数学建模 商品质量与表面积关系
好玩的短信-荣辱
包装大小与商品价格问题的分析
摘要
首先，本文通过分析价格与生产成本、
包装成本和其他成本有关，生产成本
与商品质量w成正比，商品包装成本与商品的表面积成正比（
s∝w
23
）的关系，
同时为了便于分析和计算，我们将模型假设为商品是长方体包
装，得出商品价格
C与商品质量的关系；然后通过商品价格C与商品质量w的比值得到单位质量商
品价格c与商品质量w的关系，得出数学模型，并用matlab数学工具画出数学
图像。文中数学图
像直观的显示出商品质量w越大，商品的单位价格c越小，但
是随着商品质量w的不断增大，商品的单位
价格c减小的程度不断减小，呈现反
比例关系。因此我们从中得出结论:大包装商品一般比小包装商品便
宜，但并不
是商品的包装越大越便宜。
关键词：长方体模型；反比例关系；
一．问题重述
在超市中购物时我们注意到，大包装
的商品往往比小包装的商品便宜。比
如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00
元，二者单位质量的价
格比是1.2:1。
对于这个现象，要求解决下列两个问题：
1.分析商品价格C与商品质量w的关系
2.单位质量价格c与商品质量w的关系
二．问题分析
商品价格由生产成本、包装成本和其他成本（如
运输、储藏成本等）决
定。其中，生产成本与质量w
成正比，包装成本与表面积s成正比，其他成本与该
问题无显著关
系。
三．模型假设与符号说明
3.1 模型假设
1.商品包装为长方体
2.商品密度一定。
3.2 符号说明
w——表示商品质量，单位kg;
x——表示商品包装盒的长，单位cm;
y——表示商品包装盒的宽，单位cm；
z——表示商品包装盒的高，单位cm；
s——表示商品包装盒的表面积，单位cm
2
；
ρ——表示商品的密度，单位kgcm
3
；
V——表示商品包装盒的体积，单位cm
3
；
C——表示商品价格，单位 元；
c——表示商品单位质量价格，单位 元。
四．数学模型建立、求解和分析
设定长度参数k，商品包装盒的长、宽、高分别
为ak，bk，ck。
商品包装盒表面积
s=2*（xy+yz+xz）=2（ab+bc+ac）*k
2
商品质量
w=ρV=ρxyz=ρabc*k
3
由以上可得出
s∝w
23
由之前分析知，生产成本与质量w成正比，包装
成本与表面积s成正比，
其他成本与该问题无显著关
系。
故设定参数α，β，γ（均为大于0的常数），可得
到
C=αw+βw
23
+γ
单位质量价格
c=Cw=α+βw
-13
+γw
-13
自变量之间呈现反比例关系。其简图如下：
由图像可知，w越大，c
越小，但是随着w的增加c
见效的程度变小。在实际中，该图说明并不是包装越
大，商性价比就
越高。
模型检验:
质量w（g）
30
70
110
160
单位质量c（元）
0.03330
0.02857
0.02727
0.03125
200
0.02750
我们选取不同包装规格恰恰牌瓜子取得数据
由以上数据，利用matlab做出如下图像
与我们的结论相吻合。
模型评价与推广：
优点：该模型可对不同质量下商品的单位价格进行预
测，且公式简明，方便计算。
缺点：由于商品种类局限性，数据样本容量较小，仅
进行定性分析，准确度有待提高。
该模型在其他领域，如物流运输等行业中均可发挥辅
助性作用。
程序：
[x,y,z]=solve('x+y*30^(-13)+z*30^(-1)=130','x+
y*11
0^(-13)+z*110^(-1)=3110','x+y*200^(-13)+z*
200^(
-1)=5.5200');