中国创新创业大赛-性感表姐

一、 知识回顾
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积 = 侧面积 + ______________；
（2）圆柱：r为底面半径，
l
为母线长
侧面积为_______________；表面积为_______________.
圆锥：r为底面半径，
l
为母线长
侧面积为_______________；表面积为_______________.
圆台：r’、r分别为上、下底面半径，
l
为母线长
侧面积为_______________；表面积为_______________.
（3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）
锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）
台体体积公式：________________________；
（S’、S分别为上、下底面面积，h为高）

二、 例题讲解
题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底
边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面
积是______________；体积是______________。

B 3 C
D
8
4
A



图（1）

题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示，
求这个正三棱柱的表面积与体积

主视图
2
23

左视图
俯视图

图（2）





题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF
E
中，已知ABCD是边长为1的正方形，
F
D
1

且，均为正三角形，
BCF
ADE
C
1

C
23
43
E
EF6cm4cm
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
A
1
B
A
1
1

EAB
1
D
1

B
1

33
32
D
A B



D
C
A
B

图（4）


3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正
视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三
角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4
的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S。
图（5）
（选做题）4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm，
高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱。
（1）试用x表示圆柱的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？






一、选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。）
1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的
A.
1111
B. C. D.

34916
3
3
a
，则侧棱与底面所成的角等于 < br>2
2．正六棱锥底面边长为a，体积为
5



< br> B. C. D.

12
643
3．有棱长为6的正四面体S-ABC，
A

, B

,C

分别在棱SA，SB，SC上，且S
A

=2，S
B

=3，
S
C

=4，则截面
A

B

C

将此正四面体分成的两部分体积之比为
1111
A. B. C. D.

9843
A.
4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则 它的一条对角线长是
A．
23
. B.
14
C. 5
5.圆锥 的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为

，则角

的取值范围是
A．

0,90

B

180,270

C

90,180

D


6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程
x9x180
的两根，其侧面积等 于两底面
积的和，则其斜高与高分别为
A．
2
53
与2 与 与4 与3
22

7.已知正四面体A- BCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体E- FGH
的表面积为T，则
1411
T
等于 A． B. C. D.

9943
S

8. 三个两两垂直的平面 ，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶
3，PO=2
14
，则P到这三个平面的距离分别是
A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9
9.把直径分别为
6cm,8cm,10cm< br>的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是
A．
3cm
B.
6cm
C.
8cm
D.
12cm

9. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正 方形，
且
ADE、BCF
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
A.
23
B.
33
C.
43
D.
32

10．如图，在四面体
ABCD中，截面AEF经过四面体的内
切球（与四个面都相切的球）球心
O
，且与
BC
，
DC
分别交于
E
、
F
，如果截面将四面体 分
成体积相等的两部分，设四棱锥A－
BEFD
与三棱锥
A
－
EFC
的表面积
分别是
S
1
、S
2
，则必有
A
S
2
B.
S
1
S
2
C.
S
1
=
S
2
D.
S
1
与S
2
的大小关系不能确定
11.三角 形ABC中，AB=
23
，BC=4，
ABC120
，现将三角形ABC绕BC旋转一周，所得简单组合体的体积为
B
E
O
D
F
A．
4

B.
3(43)



D.
(43)


12.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是
A．
C
1123
B. C. D.

2334
1
C
2
B
3
B
4
C
5
D
6
A
7
A
8
B
9
B
A
10
C
11
C
12
B
题号
答案
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.
13. 一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为
3

.

14.已知底面半径为
r
的圆柱被一个平 面所截，剩下部分母线长的最大值为
a
，最小值为
b
，
(ab)r
2

那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是.
2
15. （江西卷 ）在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，底面为直角三角形 ，ACB＝90，AC＝6，
BC＝CC
1
＝
2
，P是BC
1
上一动点，则CP＋PA
1
的最小值是
371
.
1 6.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的
0
角为 45 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本 大题共4个大题，共20分）.
17.圆锥的底面半径为
5cm
，高为12
cm
，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的
内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少 ？
当r=307cm时，S的最大值是

18．如图，已知正三棱柱ABC—A1
B
1
C
1
的侧面对角线A
1
B与侧面ACC
1
A
1
成45°角，AB=4，求
棱柱的侧面积.
棱柱的侧面积为24
2

360


7
练习11 空间几何体的表面积与体积
A组
1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面
积与侧面积的比是（ ）.
12

14

12

14
 （
A
） （
B
） （
C
） （
D
）

2

4

2

2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，
则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.
2345
（
A
） （
B
） （
C
） （
D
）

3456
3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm
和8 cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 。
4．已知两个母线长相等的圆 锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积
之比为1：2，则它们的高之比为 。
5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此
棱 锥的体积_______________。
6．矩形两邻边的长为
a
、
b
，当它分别绕边
a
、
b
旋转一周时, 所形成的几何体
的体积之比为 。
1
7．球面上有三点， 其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的，经过这三
6
点的小圆周长为4π，则这个球的表 面积为 。


B
组
1．四面体
ABCD
四个面的重心分别为
E
、
F
、
G
、
H
，则四面体
EFGH
的表面积与

四面体
ABCD
的表面积的比值是 。
2．半径为
R
的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球< br>的球面上，则该正方体的表面积是 。
3．如图，一个棱锥
S
－
BCD
的侧面积是
Q
，在高
SO
上取一点
A
，
1
使
SA
=
SO
，过点
A
作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台
3
的侧面积.




4．如图，在四棱锥
P
－
ABCD
中，底面
AB CD
是正方形，边长
AB
=
a
，
且
PD
=
a
，
PA
=
PC
=
2
a
，若在这 个四棱锥内放一个球，求球的最
大半径.




练习七参考答案
A
组 1．答案：
A

解：设展开图的 正方形边长为
a
，圆柱的底面半径为
r
，则2π
r
=
a
，
r
a
，
2

a
2
a< br>2
2
a
12

底面圆的面积是，于是全面积与侧面积的比是
2

2
，选
A
.

4

a2

2．答案：
D

解 ：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱
1111111
锥的 体积是
()
，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体
32222486< /p>

5
，选
D
.
6
3．答案：148 cm
2
解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm，所以底面边长是5cm， 侧面面积是4×5×5=100cm
2
，两个底面面积是48cm
2
，
所以棱柱的全面积是148cm
2
.
积是
4．答案：2
2
：
5

解：设圆柱的母线长为
l
，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它
2

4

们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，
33
2

rl2l
由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式


，得
r
1

，
r
2

，
l33
l
l
2
()
2
3

22
. 所 以它们的高的比是
2l5
l
2
()
2
3
5．答案 ：1cm
3

解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1c m，2cm
的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，
高 为3，
1
则它的体积是×1×3=1cm
3
.
3
b
6．答案：

a
解：矩形绕
a
边旋转 ，所得几何体的体积是V
1
=π
b
2
a
，矩形绕
b
边旋转，所得
V
1

b
2
ab
几何体的体 积是V
2
=π
ab
，所以两个几何体的体积的比是

2
.
V
2

aba
2
7．答案：48π < br>解：小圆周长为4π，所以小圆的半径为2，又这三点
A
、
B
、
C
之间距离相等，
所以每两点间的距离是
AB
=
BC
=
AC
=2
3
，
又
A
、
B
之间的大圆劣弧长等于大圆周长的
角是60°，
所以大圆的半径
R
=2
3
，于是球的表面积是4π
R
2
=48π.
1
，所以
A
、
B
在大圆中的圆心
6

B
组 1．答案：1：9
解：如图，不难看出四面体< br>EFGH
与四面体
ABCD
是相似的。
所以关键是求出它们的相似比，
连接
AF
、
AG
并延长与
BC
、
CD相交于
M
、
N
，
由于
F
、
G
分别是三角形的重心，所以
M
、
N
分别是
BC
、
CD
的中点，且
AF
：
AM
=
AG
：
AN
=2：3，
所以
FG
：
MN
=2：3，又
MN< br>：
BD
=1：2，
所以
FG
：
BD
=1：3，即两个四面体的相似比是1：3，
所以两个四面体的表面积的比是1：9.
2．答案：
4R
2

解：如图，过正方体的对角面
AC
1
作正方体和半球的截面。
则< br>OC
1
=
R
，
CC
1
=
a
，
OC
=
2
a
，
2
A
A
HB
F
M
E
C
G
N
D
A
1C
1
O
C
所以
a
2
(
2
2
2
a)R
2
，得
a
2
=
R
2< br>，
2
3
所以正方体的表面积是6
a
2
=4
R
2
.
3．解：棱锥
S
－
BCD
的截面为
B
’
C
’
D
’，过
S
作
SF
⊥
B
’
C
’，垂足为
F
，延
长
SF
交
BC
于点
E
，连结
AF
和
OE
，
∵ 平面
AFSASF1111
BCD
SFSEB'C'BCS< br>SB'C'
S
SBC
OESOSE3339
1118

S
SB'D'
S
SBD
S
SC'D'
S
SCD
9999
4．解：设放入的球的半径为
R
，球心为
S
，当且仅当球与四棱锥
的各个面都相切时，球的半径最大，
连结
SA、
SB
、
SC
、
SD
、
SP
，则把此 四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，
这些小棱锥的高均为
R
，底面为原四棱锥的侧 面或底面.由体积关系，得
R
V
PABCD
(S
PABS
PBC
S
PCD
S
PAD
S
W
ABCD
)

3


< br>
R2
2
2
2
1
2
1
2
( aaaaa
2
)

32222
R
(22)a
2

3
R1
1 1
又V
P
－
ABCD
=
S
正方形
ABCD
·
PD
=
a
3
，∴
(22)a
2
a
3
，
33
33

解得
R
=
22
a
，
2
22
a
.
2
故所放入的球的最大半径为