金毛狗狗图片-全神贯注教学设计

第二节 简单几何体的表面积和体积

复习目标
1.柱、锥、台体的表面积
1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和
和体积公式.
底面积.
2.球的表面积和体积公
2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开
式.
图.
3.一些简单组合体表面积
3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,
和体积的计算 .
进一步求出面积、体积.
4.柱、锥、台体之间关
4.所有公式均不要求记忆.
系.(发展要求)


空间几何体的表面积和体积公式如下
表面积 体积
棱柱的底面积
V
柱
=S·h
为S,

S
表
=S
侧
+2S
底

表面积即空间几何体
暴露在外的所有面的
面积之 和

S
表
=S
侧
+S
底

高为
S=S′
h,V=S·h
V
台
棱锥的底面积
为S,
高为
=
1
(S′+
3
S

S
学法指导

+S)h

h,V=
1
S·h
3
棱台的上、下
底面
面积分别为
S
表
=S
侧
+

S
上底
+S
下底

高为h,
V=
1
(S′+
3
S

S
S′=0
V
锥
=
1
S·h
3
S′,S,
+S)h
圆柱的底面半
径和
圆柱的高为
母线长分别为

r,l
V=πr
2
h
S
表
=2πr
2
+2π
rl
圆锥的底面半
径和

母线长分别为
r,l
S
表
=πr
2
+πrl
圆台的上、下

底面半
径和母线长分
圆台的高为
h,
2
V=
1
π(r′+
3
h,
圆锥的高为
h,
2
V=
1
πrh
3

别为
r,r′,l,S
表
=
π(r′
2
+
r
2
+r′l+rl)
球半径为R,
球
S
球
=4πR

1.概念理解
2
r′r+r
2
)h
V
球
=
4
πR
3

3
(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露
或遮挡.
(2)求空间几何体体积的常用方法
①公式法:直接根据相关的体积公式计算.
② 等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得
体积计算更容易,或是求出一些体积比 等.
③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,
转化为可计算体积 的几何体.
2.求面积或体积中相关联的结论
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①正方体的外接球,则2R=
方体的各棱 相切,则2R=
3
a;②正方体的内切球,则2R=a;③球与正
2
a. < /p>

(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,
则2 R=
a
2
b
2
c
2
.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是
( A )
(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)
2
3
3
πS < br>解析:由πr
2
=S得圆柱的底面半径是
故侧面展开图的边长为2π·
S
π
S
π
,
, =2
πS
所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.
2.正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面边长为2,侧棱长为
则三棱锥A-B
1
DC
1
的体积为 .
解析:
3
,D为BC的中点,

如图,在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,
因为AD⊥BC,AD⊥BB
1
,
BB
1
∩BC=B,
所以AD⊥平面B
1
DC
1
.
所以
V
A B
1
DC
1
S
=
1
3
B
1< br>DC
1
·AD
1
=
1
××2×
32
3
×
3

=1.
答案:1
3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为
cm
3
,表面积为 cm
2
.

解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥,
圆锥的底面半径为1,高为2,
2
1
π
所以可得该几何体的体积为
1
××π×1×2=,
233
该几何体的表面积为
1
2
×π×1
2
+< br>1
2
π×1×
51π
2
1
14
+
2
×2×2=

51π
2

+2.

答案:
π

3

+2
3
,则以4.已知正四棱锥O-ABCD的体积为
3
2
2
, 底面边长为
心,OA为半径的球的表面积是 .
解析:设O到底面的距离为h,
3232
则
1
×3×h=,解得h=.
22
3
O 为球
AC=

3



3

=< br>22
6
,
OA=

6

h
< br>
2



2
2
=
6
,
故球的表面积为4π×(
6
)
2
=24π.

答案:24π
5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图 所示,其中俯
视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥
的表面积 为 ,该三棱锥的外接球体积为 .

解析:由三视图得几何体的直观图如图.

11
所以S
表
=2×
1
×2×2+×2
3
×
5
+×2
3
×1
222
=4+
15
+
3
.
如图,作DE⊥ DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y
轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐 标系,
则D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(-1,
设球心坐标 为(x,y,z),
因为(x-2)
2
+y
2
+z
2=x
2
+y
2
+z
2
,①
x
2+y
2
+(z-2)
2
=x
2
+y
2
+z
2
,②
(x+1)
2
+(y-
3
)
2
3
,0).
+z
2
=x
2
+y
2
+z
2
,③

所以x=1,y=
3
,z=1,
3
,1), 所以球心的坐标是(1,
所以球的半径是
1
2


3
2
1
2
=
5
.
5
)
3
所以球的体积是
4
π×(
3
答案:4+
15
=
20
3
5
π.
+
3

205
3
π

考点一 几何体的表面积
[例1] (1 )(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,
正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直 角三角形,俯视图是边长为2
的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )

(A)2 (B)2
2
(C)2
3
(D)4
(2)( 2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下
半部分曲线为半圆弧,则该几何体的 表面积为( )

(A)4π+16+4
(C)4π+16+2
3

3

(B)5π+16+4
(D)5π+16+2
3

3

(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹
角的大小为
(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以
SD为斜边 的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为
[
4
3
3
,
8
],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 .
3
解析: (1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为
2,2,2
2
,2
2
,2
2
,2
3
,
所以四面体的四个面的面积分别为
1
2
1
2
1
2
1
2
×2×2=2,
×2×2
×2×2
×(2
2
)
2
=2
2
,
2
=2
2
,
2
sin
π
=2
3
3
,
因此四面体的最大面的面积是2
3
.故选C.
(2)由三视图可知该几何 体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,
三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面 积之和为

2×
1
×2×
2
2
3
=2
3
;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和
3
,故选为2×1
×π×1
2
=π,所以几何体的表面积为5π+16+2D.
(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ,
则=
1
2
π
rl
2rlr
22
2π,
r
=
l
3< br>2
3
2
,
即sin θ=,θ=
π
.
3
解析:(4)四棱锥S-ABCD中,可得
AD⊥SA,AD⊥AB⇒AD⊥平面 SAB⇒平面SAB⊥平面ABCD,过S作SO⊥AB
于O,
则SO⊥平面ABCD,
设∠SAB=θ,
故
V
SABCD
8
=
1S
四边形ABCD
·SO=sin θ,
33
3
2
所以sin θ∈[
2π
11
,1]⇒θ∈[
π
,]⇒-≤cos θ≤,
3
322
在△SAB中,SA=AB=2,
则有SB=2
21cos

,
21cos

2sin

SB
所以△SAB的外接圆半径r=
2sin
=

,将该四棱锥补成一个以
r
2
1
⇒S=4πR
2
SAB为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=
2
(
1cos
+1) ,

π
所以S∈[
28
,20π].
3
=4π
28π
答案:(1)C (2)D (3)
π
答案:(4)[,20π]
3
3
(1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先 根据三视图
判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,
求其表面积.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重
合部分的 处理.
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展
开成平面图形 计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

1.(2019·浙江十校联盟)如图所示 ,已知某几何体的三视图及其尺寸
(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )

(A)15π cm
2
(B)21π cm
2

(C)24π cm
2
(D)33π cm
2

解析:

由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长
为5,故该几 何体的表面积为S
表
=πr
2
+πrl=π×3
2
+π×3 ×5=24π
(cm
2
).故选C.
2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,
则该球的表面积为( A )
π27π
(A)
81
(B)16π (C)9π (D)
44
解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,

则(4-R)
2
+(
解得R=
9
,
4
2
)
2
=R
2
,
所以球的表面积为4π×(
9
)
2
=
81
π.
44
故选A.
考点二 几何体的体积
[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的
体积是( )

33
(A)
1
cm (B)1 cm
2
33
1
(C)
1
cm (D) cm
63< br>(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,除面ABCD
外,该正方体其余各面的中心分别为点E ,F,G,H, M(如图),则四棱锥
M-EFGH的体积为 .

解析:(1)

由题意,根据给定的三视图可知,

该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱
锥,
如图所示,
所以该三棱锥的体积为V=
1
×
1
×1×1× 1=
1
(cm
3
),故选C.
326
解析:(2)依题意,易知四棱锥M- EFGH是一个正四棱锥,且底面边长为
2
2
,高为
1
.
2
MEFGH
故
V
=
1
×(
3
2
2
1
)
2
×
1
=.
212
1
答案:(1)C 答案:(2)
12

(1)若 所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,
则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用 来求三棱锥的体
积.
(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分< br>割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根 据三视图得到几何体的
直观图,然后根据条件求解.

某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )

(A)60 (B)30 (C)20 (D)10

解析:

如图,把三棱锥A-BCD放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,
△BCD为 直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD的高为4,故
该三棱锥的体积V=
1×
1
×5×3×4=10.故选D.
32
考点三 与面积、体积相关的综合问题
[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S
1
,其 内切球的表面积为S
2
,则
S
1
S
2
=
(2)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,点A,B,C,D折叠后对
应点为A′ ,B′,C′,D′,使B′D′=a,则三棱锥D′-A′B′C′的体
积为 .
解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为
S
1
=4·3
4
·a
2
=
3
a
2
,
2
2
正四面体的高h=
1
由
1
r·S
1
=·
33
6
r=
1
h=a.
12
4
3
4

3

a


3
a


=
6a
3
,
a
2
·h知 < br>a
因此内切球的表面积为S
2
=4πr
2
=
π
6
,
2
则=
S
1
S
2
3a
2
π
2
a
6
=
6
π
3
.
解析:(2)如图所示,正方形ABCD及折叠后的直观图.

易知在直观图中,A′B′=B′C′=C′D′=D′A′=a,
且A′D′⊥D′C′,A′B′⊥B′C′,
取A′C′的中点E,连接D′E,B′E,
则D′E⊥A′C′,D′E=EB′=
所以D′E⊥EB′,
所以D′E⊥平面A′B′C′.
D′E即为三棱锥D′-A′B′C′的高.
故
V
D

A

B

C

2
2
a,
=
1
S
△A′B′C′
·D′E 3
2
2
1
=
1
××a×a×
32
2< br>3
=
12
a.
a
2
3
答案:(1)
6
π
3
答案:(2)
12
a
(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中
球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球
心的连线构成一个直角三角 形.
②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在
多面体(或旋转体 )中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素
之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再 求解.
(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线
或棱将几何体展 开,转化为求平面上两点间的最短距离.

1.已知直三棱柱ABC-A1
B
1
C
1
的6个顶点都在球O的球面上,若
AB=3 ,AC=4,AB⊥AC,AA
1
=12,则球O的半径为( C )
(A)
3
2
17
(B)2
(C)
13
(D)3
2
10

10

解析:

如图,由球心作平面ABC的垂线,
则垂足为BC的中点M.
51
又AM=
1
BC=,OM=AA
1
=6,
222
所以球O的半径
R=OA=

5

2
6

2

2
=
13
.
2
故选C.
2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积
是 ,体积是 .

解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算. 由三视图
得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3

的直四棱柱,则其表面积为
2×3×
1+3
+3×3+1×3+3×3+3×
2
答案:33+3
13

13
=33+3
13
,体积为3×3×
1+3
=18.
2
18
考点四 易错辨析
[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何
体的三视图,则该几何体的体积为( )

π12+2π
(A)
5
3
π
(B)
8
3
π
(C)
10
(D)
33
解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体
的体积为
32
18
V=
4
π×1×+π×1×2=π,故选B.
323
正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视
图,不能凭感觉去确定.

已知直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的侧棱长为4,且底 面是边长为2的正三角形,
用一平面截此棱柱,与侧棱AA
1
,BB
1
,CC
1
分别交于三点M,N,Q,若△MNQ
为直角三角形,则该直角三角形斜边 长的最小值为( C )
(A)2
2
(B)3 (C)2
3
(D)4
解析:

如图,不妨设N在B处,
AM=h,CQ=m,
则有MB
2
=h
2
+4,
BQ
2
=m
2
+4,MQ
2
=(h-m)
2+4,
由MB
2
=BQ
2
+MQ
2
,得
m
2
-hm+2=0.
则Δ=h
2
-8≥0,即h
2
≥8,
所以该直角三角形的斜边MB≥2
3
.故选C.

类型一 几何体的表面积
1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )

(A)7π cm
2
(B)8π cm
2

(C)9π cm
2
(D)11π cm
2

解析:依题意,题中的几何体是从 一个圆柱中挖去一个半球后所剩余
的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,

因此该几何体表面积等于
1
×(4π×1
2
)+π×1
2
+2π×1×3=9π(cm
2
).
2
故选C.
2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )

(A)28+6
(C)56+12
解析:
5

5

(B)30+6
(D)60+12
5

5

根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个
底面为直角三角形,高为4的三 棱锥,
因此表面积为
111
S=
1
×(2+3)×4+×4×5+ ×4×(2+3)+×2
2222
5
×
415
=30+6
5
.故
选B.
类型二 几何体的体积
3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )

(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π
解析:由三视图知该几何体是由 一个半球和一个圆锥构成的组合体,
3
1
2
4
所以其体积为V=1
×π×3+π×3×4=30π.故选C.
233
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )

π
(A)
π
(B)1+
22
(C)1+π (D)2+π
解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则
2
该几何体的体积为V=1
2
×2+
1
×π×1×2=2+π,故选D. < br>2
5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,
△ABC为等边三角形且其面积为9
( B )
(A)12
3

3
,则三棱锥D-ABC体积的最大值为
(B)18
3
(C)24
3
(D)54
3
可得
3

3
4
解析:由等边△ABC的面积为9
所以AB=6,
AB
2
=9
3
,

所以等边△ABC的外接 圆的半径为r=
3
3
AB=2
3
.
设球的半径为R,球心 到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则
d=
R
2
r
2
=
1612
=2.
所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,
所以三棱锥D- ABC体积的最大值为
1
×9
3
3
×6=18
3
.
故选B.
6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,
则它的体积是 cm
3
,表面积是 cm
2
.

解析:由三视图得 该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的
3
3393
2+4
直角 梯形,高为
3
2
3
的四棱锥,则其体积为
1
×××3=(c m),
22
2
3
表面积为
1
2
33
11 1
×3×
3
2
3
+
2+4
×3+×3×2+×3× 4+×5×=(18+6
2
2
222
3
)(cm
2
).
答案:
9
2
3
(18+6
3
)
7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为
顶点的多面体的体积为 .

解析:由题意知所给的几何体是棱长均为
2
的八面体 ,它是由两个有
公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体
的体积为 2V
正四棱锥
=2×
1
×(
3
2
)
2×1=
4
.
3
答案:
4

3
类型三 面积、体积综合问题
8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )

20
(A)
8
(B)8 (C) (D)6
33
解析:

如图所示,在棱长为2的正方体中,
题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC
1
B
1
,其中P为棱 A
1
D
1
的中
点,
则该几何体的体积
V
PADC
1
B
1
=2
V
PDB
1
C
1
=2
V
DPB
1
C
1
=2×
1
×
S
3
PB
1
C
1
×DD
1
=
8
.
3
故选A.

9.已知球的直径S C=4,A,B是该球球面上的两点,AB=
BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )
(A)3
3

3
,∠ASC=∠
(B)2
3
(C)
3
(D)1
解析:

由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SB C都是有一个角为
30°的直角三角形,且AB=
3
,SC=4,所以SA=SB=2
3
,AC=BC=2,作BD⊥
3
4
SC于D点,连接AD,易证S C⊥平面ABD,因此V=
1
×
3
故选C.

×(
3
)
2
×4=
3
.