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空间几何体的表面积和体积
【要点梳理】：
要点一：空间几何体的表面积和体积公式
项目
名称
棱柱
棱锥
底面
平面多边形
平面多边形
平行四边形
三角形
侧面
面积=底·高
面积=
1
·底·高
2
1
·（上底+下底）·高
2
棱台

项目
名称
圆柱
平面多边形 梯形
面积=
表面积

S
圆柱表
2

r2

rl2
r(rl)
（底面半径为r，母线长
l
）
S圆锥表=πr+πr
l
=πr（r+
l
）
2
2
圆锥
圆台

项目
名称
柱体 棱柱
圆柱
棱锥
锥体
S
圆台表


(r'
2
r
2
r'lrl)

体积
V
棱柱
=Sh
V
圆柱
=Sh=πrh

V
棱锥

2
1
Sh

3
圆锥

棱台
台体
1
V
棱台
h(SSS'S')

3
11V
圆台
h(SSS'S')

h(r
2
rr 'r'
2
)

33
圆台

项目
名称
球
2
表面积
平S
球
=4πR
4
V
球


R
3

3
1
体积

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．

3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．

要点二、侧面积与体积的计算

1．多面体的侧面积与体积的计算
在掌握 直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的
表面积与体 积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），
以求得 其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．
（1）棱锥平行于底的截面的性质：
在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：
S
小锥底
S
大锥底

S
小锥全
S
大锥全

S
小锥侧
S
大锥侧

对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．
要点诠释：
这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在 求台体的侧面积、
底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．
（2）有关棱柱直截面的补充知识．
在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正 棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的
截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：
S
棱柱侧
=C
直截
l
（其中C
直截
、
l< br>分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），
V
棱柱
=S
直截
l< br>（其中S
直截
、
l
分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）．
2．旋转体的侧面积和体积的计算
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的 面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展
开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及 解决有关问题的关键．
（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高 ，要充分运用多面体的
有关问题的关键．
2

【典型例题】
类型一、简单几何体的表面积
例1．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，如下图，求正四棱锥的侧面积和
表面积．
【思路点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。
【答案】32 cm
2
48cm
2
【解析】 正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE．∵OE=2 cm，∠OPE=30°，∴
PE
OE11
4cm
．因此
S
侧
Ch '44432(cm
2
)
，
sin3022
2
S
表面积
=S
侧
+S
底
=32+16=48（cm）．
【总结升华】（1）求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三角形的高（称为斜高），这就需要充分利用 棱锥
的高、边心距（底面中心到各边的距离）和斜高所构成的直角三角形来求解．（2）求圆锥的侧面积 只需利
用公式即可求解．
举一反三：
【变式1】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC
，
求它的表面积。
【答案】
3a
【解析】利用等边三角形面积公式求出一个面的面积，再乘以4即可。
【变式2】圆锥的母线长扩大到原来的
n
倍，底面半径缩小为原来的
A．1倍 B．
n
倍 C．
n
倍 D．
2
2
1
，那么它的侧面积变为原来的（ A ）
n
1
倍
n
3


24
【变式3】若圆锥的侧面展开图是半径为
1
的半圆，则这个圆锥的体积是 。答案：
例2．圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和底面半径也相等，求圆柱的表面积和 圆锥的表面
积之比．
【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。【答案】
21
< br>【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r、R，圆锥的母线长为
l
．
则有
rRrr1
，即

，∴R=2r，
l2R


RRR2
S
圆柱表
2

r
2
 2

r
2
4

r4

r
2
1
∴
21

S
圆锥表

R2R

R
2
(21)

R(21)4r
2
21
【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体．这种切接问题一般要画出其轴截面来分析，利用相似 三角形
求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算．
例3．一个直角梯形的上底、下底 、高的比为
1:2:3
，求由它旋转而成的圆台的
上底面积，下底面积和侧面积的比．
【答案】1∶4∶6
【解析】如右图，设上、下底和高分别为x、2x、
3x
，
3

则母线
l(2xx)(3x)2x
， ∴S
上底=πx，S
下底
=π(2x)=4πx，S
侧
=π(x+2x)2x=6 πx．
2222
22
∴圆台的上、下底面积及侧面积之比为1∶4∶6．
【总结升华】解题的关键是利用轴截面是等腰梯形，进而化为直角梯形、直角三角形，从而将上、下底半
径、高、母线等集中在一个直角三角形中研究．
举一反三：
【变式1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开扇环的圆心角是180°，那么圆台
的表面积是多少？（结果中保留π）
【答案】
1100π
【解析】如图，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C=π·SA
又C=2π×10=20π，所以SA=20同理SB=40，所以AB=SB-SA=20

S
表
=S
侧
+S
上底
+S
下底




【变式2】正四棱台的斜高与上、下底面边 长之比为
5:2:8
，体积为
14cm
3
，则棱台的高为 。








【变式3 】邻边长为a，b的平行四边形，且a＞b，分别以a，b两边所在直线为轴旋转这个平行四边形，
所得 几何体的表面积分别为S
1
，S
2
，则有（ ）
A．S
1
＜S
2
B．S
1
＞S
2
C．S
1
＝S
2
D．S
1
≥S
2

【答案】B【解析】把平行四边形看成特殊的矩形，直接求出即可。
类型二、简单几何体的体积
例4．如右图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条 侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA=2，
PB=3，PC=4，求三棱锥P- ABC的体积V．
【思路点拨】由于PA⊥PB且PA⊥PC，而PB与PC相交于P，所以PA垂直 于平面
PBC，即PA为三棱锥A—PBC的高，从而顺利地求出其体积．
【答案】4
4

【解析】三棱锥的体积
V
1
Sh< br>，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意
3
一个面都可以作为底面，所以此题可把A 看作顶点，△PBC作为底面求解．
1111
VV
APBC
ShS
PBC
PA4324
．
3332
【总结升华】 本例中，不是先求出以△ABC为底面的三棱锥的高，而是把它
转化为三棱锥A—PBC的高．这种方法 的依据是：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来处理．这
一方法叫做体积转换法（或等积 法），随着知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌握．
举一反三：
【变式1】（1）各棱长都为1的正四棱锥的体积V=________．
（2）如右图，正 方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长 为2，动点E，F在棱A
1
B
1
上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若< br>EF=1，A
1
E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ）
A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关
C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关
【解析】（1）




（2）从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面 A
1
B
1
CD面积的而当P点变化时，它到面A
1
B
1
CD的距
离是变化的，即y的大小，影响P到面A
1
B
1
CD的距离，因此会导致四面体体积的变化．故选D．

例5．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则这个几何体的体积为 m
【答案】
6


【解析】 由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的．
其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和．
即
V

rhabc

13321

=

6
（m）
3
3

1
3
2
1
3
2
【总结升华】给出几何体的三视图，求该 几何体的体积或表面积时，首先
根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课 标
高考的热点，应引起重视．
举一反三：
【变式1】 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A．
8

2


B．
8

33
C．
82

D．
2


3
5

【答案】A
【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥
所得，所以其体积是正方体的体积减去 圆锥的体积之差，即
8
类型三、球的表面积与体积
例6．求体积为
V
的正方体的外接球的表面积和体积．
【答案】
2

．
3
3

V

2
【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体
任一面的球的截面，则 其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在
圆上）．因此，这样的截面无法反映球的半 径与正方体的棱长的关系，注意到球心必
在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面 即可．
如图，以正方体的对角面
ACC
1
A
1
作球的截面 ，则球心
O
为
AC
1
的中点，设正方体的棱长为
x
，则
22
3
x
3
V,x
3
V
，而< br>AC2x,ACAAAC
111111
3x3V
R
3
3
V

2
43
S
球
4
R
2
3

3
V
2
,V
球


R
3


V

32
【总结升华 】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外
接球的有关问 题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图．
解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于 仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的
位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使 这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，
尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问 题平面化的目的．
举一反三：
【变式1】设长方体的长、宽、高分别为
2a,a, a
，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 。
A．
3

a
B．
6

a
C．
12

a
D．
24

a

【答案】B【解析】长方体的对角线的长度，就是球的直径
【变式2】圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径 相
同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是 cm．
【答案】4
【解析】设球的半径为r cm，则底面圆的半径为r cm，从而有
2
22
2
4
8

r
2
3
r
3
6r

r
2
，由此解得r=4。
3

【变式3】点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=
3，则这个球的表面积为（ ）

A．2π B．4π C．8π D．16π

6

，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为

【解析】根据题意知，直角三角 形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心
在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体AB CD的体积的最大值，由
于底面积S
△ABC
不变，高最大时体积最大，

所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S
△ABC
×DQ=3，

即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，

OA=AQ+OQ，即R=（
故选：D．

类型四、多面体和旋转体表面上的最短距离问题
例
7．
如图，S﹣ABC是 正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，三角形BEF的周长的最小
值为，则侧棱S A，SC的夹角为（ ）

2222
）+（3﹣R），∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×2=16π．

222

A．30° B．60° C．20° D．90°

【解 析】把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，△SBC、△SCA、△SAB'，

连接BB'，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，BB'=
22 22
a，又SB=SB'=a，根据勾股
定理，SB+SB'=BB'=2a，△SBB'是等 腰直角三角形，∴∠BSB'=90°，∴∠ASC=90°×=30°，

∴侧棱SA，SC的夹角为30°故选A

举一反三：
【变式】在长方体A BCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA1
=3，AD=4，AB=5，由A在表面到达C
1
的最短行程为（ ）

A．12 B． C． D．

【解析】从A点沿不同的表面到C
1
，其距离可采用将长方体展开的方式求得，

7

分别是=，=4，=3

∴从A点沿表面到C
1
的最短距离为
类型五、球面距离及相关计算
．故选：B．

例8．半径为R的球O中有两个半径分别为2
共弦长为R，则R=（ ）

A．4 B．5 C．3 D．4

与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆 的公
【解析】设两圆的圆心分别为O
1
、O
2
，球心为O，公共弦为 AB，其中点为E，则
OO
1
EO
2
为矩形，于是OO
1< br>=O
2
E=，AB=2AE=2=R∴R=4．故选：D．


举一反三：
【变式1】已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是（ ）

A．1 B．2 C．1或7 D．2或6

【解析】画出球的截面图． 如图所示．是一个球的大圆，两平行直线是球的两个平行截面的直径，

有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧，

对于①，m，n=，两平行截面间的距离是：m+n=7；

对于②，两平行截面间的距离是：m﹣n=1；故选C．


【变式2】地球半径为R，则北纬60圈的长度是（ ）

0
A．R B．R C．R D．πR

【解析】地球的半径为R，则地球北纬60°的纬线圈的半径为： R．则地球北纬60°的纬线圈的周长等于
πR故选：D．

【巩固练习】
1．侧棱长和底面边长都为1的正三棱锥的体积是（
B
）
A．
132112
B． C． D． 2412244
1332
33

，高为，则体积为

．
34312
43
2. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是
3,4,5< br>，且它的
8
个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
【解析】正三棱锥的底 面面积为
（ B ）
8

A．
25

B．
50

C．
125

D．都不对
【解析】 长方体的对角线是球的直径 ，
l34552,2R52,R
222
52
,S4

R
2
50


2
3. 圆台的一个底面周长是另 一个底面周长的
3
倍，母线长为
3
，圆台的侧面积为
84

，则圆台较小底面的
半径为（ A ）
A．
7
Ｂ．
6
Ｃ．
5
Ｄ．
3

【解析】
S
侧面积


(r 3r)l84

,r7

4. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ B ）
A.
1:2:3
B.
1:3:5
C.
1:2:4
D.
1:3:9

【解析】 从此圆锥可以看出三个圆锥，
r
1
:r
2
:r
3
 1:2:3,l
1
:l
2
:l
3
1:2:3,


S
1
:S
2
:S3
1:4:9,S
1
:(S
2
S
1
):( S
3
S
2
)1:3:5

5. 正方体的内切球和外接球的半径之比为( D )
A．
3:1
B．
3:2
C．
2:3
D．
3:3

【解析】正方体的内切球直径是正方体的边长，正方体的外接球的直径是正方体的对角线，所以正方体的
内切球和外接球的半径之比为
1:3
，即
3:3
．

6．如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( B )



【解析】该几何体是有一个球和一个圆柱组合而成的，故体积是
两体积之和．

7. 过球半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，那么这个截面的面积与球的大圆
面积之比是 3:4 ．
A．

12
B．

18

C．
9

42
D．
36

18

9
2
9
2

3

3
2
R
，则截面的面积与大圆的面积比为
< br>

R:

R3:4
． 【解析】如图，求出截面圆的半径 为


2

2

8. 把一个三棱锥的各棱都增大到原来的2倍，那么它的体积增大的倍数是 8 ．
【解 析】∵把一个三棱锥的各棱都增大到原来的2倍，∴令原三棱锥的高为h
1
，底面面积为S1
，新三棱锥
的高为h
2
，底面面积为S
2
，则h2
=2h
1
，S
2
=4S
1
．∴v
1
=
h
1
s
1
， v
2
=
h
2
s
2

增大的倍数是8．
9. 正六棱柱的高为5
cm
，最长的对角线长为13
cm
，则它的侧面积为 180
cm
．
【解析】正六棱柱的底面最长对角线为
13
2
5
2
12
，所以底面边长为6，则它的侧面积为
9

2
2
1
3
1
3
1
2h
1
4s
1
8V
1
，即它的体积
3

665180
cm
2
．
10. 若三个球的表面积之比是
1:2:3
，则它们的体积之比是_______
1:22:33
______．
333333
【解析】
r:r :r1:2:3,r:r:r1:(2):(3)1:22:33

123123
11.已知正三棱柱的侧面积为
183cm
，高为
3cm
．求它的体积．
【解析】由已知得棱锥底面边长为6，则体积为
93cm
．

12. 六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧 棱长为13cm，
求它的表面积.
【解析】一个侧面如下图，易知
a
3< br>2
188
5
，
h13
2
5
2
12
.
2

则
S
侧面积
6
18 81
12936(cm
2
)
，
S
上底
=8 (8sin60
o
)6963(cm
2
)
，
22
S
下底

1
18(18sin60
o
)6 4863(cm
2
)

2
0
2
所以，表面积为< br>93696348639365823(cm)

13. 将圆心角为
120
，面积为
3

的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
【解析】设扇形的半径和圆锥的母线都为
l
，圆锥的半径为
r
，则

120
2
2


l3

,l3
；
32

r,r1
；
S表面积
S
侧面
S
底面


rl

r
2
4

,

3603
1122Sh

1
2
22

．
333

V

10