烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体
的表面积 就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×1.5×1.5×2+2×3.14 ×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1
=3.14×（4.5+3+2+1）
=3.14×10.5
=32.97（平方米）
答：这个物体的表面积是32.97平方米。
练习5：
1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，
各有一个直 径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。
2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方
厘米？ 3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的
洞，在上、下侧面的 中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧
面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下 侧面的洞口是直径为4厘米的圆，
求该立方体的表面积和体积（∏取3.14）。


答案：
练1

1、 切下一块后，切口处的表面减少了前、后 、上面3个1×1的正方形，新增
加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。
2、 4×4×6－2×2×2＝92平方厘米
3、 中心挖去的洞的体积是：1
2
×3×3－1
3
×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：
3
3
－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是1
2
×4－1
2
＝3平 方厘米，
挖洞后木块的表面积：（3
2
+3）×6＝72平方厘米。

练2
1、 从三个不同的方向看，得到图答27－1：




从上往下看 从前往后看 从左往右看
（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54平方厘米
2、 （2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米
3、 因为64＝4×4×4，所以 大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大
正方体的表面积是小正方体的4×4＝16倍，小正方 体的表面积是：384÷16
＝24平方厘米
练3
1、将正方体分为两个长方体， 表面积就增加了2个30÷6＝15平方厘米，拼成
大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是 1个30÷6＝15平方厘
米，所以大长方体的表面积是30+30+6＝35平方厘米。
2 、要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有
如图答27－2两种：表面 积都是（3×3+3×4×2）×2＝66平方厘米。
3、设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分 米，左面和右面的面积就是x
2
平
方分米。其余的面积为2x
2
平方 分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x
2
+8
×2x
2
＝60 0 x＝5
大长方体的体积是：5×5×2×5＝250立方分米
练4
1、 （48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米
2、 减少的表面积实质是高度分别为2厘 米和3厘米的前、后、左、右四个面的
面积之和。把两个合并起来，用120÷（2+3）＝24厘米， 求到正方体底面
的周长，正方体的棱长就是24÷4＝6厘米。圆长方体的体积是：6×6×
（ 6+3+2）＝396立方厘米
3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽+ 高），209＝

11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11 ，根据题意，宽
和高只能是17和2，长方体的体积就是11×17×2＝374
练5
1、 40
2
×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米
2、 用两个同样的工件可拼成图答27－3的圆柱体。
3.14×15×（46+54）÷2＝2355平方厘米
4
2
3、 立方体的表面积和是：6×10－4×4－2×3.14×（ ）＝510.88平方厘米
2
22
打洞后增加的面积是：
4
3.14×4×（10－4）+4 ×（10－4）×4×2+4
2
×2－3.14×（ ）
2
×2＝274.24
2
平方厘米
表面积是：510.88+274.24＝785.12平方厘米
4
体积是：10< br>3
－4
2
×10×2+4
3
－3.14×（ ）
2
×（10－4）＝668.64平方厘米
2

表面积与体积（二）
专题简析：
解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：
（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等 于物体的体积。把物体从水中
取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情 况。
如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体
积。
（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积
保持不变。
（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防
止思维定。

例题1：
有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。 把
两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。如
果将这两堆碎 石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？
中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同 于碎石的体积。两个水
池水面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是3×3×0.06+2× 2×
0.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是0.7立方
米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。
3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）
0.7÷6的平方=7360（米）=1又1718（厘米）
答：大水池的水面升高了1又1718厘米。
练习1：
1、有大、中、小三个正方体水池， 它们的内边长分别为4米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别 升高了4厘米和
11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘
米？

2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、< br>5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？
3、将表面积为54平方厘米、 96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体
熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的 体积。

例题2：
一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中 放入长和宽
都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？
在 瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是
全部沉入水中，排开水的体积是 8×8×15=960（立方厘米）。而现在瓶中水深是
8厘米，要淹没15厘米高的铁块，水面就要上 升15—8=7（厘米），需要排开水
的体积是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立 方厘米），可知铁块是部分在水
中。
当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是3.14 ×10×10—8×8=250
（平方厘米）。水的形状变了，但体积还是3.14×10×10×8= 2512（立方厘米）。
水的高度是2512÷250=10.048（厘米），上升10.048—8 =2.048（厘米）
3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8
=2512÷250—8
=10.048—8
=2.048（厘米）
答：水面上升了2.048厘米。
练习2：
1、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有 高3厘米的水。现把一个底面
半径是1厘米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了 多少
厘米（∏取3）？
2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底 面积市
2平方里。在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这
时水面高 多少厘米？
3、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长

100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水50厘米
深。现在 把铁棍轻轻地向上方提起24厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长
多少厘米？

例题3：
某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。
当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积
（如图28-1所示）。

设圆锥体的底面半径是r，则长方体的高和宽也都是r，长是2r。长方体的
容积是 2r×r×r=24，即r的立方=12。这个半圆锥体的体积是13×∏r的平方
×r÷2=16∏r 的立方，将r的立方=12代入，就可以求得面粉的体积。
设圆锥体的底面半径是r，则长方体的容积是2r×r×r=24，r的立方=12。
13×3.14×r的平方×r÷2
=16×3.14×r的立方
=16×3.14×12
=6.28（立方米）
答：这堆面粉的体积是6.28立方米。
练习3：
1、已知一个圆锥体的底面半径 和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的
体积是216立方分米。求这个圆锥体的体积。
2 、一个正方体的纸盒中如图28-2所示，恰好能装入一个体积6.28立方厘
米的圆柱体。纸盒的容积 有多大（∏取3.14）？

3、如图28-3所掷，圆锥形容器中装有3升 水，水面告诉正好是圆锥高读的
一半。这个容器还能装多少水？


例题4：
如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方
法？怎样打包物体的表面积最小呢？

设长方体物品的 长、宽、高分别是a、b、c，并且a＞b＞c（入土28-4）。
比较“3×4”和“2×6”两种包 法。图28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bc
①，图28-6中大长方体的表面积为4 ab+12ac+24bc②，两个式子中都曲调相同
的部分4ab+8ac+24bc后，①式与②式 的大小要看2ab与4ac的大小。（1）当b=2c
时，2ab=￥ac，两种包法相同。（2）当b ＜2c时，“3×4”的包法表面积最小。
（3）当b＞2c时，“2×6”的包法表面积最小。
练习4：
1、如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，
形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？
2、一个精美小礼品盒的形状 是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。
请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得 怎样设计比较合理？
为什么？
3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。
把10 包香烟包 装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算
需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部 分忽略不计）。你认为哪一种包装比较
合理？

例题5：
一只集装箱，它 的内尺寸是18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸是1
×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱 ？
因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数，所以，只能先在18×16×18
的空间放 货箱，可放18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。这时还有18×2×18

的空间，但只能在18×2×16的空间放货箱，可放18×2×16÷（1×4×9）=16
（只） 。最后剩下18×2×2的空间无法再放货箱，所以最多能装144+16=160（只）。
18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9）
=144+16
=160（只）
答：这只集装箱能装160只货箱。
练习5：
1、有一个长方体的盒子，从里面量长为40 厘米、宽为12厘米、高为7厘
米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多 可放几
块？
2、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽< br>可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最
后再从第二次剩余 的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘
米？
3、现有一张长40厘米、 宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5
厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容 积越大越好），你做出的
铁皮盒容积是多少立方厘米？

答案：
练1
1、 （3
2
×0.04+2
2
×0.11）÷4
2
＝0.05米＝5厘米
2、 30×20×5÷【3.14×（
20
2
）】≈9.6厘米
2
3、 大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。
54÷6＝9平方厘米 9＝3×3
它的体积是3×3×3＝27平方厘米 96÷6＝16平方厘米
16＝4×4 它的体积是4×4×4＝64立方厘米
150÷6＝25平方厘米 25＝5×5
它的体积是5×5×5＝125立方厘米

27+64+125＝216立方厘米
练2
1、 铁块全部放入水 中，排水的体积是3×1
2
×5＝15立方厘米，要使水面升高
2厘米，铁块要排水（ 15－3×1
2
）×2＝24立方厘米。可见，铁块不能全部
3
放入水中。1 5×3÷（15－3×1
2
）－3＝厘米
4
2、 杯中水的体积是：72× 2.5＝180立方厘米放入铁块后的底面积是72－6
2
＝
36平方厘米；水面的高 ：180÷36＝5厘米
3、 容器中水的体积：（60
2
－15
2
）×50＝168750立方厘米；当铁棍提起后，仍
浸在水中的部分长：（168750－602
×24）÷（60
2
－15
2
）＝24.4厘米。露出
水面的浸湿部分长：50－24.4＝25.6厘米
练3
1、 设这个圆锥的底面半径为 r，则正方体的体积为r
3
＝216，圆锥体的体积为：
1
×∏×r
2
×r＝226.08立方分米
3
2、 设圆柱体的底面半径为x，则正方体的棱长 为2r。圆柱的体积是∏r
2
×2r
＝6.28，即（2r）
3
＝8 r
3
＝8立方厘米
r1r
2
h
3、 设容器的底面半径为 r，则水面半径为。水的体积是：×∏（）×＝3，
2322
1
即∏r
2h＝72。容器的体积是×72＝24升，还能装24－3＝21升。
3
练4
4
1、 20.56÷（1+1+3.14）＝4分米 3.14×（）
2
×4＝50.24立方分米
2
2、长方体中：
（1）高+宽＝（365－5）÷2＝180厘米
（2）高+长＝（405－5）÷2＝200厘米
（3）长+宽＝（485－5）÷2＝240厘米
（4）（2）－（1）得：200－180＝20厘米

长：（240+30）÷2＝130厘米
高：200－130＝70厘米
宽：240－130＝110厘米
130×110×70＝1001000立方厘米＝1.001立方米
3、瓶的容积相当于底 面积相同、高为20+5＝25厘米的圆柱体的容积。饮料的体
积相当于与瓶同底，高为20厘米的圆柱 体的体积，所以饮料的体积占瓶容积的：
20420
＝。30×＝24立方分米
20+5520+5
练5
1、 长方体的盒子高是7厘米，正好是木块宽与高的和， 长方体的宽12厘米，
正好是木块宽与高的公倍数，采用如图答27－4所示的拼放法可以填满盒
子。最多可放：40×12×7÷（5×4×3）＝56个
2、 第一次切下的正方体棱长应是12 厘米，留下的部分如图答27－5，其中较
大的一块是长为21－12＝9厘米，宽为15厘米，高为1 2厘米的长方体。
第二次切下的正方体棱长应是9厘米，留下的部分如图答27－6所示，较
大 的一块是长为9厘米，宽为15－9＝6厘米，高为12厘米的长方体。第
三次切下的正方体棱长应是6 厘米。上下的体积是：21×15×12－（12
3
+ 9
3
+
6
3
）＝1107立方厘米
3、 制作这个铁盒的方法比较多，但容积不一样。
第一种是把铁皮的四角截去边长5厘米的正方形。它的体 积是（40－5
×2）×（20－5×2）×5＝1500立方厘米。
第二种是在铁皮的一侧 角上截下两个边长5厘米的正方形，焊接到铁皮的另一侧
的中间位置，这样做成的无盖铁皮盒长是40－ 4＝35厘米，体积是（40－5）×
（20－5×2）×5＝1750立方厘米。如图27－7所示
第三种是在铁皮的两侧各截下一条宽为5厘米、长为20厘米的长方形铁皮分别
焊接到上、下边 上的中间部位，这样做成的无盖铁皮盒的长是40－5×4＝20厘
米，宽是20厘米。体积是（40－ 5×4）×20×5＝2000立方厘米。如图答27－8
所示。