空间几何体的表面积和体积练习题

玛丽莲梦兔
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2021年01月03日 13:46
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2021年1月3日发(作者:景翩翩)


一、 知识回顾
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积 = 侧面积 + ______________;
(2)圆柱:r为底面半径,
l
为母线长
侧面积为_______________;表面积为_______________.
圆锥:r为底面半径,
l
为母线长
侧面积为_______________;表面积为_______________.
圆台:r’、r分别为上、下底面半径,
l
为母线长
侧面积为_______________;表面积为_______________.
(3)柱体体积公式:________________________;(S为底面积,h为高)
锥体体积公式:________________________;(S为底面积,h为高)
台体体积公式:________________________;
(S’、S分别为上、下底面面积,h为高)

二、 例题讲解
题1:如图(1)所示,直角梯形ABCD绕着它的底
边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面
积是______________;体积是______________。

B 3 C
D
8
4
A



图(1)

题2:若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示,
求这个正三棱柱的表面积与体积

主视图
2
23

左视图
俯视图





图(2)





题3:如图(3)所示,在多面体ABCDEF
E
中,已知ABCD是边长为1的正方形,
F
D
1

且,均为正三角形,
BCF
ADE
C
1

C
23
43
E
EF6cm4cm
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
A
1
B
A
1
1

EAB
1
D
1

B
1

33
32
D
A B



D
C
A
B

图(4)


3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形,正
视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三
角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4
的等腰三角形.


(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S。
图(5)
(选做题)4、如图(6),一个圆锥的底面半径为2cm,
高为6cm,在其中有一个高为xcm的内接圆柱。
(1)试用x表示圆柱的侧面积;
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?






一、选择题(每小题5分,共计60分。请把选择答案填在答题卡上。)
1.以三棱锥各面重心为顶点,得到一个新三棱锥,它的表面积是原三棱锥表面积的
A.
1111
B. C. D.

34916
3
3
a
,则侧棱与底面所成的角等于 < br>2
2.正六棱锥底面边长为a,体积为
5



< br> B. C. D.

12
643
3.有棱长为6的正四面体S-ABC,
A

, B

,C

分别在棱SA,SB,SC上,且S
A

=2,S
B

=3,
S
C

=4,则截面
A

B

C

将此正四面体分成的两部分体积之比为
1111
A. B. C. D.

9843
A.
4.长方体的全面积是11,十二条棱长的和是24,则 它的一条对角线长是
A.
23
. B.
14
C. 5
5.圆锥 的全面积是侧面积的2倍,侧面展开图的圆心角为

,则角

的取值范围是
A.

0,90

B

180,270

C

90,180

D


6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程
x9x180
的两根,其侧面积等 于两底面
积的和,则其斜高与高分别为
A.
2
53
与2 与 与4 与3
22


7.已知正四面体A- BCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体E- FGH
的表面积为T,则
1411
T
等于 A. B. C. D.

9943
S

8. 三个两两垂直的平面 ,它们的三条交线交于一点O,点P到三个平面的距离比为1∶2∶
3,PO=2
14
,则P到这三个平面的距离分别是
A.1,2,3 B.2,4,6 C.1,4,6 D.3,6,9
9.把直径分别为
6cm,8cm,10cm< br>的三个铁球熔成一个大铁球,这个大铁球的半径是
A.
3cm
B.
6cm
C.
8cm
D.
12cm

9. 如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正 方形,

ADE、BCF
均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为
A.
23
B.
33
C.
43
D.
32

10.如图,在四面体
ABCD中,截面AEF经过四面体的内
切球(与四个面都相切的球)球心
O
,且与
BC

DC
分别交于
E

F
,如果截面将四面体 分
成体积相等的两部分,设四棱锥A-
BEFD
与三棱锥
A

EFC
的表面积
分别是
S
1
、S
2
,则必有
A
S
2
B.
S
1
S
2
C.
S
1
=
S
2
D.
S
1
与S
2
的大小关系不能确定
11.三角 形ABC中,AB=
23
,BC=4,
ABC120
,现将三角形ABC绕BC旋转一周,所得简单组合体的体积为
B
E
O
D
F
A.
4

B.
3(43)



D.
(43)


12.棱台的上、下底面面积分别为4和9,则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是
A.
C
1123
B. C. D.

2334
1
C
2
B
3
B
4
C
5
D
6
A
7
A
8
B
9
B
A
10
C
11
C
12
B
题号
答案
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题5分,共20分).
13. 一个四面体的所有棱长都为
2
,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为
3

.

14.已知底面半径为
r
的圆柱被一个平 面所截,剩下部分母线长的最大值为
a
,最小值为
b

(ab)r
2

那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是.
2
15. (江西卷 )在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,底面为直角三角形 ,ACB=90,AC=6,
BC=CC
1

2
,P是BC
1
上一动点,则CP+PA
1
的最小值是
371
.
1 6.圆柱的轴截面的对角线长为定值,为使圆柱侧面积最大,轴截面对角线与底面所成的
0
角为 45 .


三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本 大题共4个大题,共20分).
17.圆锥的底面半径为
5cm
,高为12
cm
,当它的内接圆柱的底面半径为何值时,圆锥的
内接圆柱全面积有最大值?最大值是多少 ?
当r=307cm时,S的最大值是

18.如图,已知正三棱柱ABC—A1
B
1
C
1
的侧面对角线A
1
B与侧面ACC
1
A
1
成45°角,AB=4,求
棱柱的侧面积.
棱柱的侧面积为24
2

360


7
练习11 空间几何体的表面积与体积
A组
1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面
积与侧面积的比是( ).
12

14

12

14

A
) (
B
) (
C
) (
D


2

4

2

2.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,
则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( ).
2345

A
) (
B
) (
C
) (
D


3456
3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是6cm
和8 cm,高是5cm,则这个直棱柱的全面积是 。
4.已知两个母线长相等的圆 锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积
之比为1:2,则它们的高之比为 。
5.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为1cm,2cm,3cm,则此
棱 锥的体积_______________。
6.矩形两邻边的长为
a

b
,当它分别绕边
a

b
旋转一周时, 所形成的几何体
的体积之比为 。
1
7.球面上有三点, 其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的,经过这三
6
点的小圆周长为4π,则这个球的表 面积为 。


B

1.四面体
ABCD
四个面的重心分别为
E

F

G

H
,则四面体
EFGH
的表面积与


四面体
ABCD
的表面积的比值是 。
2.半径为
R
的半球,一正方体的四个顶点在半球的底面上,另四个顶点在半球< br>的球面上,则该正方体的表面积是 。
3.如图,一个棱锥
S

BCD
的侧面积是
Q
,在高
SO
上取一点
A

1
使
SA
=
SO
,过点
A
作平行于底面的截面得一棱台,求这个棱台
3
的侧面积.




4.如图,在四棱锥
P

ABCD
中,底面
AB CD
是正方形,边长
AB
=
a


PD
=
a

PA
=
PC
=
2
a
,若在这 个四棱锥内放一个球,求球的最
大半径.




练习七参考答案
A
组 1.答案:
A

解:设展开图的 正方形边长为
a
,圆柱的底面半径为
r
,则2π
r
=
a

r
a

2

a
2
a< br>2
2
a
12

底面圆的面积是,于是全面积与侧面积的比是
2

2
,选
A
.

4

a2

2.答案:
D

解 :正方体的体积为1,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱
1111111
锥的 体积是
()
,于是8个三棱锥的体积是,剩余部分的体
32222486< /p>


5
,选
D
.
6
3.答案:148 cm
2
解:底面菱形中,对角线长分别是6cm 和8cm,所以底面边长是5cm, 侧面面积是4×5×5=100cm
2
,两个底面面积是48cm
2

所以棱柱的全面积是148cm
2
.
积是
4.答案:2
2

5

解:设圆柱的母线长为
l
,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它
2

4

们的侧面积之比为1:2,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和,
33
2

rl2l
由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式


,得
r
1


r
2


l33
l
l
2
()
2
3

22
. 所 以它们的高的比是
2l5
l
2
()
2
3
5.答案 :1cm
3

解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为1c m,2cm
的两条)确定的侧面看作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积是1,
高 为3,
1
则它的体积是×1×3=1cm
3
.
3
b
6.答案:

a
解:矩形绕
a
边旋转 ,所得几何体的体积是V
1

b
2
a
,矩形绕
b
边旋转,所得
V
1

b
2
ab
几何体的体 积是V
2

ab
,所以两个几何体的体积的比是

2
.
V
2

aba
2
7.答案:48π < br>解:小圆周长为4π,所以小圆的半径为2,又这三点
A

B

C
之间距离相等,
所以每两点间的距离是
AB
=
BC
=
AC
=2
3


A

B
之间的大圆劣弧长等于大圆周长的
角是60°,
所以大圆的半径
R
=2
3
,于是球的表面积是4π
R
2
=48π.
1
,所以
A

B
在大圆中的圆心
6


B
组 1.答案:1:9
解:如图,不难看出四面体< br>EFGH
与四面体
ABCD
是相似的。
所以关键是求出它们的相似比,
连接
AF

AG
并延长与
BC

CD相交于
M

N

由于
F

G
分别是三角形的重心,所以
M

N
分别是
BC

CD
的中点,且
AF

AM
=
AG

AN
=2:3,
所以
FG

MN
=2:3,又
MN< br>:
BD
=1:2,
所以
FG

BD
=1:3,即两个四面体的相似比是1:3,
所以两个四面体的表面积的比是1:9.
2.答案:
4R
2

解:如图,过正方体的对角面
AC
1
作正方体和半球的截面。
则< br>OC
1
=
R

CC
1
=
a

OC
=
2
a

2
A
A
HB
F
M
E
C
G
N
D
A
1C
1
O
C
所以
a
2
(
2
2
2
a)R
2
,得
a
2
=
R
2< br>,
2
3
所以正方体的表面积是6
a
2
=4
R
2
.
3.解:棱锥
S

BCD
的截面为
B

C

D
’,过
S

SF

B

C
’,垂足为
F
,延

SF

BC
于点
E
,连结
AF

OE

∵ 平面
AFSASF1111
BCD
SFSEB'C'BCS< br>SB'C'
S
SBC
OESOSE3339
1118

S
SB'D'
S
SBD
S
SC'D'
S
SCD
9999
4.解:设放入的球的半径为
R
,球心为
S
,当且仅当球与四棱锥
的各个面都相切时,球的半径最大,
连结
SA
SB

SC

SD

SP
,则把此 四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,
这些小棱锥的高均为
R
,底面为原四棱锥的侧 面或底面.由体积关系,得
R
V
PABCD
(S
PABS
PBC
S
PCD
S
PAD
S
W
ABCD
)

3


< br>
R2
2
2
2
1
2
1
2
( aaaaa
2
)

32222
R
(22)a
2

3
R1
1 1
又V
P

ABCD
=
S
正方形
ABCD
·
PD
=
a
3
,∴
(22)a
2
a
3

33
33


解得
R
=
22
a

2
22
a
.
2
故所放入的球的最大半径为

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