爱上琉璃苣女孩歌曲-教师资格条例

学生： 管笑澜 科目： 数学 第 1 阶段第 3 次课
教师： 于利 时间：20 13 年 9 月 13 日 4-6 时段
课题

空间几何体的表面积与体积公式

1、理解并掌握几何体的表面积与体积公式
教学目标
2、能解决三视图中几何体的表面积与体积
重点、难点
几何体的表面积与体积公式的运用
1、理解并掌握几何体的表面积与体积公式
考点及考试要求
2、能解决三视图中几何体的表面积与体积
教学内容
知识框架
柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
'
h
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）
S
直棱柱侧面积
ch

S
圆柱侧
2

rh

S
正棱锥侧面积

S
正棱台侧面积

1
ch'

S
圆锥侧面积


rl

2
S
圆 柱表
1
(c
1
c
2
)h'

S
圆台侧面积
(rR)

l

2
2

r

rl


S
圆锥表


r

rl


S
圆台表


r
2
rlRlR
2< br>
（3）柱体、锥体、台体的体积公式

V
柱
Sh

V
圆柱
Sh

r
2
h

V
锥

1
Sh

V
圆锥

1

r
2
h

3
3
1
'
1
1
'22
V
台
(S
'
S
'
SS)h

V
圆台
(SSSS)h

(rrRR)h

33
3

（4）球体的表面积和体积公式：
V
球
=
4

R
3

3


知识点一： 几何体的体积与表面积
； S
球面
=
4

R
2

例1．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为( )．
A．1∶3 B．1∶
3
C．1∶9 D．1∶81
例2．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 ．
例3．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面 的内接正方形．已知圆柱表面积为6，且底面圆直
径与母线长相等，求四棱柱的体积．


例4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，C D＝2
2
，AD＝2，求四边形ABCD
绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体 积．




例5．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱 ，它们的表面积相等，试比较它们的体积V
正方体
，V
球
，

V
圆柱
的大小


针对性练习
一、选择题：
1．过正三棱柱底面一边的截面是
A．三角形 B．三角形或梯形 C．不是梯形的四边形
2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是

A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于
A．
（ ）

D．梯形
（ ）

（ ）

1

2
2
B．1 C．2 D．3
（ ） 4．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了
A．
6a
B．12a
2
C．18a
2
D．24a
2
5．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B ，BD，A′D，AD，则三棱
锥A—A′BD的体积
A．

6

12
（ ）
1
3
a

6
B．
3
a
3
C．
3
a
3
D．
1
a
3

12

6．两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是 （ ）


A．
1

2
B．1 C．2 D．3
7．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ）
A．2：3：5 B．2：3：4 C．3：5：8 D．4：6：9
8．直径为10c m的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的削球，如果不计损耗，可铸成这样的小
球的个数为 （ ）

A．5 B．15 C．25 D．125
9．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为
A．
（ ）


B．
26
C．


4
D．


3
10．中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（ ）
A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8


知识点二：三视图与直观图的表面积体积
例1．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
例2．等腰梯形ABC D，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，
则由斜二测画法画出的 直观图A′B′C′D′的面积为________．




针对性练习
基础热身

1．已知几何体的三视图如图K36－1所示，则该几何体的表面积为( )
A．80＋7π B．96＋7π C．96＋8π D．96＋9π

图K36－1图K36－2


2．一个空间几何体的三视图及其尺寸如图K36－2所示，则该空间几何体的体积是( )
147
A. B. C．14 D．7
33
3．一个几何体按比例绘 制的三视图如图K36－3所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )
图K36－3
99
A．4 m
3
B. m
3
C．3 m
3
D. m
3

24
4．某品牌香水瓶的三视图如图 K36－4(单位：cm)，则该几何体的表面积为
( )

ππππ
95－

cm
2
B.

94－

cm
2
C.

94＋

cm
2
D.

95＋

cm
2
A.

2
2

2

2

能力提升

5．已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图K36－5所示，则这个四棱锥的体积是( )
A．1 B．2 C．3 D．4

图K36－5图K36－6
6．一个棱锥的三视图如图K36－6，则该棱锥的全面积为( )
A．48＋122 B．48＋242 C．36＋122 D．36＋242
7．[2010·安徽卷] 一个几何体的三视图如图K36－7，该几何体的表面积为( )

图K36－8


图K36－7
A．280 B．292 C．360 D．372
8．某三棱锥的侧视图和俯视图如图K36－8所示，则该三棱锥的体积为( )

A．43 B．83 C．123 D．243
9．如图K36－9(单位：cm)， 将图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为(单位：cm
3
)( )
图K36－9
140π160π
A．40π B. C．50π D.
33


10．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如 图K36－10，截下部分的母线最大长度为
2，最小长度为1，则截下部分的体积是________ ．






课后练习

1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图K36－11所示，则此几何体的体积是________ cm
3
.

2．在三棱柱ABC－A′B′C′中，点P，Q分别在棱BB ′，CC′上，且BP＝2PB′，CQ＝3QC′，若三
棱柱的体积为V，则四棱锥A－BPQC的体 积是________．
3．(10分)如图K36－12所示的△OAB绕x轴和y轴各旋转一周， 分别求出所得几何体的表面积．

4、已知 某几何体的俯视图是如图K36－13所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角
形，侧 视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
图K36－13


5．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．

图K36－14

作业答案
【基础热身】
1．C [解析] 这个空间几何体上半部分是底面半径为1，高为4的圆柱， 下半部分是棱长为4的正方
体，故其全面积是2π×1×4＋π×1
2
＋6×4×4－ π×1
2
＝96＋8π.故选C.
2．A [解析] 这个空间几何体是一个一条侧 棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是
114
边长为1的正方形，下底面是边 长为2的正方形，故其体积V＝(1
2
＋1
2
×2
2
＋2< br>2
)×2＝.
33
3．C [解析] 根据视图还原几何体．这个空间几何体的直观图如下，其体积是3 m
3
.

4．C [解析] 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面 四
ππ
1
棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－；中间部分的表面积为2π ××1＝π，下面部分的表面积为
442
πππ
2×4×4＋16×2－＝64－.故 其表面积是94＋.
442
1
5．B [解析] 这个四棱锥的高是13－4＝3，底面积是2×2＝2，故其体积为×2×3＝2.故选B.
3
6．A [解析] 根据给出的三视图，这个三棱锥是一个底面为等腰直角三角形、一个侧面 垂直于底面的三棱
锥，其直观图如图所示，其中PD⊥平面ABC，D为BC中点，AB⊥AC，过D作 ED⊥AB于E，连接PE，
由于AB⊥PD，AB⊥DE，故AB⊥PE，PE即为△PAB的底边A B上的高．在Rt△PDE中，PE＝5，侧面PAB，
111
PAC面积相等，故这个三棱锥 的全面积是2××6×5＋×6×6＋×62×4＝48＋122.
222
7．C [解析] 由题中的三视图知，该几何体是由两个长方体组成的简单组合体，下面是一个长、宽、高分
别是8,10 ,2的长方体，上面竖着的是一个长、宽、高分别为6、2、8的长方体，那么其表面积等于下面长
方体 的表面积与上面长方体的侧面积之和，即S＝2(8×10＋8×2＋10×2)＋2(6×8＋2×8)＝36 0.
8．A 根据三视图可知，在这个三棱锥中其侧视图的高就是三棱锥的高、俯视图的面积就是三棱 锥的底面
积，其中俯视图的宽度和侧视图的宽度相等，所以侧视图的底边长是2，由此得侧视图的高为2 3，此即为
1
三棱锥的高；俯视图的面积为6，此即为三棱锥的底面积．所以所求的三棱锥的体 积是×6×23＝43.
3
4
9．B 由图中数据，根据圆台和球的体积公式得V< br>圆台
＝×[π×2
2
＋π×2
2
×π×5
2< br>＋π×5
2
]＝52π，V
半球
3
411616140＝
π×2
3
×＝
π.所以，旋转体的体积为V
圆台
－V
半球
＝52π－π＝π(cm
3
)．
32333
3π
10. [解析] 这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公 式，根据对称性可以把它补成如图所示的
2
1
圆柱，这个圆柱的高是3，这个圆柱的体 积是所求的几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是×π×1
2
×3
2
＝
3π
.
2

1．144该空间几何体为一四棱柱和 一四棱台组成的，四棱柱的长宽都为4，高为2，体积为4×4×2＝32，
1
四棱台的上下底 面分别为边长为4和8的正方形，高为3，所以体积为×3×(4
2
＋4
2
× 8
2
＋8
2
)＝112，所
3
以该几何体的体积为32＋1 12＝144.
2.
17
V [解析] 四棱锥A－BPQC与四棱锥A－BB′C ′C具有相同的高，故其体积之比等于其底面积之比，
36
23
由BP＝2PB′，C Q＝3QC′得BP＝BB′，CQ＝CC′，设平行四边形BB′C′C的高为h，则其面积S
34< br>3
1
2
171717
BB′＋CC′

·＝CC′· h，则梯形BPQC的面积等于

h＝CC′·h＝S，故VV.
A
－BPQC
＝
4

2

3
242424
A
－
BB
′
C
′
C
1217217
而V< br>A
－
BB
′
C
′
C
＝V－V
A－
A
′
B
′
C
′
＝V－V＝V，故V
A
－
BPQC
＝×V＝V.
3324336
3．[解答] 绕x轴 旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面半径分别为2,3，高为3的圆台，挖去了
一个底面半径为3 ，高为3的圆锥，如图(1)，其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥
的侧面积之和 ．圆台的母线长是10，圆锥的母线长是32，故其表面积S
1
＝π·2
2
＋ π(2＋3)·10＋π·3·32＝
(4＋510＋92)π.绕y轴旋转一周所形成的空间几何体是 一个大圆锥挖去了一个小圆锥，如图(2)，此时大
圆锥的底面半径为3，母线长为32，小圆锥的底面 半径为3，母线长为10，这个空间几何体的表面积是
这两个圆锥的侧面积之和，故S
2
＝π·3·32＋π·3·10＝(92＋310)π.

4．[解答] 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．
1
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
3
(2)该四棱锥有两个侧面PA D、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h
1
＝
另两个侧面PAB、PCD 也是全等的等腰三角形，且AB边上的高为h
2
＝
11
×6×42＋×8×5

＝40＋242. 因此S＝2

2

2

5．[解答] 过PA与球心O作截 面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE.因△ABC是正三角形，
易知AE即是△AB C中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥的高PD通过球心，且D是三角
113
形△ABC的重心，据此及底面边长为26，即可算出DE＝AE＝××26＝2，
332
r
1－r
r
1－r
PE＝1＋2
2
＝3，由△POF∽△ PED，知＝，∴＝，∴r＝6－2.
DEPE
23
13
∴S
表< br>＝S
侧
＋S
底
＝3××26×3＋×(26)
2
＝9 2＋63.
24
8

2
4
2
＋


2

＝42，
6

2
4
2
＋


2

＝5，