与正四面体的三个面和球
O
都
相切的一个 小球，求球
O
1
的体积。








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题型10：球的经纬度、球面距离问题
例19．（1）我国首都靠近北 纬
40
纬线，求北纬
40
纬线的长度等于多少
km
？（地球
半径大约为
6370km
）
（2）在半径为
13cm
的球 面上有
A,B,C
三点，
ABBCAC12cm
，求球心到经过
这三点的截面的距离。




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例16．在北纬
45
圈上有
A,B
两点，设该纬度圈上
A,B
两点的劣弧长为
地球半径 ），求
A,B
两点间的球面距离。











2

R
（
R
为
4
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31、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线
长.






< br>32、一块边长为10
cm
的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个 全等的
等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积
V
与
x的函数关系式,并求出
函数的定义域. (12分)





E
D
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O
B
C
F
10
5
x
A

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33.已知两个几何体的三视图如下，试求它们的表面积和体积。单位：CM

图（2

图（1）












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34.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（ 供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底
面直径为12M，高4M。养路处拟建一个更大的圆锥 形仓库，以存放更多食盐。现有两种方
案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变）；二是高 度增加4M(底面直径不变)。
（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3） 哪个方案更经济些？












35 （14分） （如图）在底半径为
2
，母线长为
4
的圆锥中内 接一个高为
3
的
圆柱，求圆柱的表面积.





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36.(2015年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABC－
A
1
B
1
C
1
的底面边长是2，D，E是CC
1
，BC的中点，AE＝DE.
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的表面积．




五．思维总结

1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积：S
全
=
3
a
2
；
(2)体积：V=
2
3
a；
12
2
a；
2
(3)对棱中点连线段的长：d=
(4)内切球半径：r=
6
a；
12
6
a；
4
(5)外接球半径 R=
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(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角
四面 体有下列性质：
如图 ，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，
OA=a,OB=b,OC=c 。
则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积 V=
④底面△
ABC
=
1
abc；
6
1
2
a
2
b
2
b
2
c
2
c2
a
2
；
⑤S
2
△ABC
=S
△B HC
·S
△ABC
；
⑥S
2
△BOC
=S
2
△AOB
+S
2
△AOC
=S
2
△ABC
111
1
=+
2
+
2
;
22
OHab
c
1
⑧外切球半径 R=
a
2
b
2
c
2
；
2
⑦
⑨内切球半径 r=
S
AOB
S
BOC
-S
ABC

abc
3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，
则
sinα=cos
α+

h
= ，
l
2

=90°


2

r
= .
l
2
cosα=sin
②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别
为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。
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③球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：
r=
R
2
-d
2
.

4．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；

纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；

经度：某地的经度就是经过这点 的经线与地轴确定的半平面与
0
经线及轴确定的半平
面所成的二面角的度数。
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。
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5. 两点的球面距离：
球面上两点之间的最 短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点的球面距离
两点的球面距离公式：（其中R为球半径，

为A,B所对应的球心角的弧度数）
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