短路计算-行政职业能力测验试题

第2节 简单几何体的表面积与体积
最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知 识 梳 理
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积 之和，表面积
是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图

侧面积公式 S
圆柱侧
＝2πrl

S
圆锥侧
＝πrl

S
圆台侧
＝π(r
1
＋r
2
)l
3.简单几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
[常用结论与微点提醒]
1.正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
表面积
S
表面积
＝S
侧
＋2S
底

S
表面积
＝S
侧
＋S
底

S
表面积
＝S
侧
＋S
上
＋S
下

S＝4πR
2

体积
V＝S
底
h
1
V＝
3
S
底
h
1
V＝
3(S
上
＋S
下
＋S
上
S
下
)h
4
3
V＝
3
πR

2.长方体的共 顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝
a
2
＋b
2
＋c
2
.
3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
(2)球的体积之比等于半径比的平方.( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
3
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝
2
a.( )
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(教材练习改编)已知圆锥的表面积等于12π cm
2
，其侧面展开图是一个半圆，则
底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm
3
D.
2
cm
解析 由题意，得S
表
＝πr
2
＋πrl＝πr
2
＋πr·2r＝3πr
2
＝12π，解得r
2
＝4，所以r＝
2(c m).
答案 B
3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
( )
A.12π
32
B.
3
π C.8π D.4π
解析 设正方体的棱长为a，则a
3
＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3
a，即R＝3.所以球的表面积S＝4πR
2
＝12π.
答案 A
4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个
球的球面上 ，则该圆柱的体积为( )
A.π
3π
B.
4

π
C.
2

π
D.
4

解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA
1
＝1，球心到底面圆的距离为OM＝
2
.
3
∴底面圆半径r＝OA
2
－OM
2
＝
2
，故圆柱体积V＝π·r
2
·h＝
3π

3

2
π·

×1＝
4
.

2

答案 B
5.(2018·西安质检)已知一 个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图
所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为____ ____m
3
.

解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边
1
形，四棱锥的高为3 m.故该四棱锥的体积V＝
3
×2×1×3＝2 (m
3
).
答案 2

考点一 简单几何体的表面积
【例1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)如图 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则
该几何体的表面积为( )

A.20π B.24π C.28π D.32π
(2)(2017·全国Ⅰ卷) 某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方

形和等腰直角三角形组成，正 方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多
面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和 为( )

A.10 B.12 C.14 D.16
解析 (1)几 何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆
锥母线长为l，圆柱高为h.
由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.
所以l＝2
2
＋（23）
2
＝4.
故该几何体的表面积S
表
＝
1
πr
2
＋ch＋
2
cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S
×(2＋4)×2 ＝6，S
全梯
＝6×2＝12.
梯
1
＝
2

答案 (1)C (2)B
规律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析 三视图确定几何体中
各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公
式.
2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处
理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )

A.8＋22 B.11＋22 C.14＋22 D.15
(2)(2016 ·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两
28π
条互相垂直的半 径.若该几何体的体积是
3
，则它的表面积是( )

A.17π B.18π C.20π D.28π
解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如
图所示.

直角梯形斜腰长为1
2
＋1
2
＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2× (4＋2)
1
＝8＋22，两底面的面积和为2×
2
×1×(1＋2)＝3. 所以该几何体的表面积为8＋
22＋3＝11＋22.
(2)由题知，该几何体的直观图如图 所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的
1
三个平面)切掉
8
球所剩的组 合体，

71
其表面积是球面面积的
8
和三个4
圆面积.
74
3
28π
设球的半径为R，则
8×
3
πR
＝
3
，R＝2.
73
22
故几何体的表面积S＝
8
×4πR＋
4
πR
＝17π.
答案 (1)B (2)A
考点二 简单几何体的体积
【例2】 (1)如图所示 ，正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的底面边长为2，侧棱长 为3，D
为BC中点，则三棱锥A－B
1
DC
1
的体积为( )

A.3
3
B.
2
C.1
3
D.
2

(2)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的 几何体，其三视图如图所示.则该几
何体的体积为( )

12
A.
3
＋
3
π
12
C.
3
＋
6
π


12
B.
3
＋
3
π
2
D.1＋
6
π
3
解析 (1)如题图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝
2
AB＝3，
又∵平面 BB
1
C
1
C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD平面ABC，由面面垂直的 性
质定理可得AD⊥平面BB
1
C
1
C，即AD为三棱锥A－B1
DC
1
的底面B
1
DC
1
上的高，
111
∴V
A
－
B
1
DC
1
＝
3
S
△
B
1
DC
1
·AD＝
3
× 2×3×3＝1.
2
×

(2)由三视图知该四棱锥是底面边长为1， 高为1的正四棱锥，结合三视图可得半
21
2
14

2
< br>12

＝＋
π.
球半径为
2
，从而该几何体的体 积为
3
×1×1＋
2
×
π×
3

2

36
答案 (1)C (2)C
规律方法 1.求三棱锥的体积：等体积转化是 常用的方法，转换原则是其高易
求，底面放在已知几何体的某一面上.
2.求不规则几何体的 体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则
几何体以易于求解.
3.若以三视 图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后
根据条件求解.
【训练2】 (1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中
的x的值是( )
3
A.2
9
B.
2

3
C.
2


D.3
(2)(2018·郑 州质检)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的
主视图如图所示，则该三棱锥的体 积是________.

1
解析 (1)由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是 直角梯形，且S
底
＝
2
(1＋2)×2
1
＝3.∴V＝3
x·3＝3，解得x＝3.
(2)由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形 ，由主
视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h＝1，
11

1
3< br>
×23×1

2

×则体积V＝
3
Sh＝
3
×1＝
3
.

3
答案 (1)D (2)
3

考点三 多面体与球的切、接问题(典例迁移)
【例3】 (经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A
1
B< br>1
C
1
内有一个体
积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8， AA
1
＝3，则V的最大值是( )
A.4π
9π
B.
2
C.6π
32π
D.
3

解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面 相切，若球与三个侧面相切，设
底面△ABC的内切圆的半径为r.
11
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
22
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
3
由2R＝3，即R＝
2
.
4
3
9
故球 的最大体积V＝
3
πR
＝
2
π.
答案 B
【迁移探究 】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的6个顶点都在球O
的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1
＝12，求球O的表面积.
解 将直三棱柱补形为长方体ABEC－A
1B
1
E
1
C
1
，
则球O是长方体ABEC－ A
1
B
1
E
1
C
1
的外接球.
∴体对角线BC
1
的长为球O的直径.
因此2R＝3
2
＋4
2
＋12
2
＝13.
故S
球
＝4πR
2
＝169π.
规律方法 1.与球有关 的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组
合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的 组合，通过多面体的一条侧棱和球
心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两
垂直， 可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
【训练3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱 锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面
上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝A C，SB＝BC，三棱锥S－
ABC的体积为9.则球O的表面积为________.

(2)(2018·佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球< br>面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
解析 (1)如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以
OA⊥SC，OB⊥SC.
因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA
平面SAC，所以OA⊥平 面SBC.
设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，
1111
3所以V
A
－
SBC
＝
3
×S
△
SBC
×OA＝
3
××2r×r×r＝
23
r，
1
所以
3
r
3
＝9⇒r＝3，所以球O的表面积为4πr
2
＝36 π.
(2)因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC
11
22
的体积取得最大值.由
3
×R×R＝36，得R＝6.从而球O的表 面积S＝4πR＝144π.
2
答案 (1)36π (2)C

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2015·全 国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题：“今有委米依垣内角，下 周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思
为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四 分之一)，米堆底部的弧
长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米 的
体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B.22斛

C.36斛 D.66斛
π
16
解析 设米堆的底面半径为r尺，则
2
r＝8，所以r＝
π
.

11
2
π

16

2
320

π

·5≈
(立方尺). 所以米堆的体积为V＝
4
×5＝
12
·
3
π·r
·
9

320
故堆放 的米约有
9
÷1.62≈22(斛).
答案 B
2.(2018·北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
( )

A.π B.2π C.3π D.8π
解析 由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥.
1
∴该几何体的体积V＝3×π×1
2
－
·π×1
2
×3＝2π.
3
答案 B 3.(2018·九江联考)如图所示，某简单几何体的主视图与左视图相同，则此几何体
的表面积 为( )

A.6π
C.4π


2
B.
3
π＋3
D.2π＋3
解析 此几何体为一个组 合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成.表面积

4π
1
为S＝< br>2
＋
2
×2×2π＝4π.
答案 C
4.(2016·全 国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
多面体的三视图，则该多面体的表 面积为( )

A.18＋365
C.90


B.54＋185
D.81
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.
由题意可知该几何体底面边长为3 ，高为6，所以侧棱长为3
2
＋6
2
＝35.故该几
何体的表面积S ＝3
2
×2＋(3×6)×2＋(3×35)×2＝54＋185.
答案 B
5.(2018·商丘模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，主视图和俯视图都是边长为
10 cm的正方形，将该材料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最
接近( )

A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
解析 由题意，知 该硬质材料为三棱柱(底面为等腰直角三角形)，所以最大球的
半径等于左视图直角三角形内切圆的半径 ，设为r cm，则10－r＋10－r＝102.
∴r＝10－52≈3.

答案 A
二、填空题
6.(2017·全国Ⅱ卷)长方体的长、宽 、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面
上，则球O的表面积为________.
解析 ∵长方体的顶点都在球O的球面上，
∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.
设球的半径为R，则2R＝3
2
＋2
2
＋1
2
＝1 4.

14


＝14π. ∴球O的表面积为S＝4πR
2
＝4π×

2

答案 14π
7.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱
各 一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆
锥和圆柱各一个，则新的底 面半径为________.
11
解析 设新的底面半径为r，由题意得
3
πr
2
·4＋πr
2
·8＝
3
π×5
2
× 4＋π×2
2
×8，解得r
＝7.
答案 7
2
8.(2 017·江苏卷)如图，在圆柱O
1
O
2
内有一个球O，该球与圆柱的上、下 面及母线
V
1
均相切.记圆柱O
1
O
2
的体积为V
1
，球O的体积为V
2
，则
V
的值是________.
2

解析 设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R.
4又V
1
＝πR
2
·2R＝2πR
3
，V
2＝
3
πR
3
，
V
1
2πR
3
3
所以
V
＝
4
＝
2
.
2
3
πR
3

3
答案
2

三、解答题
9.(2016·江苏卷改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部 的形状是
正四棱锥P－A
1
B
1
C
1
D
1
，下部的形状是正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
(如图所示)，
并要求正四棱柱的高O
1
O是正四棱锥的高PO
1
的4倍，若AB＝6 m，PO
1
＝2 m，
则仓库的容积是多少？

解 由PO
1
＝2 m，知O
1
O＝4PO
1
＝8 m.因为A
1
B
1
＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－
11
2
A
1
B
1
C
1
D
1
的体积V< br>锥
＝
3
·A
1
B
2
PO
1
＝
3
×6×2＝24(m
3
)；
1
·
正四棱柱A BCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的体积 V
柱
＝AB
2
·O
1
O＝6
2
×8＝ 288(m
3
)，
所以仓库的容积V＝V
锥
＋V
柱
＝24＋288＝312(m
3
).
故仓库的容积是312 m
3
.
10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝16，BC＝10，AA
1
＝8，点E，F分别在A
1
B
1
，D
1
C1
上，A
1
E＝D
1
F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示.

(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则A M＝A
1
E＝4，EB
1
＝12，EM＝AA
1
＝8.

因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝EH
2
－EM
2
＝6，AH＝10，HB＝6.
1
故S四边形A
1
EHA＝
2
×(4＋10)×8＝56，
1
S四边形EB
1
BH＝
2
×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
9

7

所以其体积的比值为
7

9
也正确

.

能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·衡水中学 调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的
表面积为( )

4141
A.
48
π
C.4π


41
B.
4
π
4π
D.
3

解析 由三视图知该几何体为四棱锥，侧面PBC为左视图，PE
⊥平面ABC，E，F分别是 对应边的中点，底面ABCD是边长是
2的正方形，如图所示.
设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，
341
则h
2
＋2＝ 1
2
＋(2－h)
2
，∴h＝
4
，R
2
＝
16
.
41
∴几何体的外接球的表面积S＝4πR
2
＝
4
π.
答案 B
12.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体 三
视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝
_____ ___.

解析 该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面
半径为r，高为2r，如图.

1
则表面积S＝
2
×4πr
2
＋πr
2
＋(2r)
2
＋πr·2r＝(5π＋4)r
2
，
又S＝16＋20π，所以(5π＋4)r
2
＝16＋20π，解得r＝2.
答案 2
13.(2018·沈阳质检)在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，侧面AA
1
C
1
C⊥底面ABC，AA
1
＝
A
1
C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点.

(1)证明：A
1
O⊥平面ABC；
(2)求三棱锥C
1
－ABC的体积.
(1)证明 因为AA
1
＝A
1
C，且O为AC的中点，
所以A
1O⊥AC，又平面AA
1
C
1
C⊥平面ABC，平面AA
1C
1
C∩平面ABC＝AC，
且A
1
O平面AA
1
C
1
C，∴A
1
O⊥平面ABC.
(2)解 ∵A
1
C
1
∥AC，A
1
C
1
平面ABC，AC 平面ABC，
∴A
1
C
1
∥平面ABC，即C
1
到平面ABC的距离等于A
1
到平面ABC的距离.
2
由(1)知A
1
O⊥平面ABC且A
1
O＝AA
2
1
－AO＝3， < /p>

111
∴V
C
1
－
ABC
＝V
A
1
－
ABC
＝
3
S
△
ABC
·A
1
O＝
3
×2×3×3＝1.
2
×