幂函数知识点-肉豆须

1.3 空间几何体的表面积和体积
学习目标：
1、掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式，能直观感知空间几何体的展
开图的 形状，并能初步运用于实际问题之中。
2、了解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积的计算公 式，能直观感知空间几何体的形初
步运用于实际问题之中。
［知识要点］
一、空间几何体的表面积
问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧 面爬行一周，到达上底面圆
周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？
平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展
开图。
（一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积
1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
P
◆
S
直棱柱侧< br>＝ch
其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。



2、正棱锥

定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面 中心，这样的棱锥叫做
正棱锥。
性质：
（1）正棱锥的侧棱长相等。
（2）侧棱和底面所成的角相等。
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。
1
◆S
正棱锥侧
＝
2
ch
´
（其中c为棱锥底 面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高）
3、正棱台
定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。
侧面展开图是由各个侧面组成的。
1
S
正棱台侧
＝
2
（c ＋ c’）h’
（其中c，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。

（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积
把圆柱、圆锥、圆 台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧
面积。
1、圆柱的侧面积

◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是


2、圆锥的侧面积

◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是

3、圆台的侧面积


◆如果圆台的上、下面半径是
r

、r，
周长分别是
c

、c，
侧面母线长是
l，那么它的侧面积
是


二、柱锥台的体积公式
长方体的体 积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为
多少个正方 体？


1、祖暅原理
两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。

G

G`

O
`


O


2、柱体的体积公式

3、锥体的体积公式

4、台体的体积计算公式

V
1
台体
＝
3
（hsss's'）

◆柱体，锥体，台体之间的关系：
V
V＝
1
3
h(s ss's')V
1
柱体
sh
台体锥体
＝
3
s h

5、球体的体积公式与表面积公式
）利用祖暅原理可得
V
4< br>3
（1
球
＝
3

R

（2）利用极限的思想推导出球的表面积公式：
S
球面
＝4πR
2

【例题】
例1. 有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一 段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁
丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘 米？（精确到0.1 cm）

解：由题意知：BC＝5 cm，AB＝8

，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即
为铁丝的最短长度。AC＝
5
2
(8

)
2
25.6cm



例2. 如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm
3
）。

1
解：V
5(15
2
151111
2
)851.667
正四棱台
＝
3

V
长方体
＝6
818
＝864
4
V

3
3
球

＝
3
113.097

V＝
V
正四棱台

＋ V
长方体
＋ V
球
1828.76


例3. 一个圆柱形的锅炉，底面直径d＝1m，高h＝2.3m。求锅炉的表面积（保留2个有效数字）。
【练习】

一、选择题
1、下列的选项中，正确的是 （ ）
A. 侧棱不垂直于底面的棱柱不是正棱柱；
B. 侧棱垂直于底面的棱柱为正棱柱；
C. 底面是正多边形的棱柱为正棱柱；
D. 正棱柱的高可以和侧棱不相等。
2、正四棱锥的高为6，侧棱长为8，则棱锥的底面边长为 （ ）
A.
27
B.
47
C.
14
D.
214

3、下列四个命题：（1）棱台的侧棱延长后 必交于一点；（2）上、下底面为相似的正多边形的棱
台一定是正棱台；（3）棱台的上、下底面边长之 比等于棱台的高与截得此棱台的棱锥的高的比；（4）
棱台的中截面面积等于上、下底面积之和的一半。 其中正确命题的个数是（ ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 正三棱锥的底面边长为6，高为
3
，则这个三棱锥的全面积为（ ）
93
A. 9
3
B. 18
3
C. 9（
3
＋
6
） D.
2

5、一个圆柱体的高不变，底面半径扩大3倍，它的体积 。
A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 扩大9倍

6、一个直角三角形，两条直角边分别长3厘米和5厘米， 如果分别以这两条直角边为轴所在直线
旋转一周后可以得到两个圆锥体，这两个圆锥体的体积_____ ____。
A. 一样大
B. 以3厘米直角边为轴得到的圆锥体积大
C. 以5厘米直角边为轴得到的圆锥体积大
三、解答题
16、已知正三棱锥
SABC
的高
SOh
，斜高
SMl
，求经过
SO
的中点
O

平行于底面的截面
A

B

C
的面积。
17、若一个六棱锥的高为10cm,底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积。
18、正三棱台下底面和侧面所成的二面角为60°，下底面边长为10cm,棱台的全面积为60
3
cm
2
，
求上底面边长。



7、设 长方体对角线长度为4，过每一顶点有两条棱与对角线夹角都是60°，则此长方体的体积为
（ ）
B. 8
2
C. 8
3
D. 16
3

8、制作一个圆柱形无盖水桶，计算用多少铁皮，是求 ；计算存放这只水桶用多少空间，
是求 。
A. 圆柱的侧面积 B. 圆柱的底面积
C. 圆柱的表面积 D. 圆柱的体积（容积）
E. 圆柱的侧面积＋1个圆柱的底面积
9、圆柱体的侧面积是25.12平方厘米，它的高是4厘米，它的底面半径是____。
A. 6.28厘米 B. 3.14厘米 C. 2厘米 D. 1厘米
10、柱体和一个 圆锥体的底面半径和高都相等，如果圆柱体体积是30立方厘米，圆锥体体积是___
立方厘米；如果圆 锥体体积是30立方厘米，圆柱体体积是____立方厘米。
A. 10 B. 15 C. 30 D. 60 E. 90

二、填空题
11、球半径扩大2倍时，球面面积扩大______倍；球面体积扩大_____倍。
12 、棱锥的底面面积为150cm
2
,平行于底面的截面面积为54cm
2
底面 和截面距离为14cm,则这个棱
锥高为_______。
13、已知三棱锥S—ABC的三 条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB中点，E为AC
中点，则四棱锥S—BCE D的体积为_____。
14、正方体ABCD—A
1
B
1
C1
D
1
中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O—AB
1
D
1
的
体积为 。
15、判断对错
（1）底面积相同时，圆柱越高，表面积越大、体积也越大。 __________
































33
A.
27

1
（2）圆锥体的体积一定是圆柱体体积的
3
。__________
（3）圆柱体和圆锥体都有无数条高。 __________
（4）圆锥体底面半径扩大2倍，它的体积也扩大2倍。__________