立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心
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§5 立体图形
1.立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心
图形
[立方体]
体积
表面积
侧面积
体积、表面积、侧面积、几何重心
a为棱长，d为对角线
对角线
[长方体]
重心 G在对角线交点上
体积
表面积
侧面积
对角线
a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线
[三棱柱]
重心
G在对角线交点上
体积 V=Fh (式中F为底面积)
表面积 S
=2
F
+
M (式中F为底面积)
侧面积 M=(a+b+c)h
重心
a,b,c分别为边长，h为高
（P,Q分别为上下底重心）
[正六棱柱]
体积
表面积
侧面积
对角线
a为底边长，h为高，d为对角线
重心
体积
表面积
（P,Q分别为上下底重心）
[正棱锥]
侧面积
(式中F为底面积,F'为一侧三角形面积)
n为棱数，a为底边长，h为高，g为斜高
重心
体积
（Q为底面的重心）
[四面体]
重心
a,b,c,p,q,r为棱长
重心)
PQ
(为顶点，为底面的
[棱台]
体积
式中
F
,
F'
分别为上下底面积）
（
重心
h为高
PQ
(，分别为上下底重心)
体积
[正棱台]
侧面积
表面积 S = M + F
+ F'
（
式中
F
,
F'
分别为上下底面积）
重心
a'，a分别为上下底边长，n为棱数，h为高，g
为斜高
PQ
[截头方锥体]
(，分别为上下底重心)
体积
重心
两底为矩形，a'，b'，a，b分别为上下底边长，h
为高，a
1
为截头棱
长
(，分别为上下底重心)
PQ
[楔形]
体积
重心
底为矩形，a，b分别为其边长，h为高，a'
为上
棱长
[球体]
P
为上棱中点
Q
(，为下底面重心)
体积
表面积
r为半径，d为直径
[半球体]
重心 G与球心O重合
体积
表面积
侧面积
r为半径，O为球心
重心
[球扇形（球状楔）]
体积
表面积
侧面积
重心
r为球半径，
α
为锥角（弧度），a为弓形底圆半
径，h为拱高
体积
[球冠（球缺）]
表面积
侧面积
r为球半径，a为拱底圆半径，h为拱高
重心
体积
[球台]
表面积
侧面积
r为球半径，a
',
a分别为上下底圆的半径，h为高
重心
Q
（为下底圆心）
[圆环胎]
体积
表面积
重心 G在圆环的中心上
R为中心半径，D为中心直径，r为圆截面半径，d
为圆截面直径
[圆柱体]
体积
表面积
侧面积
重心
r为底面半径，h为高
[中空圆柱体（管）]
（
P
,
Q
分别为上下底圆心）
体积
表面积
侧面积
式中t为管壁厚，
为平均半径
R为外半径，r为内半径，h为高
重心
体积
表面积
[斜截圆柱体]
侧面积
截头椭圆轴
r为底圆半径，h,H分别为最小，最大高度，
α
为
截角，D为截头椭圆轴
重心
（GQ为重心到底面距离，GK为重心到
轴线OO'
的距离）
体积
[圆柱截段]
侧面积
h为截段最大高度，b为底面拱高，2a为底面弦
长，r为底面半径，2
α
为弧所对应圆心角（弧度）
[椭球体]
体积
重心 G在椭球中心O上
a
，
b
，
c为半轴
[圆锥体]
体积
表面积
侧面积
母线
r为底圆半径，h为高，l为母线
重心
（Q为底圆中心，O为圆锥顶点）
体积
[圆台]
表面积
侧面积
母线
圆锥高（母线交点到底圆的距离)
r,R分别为上,下底圆半径，h为高，l为母线
重心
(P
,
Q分别为上下底圆心）
[拟棱台]
体积
[注]棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、
圆柱等
上下底平行，<
br>F'
，
F
分别为上，下底面积，
F
0
为中
截
面面积，
h
为高
都是拟棱台的特例
母线为圆弧时：
[桶形体]
体积
母线为抛物线时：
体积
d为上，下底圆直径，D为中截面面积，h为高
重心
(P
,
Q分别为上下底圆心）
2.正多面体
[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体]
图形
面数
f
棱数
k
顶点数
e
体积
V
表面积
S
4
6
4
0.1179a
3
1.7321a
2
8
12
6
0.4714a
3
3.4641a
2
表中a为棱长
12
30
20
7.6631a
3
20.6457a
2
20
30
12
2.1817a
3
8.6603a
2
[欧拉公式]一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e，它们之间满足
e-k+f=2