属鼠2019年运势-青春校园歌曲

空间曲面的表面积的题型与解法
智 轩
一、计算曲面面积的系统解题方法
1．如果曲面由显示函数
zf

x, y

给出 < br>S

D
xy

z


z< br>
1



dxdy


 x


y

2
2
2．如果曲面有参数函数
xx

u, v

; yy

u, v

; zz

u, v

给出
S

EGF
2
dudv
D

222 2222
E

x
uu



y
uu



z
uu

;G

x
vv



y
vv



z
vv

;F

x
uv



y
uv



z
uv

特别地 ：
22

xRsin

cos


2 2
●对球面坐标系

yRsin

sin

E GFdudvRsin

d

d



zRcos



xr


,
< br>
sin

cos


● 若所求曲面
S< br>由极坐标方程
rr


,


决定，则引 入球体坐标系

yr


,


sin

sin




zr

< br>,


cos

EGF
2
dudv< br>
r
2
r


2

sin
2

r


2
rd

d



z


z

1
< br>

dxdy
而使用第一类曲线积分。

x


y

2
2
3．对于柱面上的曲面面积一般不使用公式< br>S

D
xy
设
S
为柱面
f
< br>x,y

0
上介于曲线弧
l
1
和
l
2
之间的曲面片，且


zz
1

x,y


zz
2

x,y

l
1< br>:

l
2
:

; z
2

x,y

z
1

x,y



f

x,y

0

f< br>
x,y

0

又设柱面
f

x,y

0
在
xoy
平面的准线
l
的方程可写成 如下参数式
l:xx

t

, yy

t

,

t

< br>S

z
2

x,y

dl
< br>z
1

x,y

dl

ll
< br>


x


t


< br>


y

t



dt

z
2

x

t

,y

t


z
1

x

t

,y

t





22< br>

1

二、曲面面积的题型与解法

【例1 】求包括在圆柱面

x
2
y
2

2a
2
xy
之内的曲面
x
2
y
2
2az
的 侧面面积。
2

y

y

x
 
y

解：对于曲面
xy2az
，
1
< br>

1





x

z

a

a

22
2 222

圆柱面
xy

22
2

2a
2
xyr
2
a
2
sin2


222
S

D
xz

y

y

x

y

1



dxdz

1



dxdy

x

z

a

a

D
xy
2

1
222
axydxdy

a
D
xy
asin2

4

4


d


a
2
r
2< br>rdr
0
a
0
3
4


33
4
2
a a1sin2

d




0
3a

2
4a
2
< br>
a
3
4


cos

si n


d



0
33
4a2
2

a
2
a
2


203


3539

【例2】柱面
x
2
y
2
2x
被锥面
zx
2
y
2
割下部分的曲面面积。
解：
由于对称性，本题所求锥面所围的柱面面积为第一象限的4倍，
对于右半平面，柱面方程为
y1

x1

2xx
2
，故有（在xoz
平面投影，不能在
xoy
平面
投影）

x1

11

y

y

1



1

0


2xzyy

2xx

22
2
2
所以所求的曲面面积为
S4

D
xz
1

 y

y

1



dxdz 4

dxdz
2

x

z
2xx
z
2
2x
1
2
22
4

4

1
0
1
2xx
dx

2 x
0
dz4

1
2x
2xx
2
0dx

0
1
22
t2x
dx4



2t

dt82
2
t
2x< br>
21


另外，还可以求出柱面围的锥面面积如下：

2

由于对称性，所求锥面面积为上半平面的2倍，
对于上半平面，锥面方程为
zx
2
y
2
，故有（在
xoy
平面投影） < br>
x

z


z

1


1


x
2
y2

x


y


2
2

y




x
2
y2

2


2



2
所以所求的曲面面积为

S2


x1

y
2
1

2

z


z

1



dxdy2

2dxdy22


xy
< br>

x1

2
y
2
1
2< br>2
【例3】求曲面
x
2
y
2
a
2
被平面
xz0, xz0

x0, y0

切除的那部分的面积。
解：对于准线平行于
xoy
平面的 柱面，不能在
xoy
平面上投影，因为投影面积为零，故需要转化到
其他坐标平面上如
xoz
的投影。

x


y
y

S

1



dx dz

1

0dxdz

x
< br>z


y

D
xz
D
xz

axa
a2ax


dx

dz

dx2a
2
0x0
a
2
x
2
a
2
x
2


xrcos


【例4】求螺旋面

yrsin



0ra, 0

2


的侧面面积。

zh


22
2
解：因为

x

y

z

E

< br>


1

r

r
 
r


x

y

z

22
G

rh










xxy yzz
F0
r

r

r

S

EGFdudv

rhdrd



切忌写成 rdrd


222
D D
r

222
222



d< br>

0
2
2

a
0

r< br>2

h
2
222
rhdr2


rhlnrr
2
h
2

2

2

0


a
aa
2
h
2
< br>
aah

hln
h
22


3

【例5】计算空间曲线

x
2
y2
z
2

2
2a
2
xy

a0

所包围的面积。
解：

xr

,


sin

cos

引入球体坐标系


yr


,


sin

sin




zr


,


cos


x
2y
2
z
2

2
2a
2
xy

a0

r
2
a
2
sin
2

sin2

r
2
a
2
cos
2

sin2

, r
222
cos
2
2






asin



sin2

S

EGF
2
d udv

r
2
r
22



sin

r
2



rd

d

D

D

2
4a
2

22
0
d


sin
2

d

a

0
4

22
【例6】求柱面
x
3
y
3
1
被球面
x
2
y
2
z
2
1
割下部分的曲面面积。

解：按照第一类曲线积分解法如下

22
x
3
y
3
1



xcos
3

ysin

dl


x

t


2




y

t


2

dt3sin

co s

d


3
,
z0, l:



xcos
3

1


y sin
3



xcos
3
z
< br>

z
2

3
2
:

y sin
3

2
1cos
6

sin
6


x
2
y
2
z
2
1
4
sin
2
2


S8

2< br>3
0
2
sin2

3sin

cos
d


63

2
sin
22

d

33

2

1cos4


00


2


d


33
2








2


4
0

【例7】 求以极坐标曲线
L:



ra

1cos




z0
为准 线，母线平行于
z
轴的柱面被平面
xyz2a0
及
z0
截下的有限部分的面积。
解：对于本题，就可以按照第一类曲线积分解法如下
ra

1cos< br>

dl

22

r







r





dt2acos

2
d

, 0

2

z
1
0, l: ra

1cos



z

ra

1cos


2
:

< br>z
2
a

1cos


zrcos

rsin

2a

cos

a< br>
1cos


sin

2a
S
2

0


a

1cos


cos

a

1cos

< br>sin

2a


2acos

2
d

2a
2

2




cos

co s

2
cos
2

cos

0
2
+sin

cos

2
cos

si n

cos


2
2cos
2



d



2t

 4a
2


0


cos2tcostcos< br>2
2tcost+sin2tcostcos2tsin2tcost2cost


dt
4a
2


0
< br>
cos2tcostcos
2
2tcost+sin2tcostcos 2tsin2tcost


dt
4a
2



0



2cos
2
t1

cost

2cos
2
t1

2
c ost+sin2tcostcos2tsin2tcost



d t
4a
2


0

sin2tcostcos 2tsin2tcost

dt
4a
2


0


2sint

1sin
2
t
< br>2

12sin
2
t

1sin
2
t

sint


dt
4a
2

0


4sint8sin
3
t4s in
5
t


dt


8a
2

2
0


4sint8sin
3
t4sin
5
t


dt
8a
2



48
2
4
4

2



32
a
2

353

5< br>

5