男生的英语名字-至理名言

专题18 多面体的表面积和体积（解析版）

多面体，因其具有考查直观想象 、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题
专家组的青睐。
易错点1：基础知识不扎实
（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中 顶点在底面三角形上的射
影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；
（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？
易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误
易错点3：“想图、 画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导
致计算错误
易错点4：空间想象能力欠缺
题组一
1．（2016年全国III）如图，网格纸 上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三
视图，则该多面体的表面积为

A．
18365

B．
54185
C．90 D．81
【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的 正方形，故面积都是
9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18， 左右
两个侧面是矩形，边长为
35
和3，故面积都为
95
，则该几何 体的表面积为2(9
+18+
95
)=54 +
185
．
2
．（
2016
全国
II
）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图，则该几何体的表面积
为

A
．
20π B
．
24π C
．
28π D
．
32π
【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为
r
，周长为
c
，圆锥母线长为
l
，圆柱高为
h
．

由 图得
r2
，
c2πr4π
，由勾股定理得：
l2
2
23

2
4
，
1
S
表

π
r
2
chcl
4π16π8π28π
，故选 C．
2
3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为
r< br>)组成一个几何体，该几
何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20

，则
r
=

A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成， 其表面积为

r
2
2

r
2
4r2
2

r
2
20

16
，所以
r2
．
题组二
4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边 长为1，粗实线画出的是某几何体的三视
图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的 体积为

A．
90

B．
63

C．
42

D．
36


【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是 一个底面半径为3，高为4
2
的圆柱，其体积
V
1
343 6
，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的
一半，
其体积
V2

1
(3
2
6)27
，
2< br>故该组合体的体积
VV
1
V
2
362763
．故选B．
解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为
1
(

3
2
)1463

．选B．
2
5．（2013新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
168

B．
88

C．
1616

D．
816


【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4
宽为2高为2 长方体，故其体积为
题组三
6．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩 余部分的三视图如图，则截去
部分体积与剩余部分体积的比值为
1

2
2
4422
=
168

，故选A．
2

A．
1111
B． C． D． < br>8765
【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥
A-A
1< br>B
1
D
1
，其体积为
方体的体积为1，则剩余部分的体积为< br>D
1
A
1
D
A
B
B
1
C< br>1
，又正
6
51
，故所求比值为．
65
C
1

7．（2014新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm），图中粗线画出的< br>是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，
则切削 掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

A．
17
B．
5
C．
10
D．
1

27
9
27
3
【解析】原毛坯的体积
V(

 3)654

，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，
22
其体积< br>V

V
1
V
2
(

2) 4(

3)234

，故所求比值为
1
2
V

10

．
V27
8．（2011新课标）已知两个 圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个
球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的
体积较大者的高的比值为 ．
3
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与< br>16

r3

r
2
3
3

【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的，得，所以，则小圆锥
2
R2
4

R16
16
的高为
题组四

9.
（
2019
全国Ⅲ理
16
）学生到工厂劳动实践，利用
3D
打 印技术制作模型
.
如图，该模型为
长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
挖去四棱锥
O—EFGH
后所 得几何体，其中
O
为长方体的中
心，
E
，
F
，G
，
H
分别为所在棱的中点，
AB=BC=6cm, AA
1
=4cm
，
3D
打印所用
原料密度为
0.9 gcm
3
，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为
___________.
3R1
R
，大圆锥的高为，所以比值为．
23
2

【解析】该模型为长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
，挖去四棱锥
OEFGH
后所得的几何体，其
中
O
为长方体的中心，
E
，
F
，
G
，
H
，分别为所在棱的中点，
ABBC6cm
，
AA
1
4cm< br>，

所以该模型体积为：

11
V
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
V
OEFGH< br>664(46432)314412132(cm
3
)< br>，

32
3D
打印所用原料密度因为为
0.9gcm
3
，不考虑打印损耗，

所以制作该模型所需原料的质量为：
1320.9118.8(g)
．
10.如图，长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D< br>1
的体积是120，E为
CC
1
的中点，则三棱锥E- BCD的体
积是 .

【解析】因为长方体
ABC DA
1
B
1
C
1
D
1
的体积是120， E为
CC
1
的中点，

所以
V
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
ABBCDD
1
120
，所以三棱锥
EBCD
的体积：
1111
VEBCD
S
VBCD
CEBCDCCEABBCDD
1
10
.
33212
11．（2014新课标Ⅱ）正三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
的底面边长为2，侧棱长为3
，D为BC中
点，则三棱锥
AB
1
DC
1
的体积为
A．3 B．
3
3
C．1 D．
2
2
【解析】由题意可知
ADBC
，由面面垂直的性质定理 可得
AD
平面
DB
1
C
1
，
又
AD2sin603
，所以
V
AB
1
DC
1
故选C．
12．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上 的等边三角形
ABC
的中心为
O
．
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，
DBC
，
ECA
，
FAB
分别是以
BC
，
o
111
ADSB
1
DC
1
3231
，
332
CA
，
AB
为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，< br>CA
，
AB
为折痕折起
DBC
，
ECA
，
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到 三棱锥。当
ABC
的边长变
化时，所得三棱锥体积(单位：
cm
) 的最大值为_______。
3
E
A
F
B
D
< br>O
C
【解析】如图连接
OE
交
AC
于
G，由题意
OEAC
，设等边三角形
ABC
的边长为
x