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高中数学必修二教案

空间几何体的表面积与体积

第一课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）
教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台 的表面积公式进行计算和解决有
关实际问题。
教学重点：运用公式解决问题。
教学难点：理解计算公式的由来。
教学过程：
一、准备：
1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？
2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？
二、讲授新课：
1. 教学表面积计算公式的推导：
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
② 练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体
S-ABC
的表面积.
一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积。
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），
S
圆柱侧
=2

rl
，S
圆柱表
=2

r(rl )
，其中为
r
圆柱底面半径，
l
为母线长。
圆锥：侧面展 开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆
长，侧面展开图扇形中心角为

 360
0
，S
r
l
圆锥侧
锥底面周
=
< br>rl
，
S
圆锥表
=

r(rl)
，其中 为
r
圆锥底面半径，
l
为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧 长等于圆台上底周长，外弧长
下底周长，侧面展开图扇环中心角为


S圆台侧
=

(rR)l
，S
圆台表
=
(r
2
rlRlR
2
)
。
④ 练习：一个圆台，上下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面
积。 （变式：求切割之前的圆锥的表面积）
2. 教学表面积公式的实际应用：
① 出示例：一 圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盘壁
长15cm。 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油
漆？
讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？
列式 → 计算 → 变式训练：内外涂
② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm，高是200mm,
计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积。
3. 小结：表面积公式及推导；实际应用问题
三、巩固练习：
1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S- ABCD，求其表面积。
2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比
为1：1，求截面的半径。 （变式：r、R；比为p:q）
3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
3
，求这个圆锥的表面积。
4. 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值。
第1页 共4页 等于圆台
Rr
360
0
，
l

5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？
6. 作业：

第二课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）
教学要求：了解柱、锥、台的体积计 算公式；能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算
和解决有关实际问题。
教学重点：运用公式解决问题。
教学难点：理解计算公式之间的关系。
教学过程：
一、准备：
1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？
2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积。
3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
二、讲授新课：
1. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理）
② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式：
V
柱
Sh
（S为底面面积，h为柱体的高）→
V
圆柱
Sh

r
2
h

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？
④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
→给出锥体的体积计算公式：
V
锥
Sh
S为底面面积，h为高）
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
1
3
11
→
V
圆台< br>(S
'
S
'
SS)h

(r
2rRR
2
)h
（r、R分别为圆台上底、下底半径）
33
1
3
⑥ 给出台体的体积公式：
V
台
(S< br>'
S
'
SS)h
（S，
S
'
分别上、下底面积，h为高）
⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一 点时，台成为锥；当台体上底放大为与
下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可 以从台体的体积公式得到柱、锥
的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式。
讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？
2. 教学体积公式计算的运用：
① 出示例：一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长1 2mm，内空直径10mm，高10mm，
估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8gcm
3< br>）
讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？
→ 列式计算 → 小结：体积计算公式
② 练习：将 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这
些水倒入轴截面是正 三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度。
3. 小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用。
三、巩固练习及作业：
1. 把三棱 锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，
求这三部分自上而下 的体积之比。
2. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积。
3. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm
2
,体积为2800cm
3
，求它的侧面积。
4. 仓库一角有谷一堆，呈14圆锥形，量得底面弧长2.8 m，母线长2.2m，这堆谷多重？720kgm
3

第2页 共4页

第三课时 球的体积和表面积
教学要求：了解球的表面积和体 积计算公式；能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计
算和解决有关实际问题。
教学重点：运用公式解决问题。
教学难点：运用公式解决问题。
教学过程：
一、准备：
1. 提问：柱、锥、台的体积计算公式？圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式？
2. 两个平行于圆锥底 面的平面将圆锥的高分成相等的三段，求圆锥分成的三部分的侧面积之
比、三部分的体积之比。
二、讲授新课：
1. 教学球的表面积及体积计算公式：
① 讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？
② 给出公式：
V
球
=

R
3
； S
球面
=4

R
2.
（R为球的半径）
→讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？
（证明的基本思想是：“分割→求体 积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公
式）。
③ 出示例：圆柱的底面直径 与高都等于球的直径。求球的体积与圆柱体积之比；证明球的表
面积等于圆柱的侧面积。
讨论：圆柱与球的位置关系？（相切） → 几何量之间的关系（设球半径R，则…）
→ 师生共练 → 小结：公式的运用. → 变式：球的内切圆柱的体积
④练习：一个气球的半径扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？
2. 体积公式的实际应用：
① 出示例：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密度7.9gcm
3
）
讨论：如何求空心钢球的体积？
→ 列式计算 → 小结：体积应用问题。
② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形， 在容器内放入一个半径为R的球，并
注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深 度。
③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的
对称轴 旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体
积的 ，球的表面积也是圆柱全面积的。
三、巩固练习及作业：
1. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为6cm，求这个球的表面积和体积。
2. 如果球的体积是 V
球
，它的外切圆柱的体积是V
圆柱
，外切等边圆锥的体积是V
圆锥
，求这三个
几何体体积之比。
A 2
D
3. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的
几何体的表面积和体积。
4．一个正方体的内切球的体积为V，求正方体的棱
4
长。若球与正方体的各棱相切，则正方体的棱长是
多少？
C
B
5
5. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积
之比。
6. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4, 求此球的表面积和体积。
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4
3
2
3
2
3

四、小结
课堂反馈与矫正：请链接英才网

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