补钙菜谱-有关青春的作文

柱、锥、台表面积的求法



求关于柱、锥、台体的表面积 时，必须分清所求几何体的结构特征，即柱、锥、台体等
的哪种几何体，或是由几个柱、锥、台等构成的 几何体(组合体)，然后选用相应的面积公式
求解.下面举例说明.
一﹑求棱体的表面积 < br>棱柱的侧面展开图是平行四边形，上、下底面面积相等，因此只要计算出侧面积与一个
底面的面积 ，其表面积可求；棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各
个三角形面积之和；棱台 的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各个梯形的面
积之和.由此可知，求棱体的表面积主 要分为两次运算，一次是计算侧面积，一次是计算底
面积.
例1六棱台的上、下底面均是正六 边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰
梯形，侧棱长为13cm，求它的表面积.
18－8
22
解析：一个侧面如右图，易知a＝＝5，h＝13－5＝12.
2
18＋8
则S
侧面积
＝6××12＝936(cm
2
) ，
2
S
1
＝×8×(8×sin60)×6＝963(cm
2< br>)，S
上底
2
1
＝×18×(18×sin60)×6＝4863< br>下底
2
(cm
2
)，
所以，表面积为936＋963＋4863＝936＋5823(cm
2
).
点评：本题在作图上比较麻烦，因此在解答时，根据所涉及的六棱台特殊性，可先通过
解决一个侧面的 面积，从而求侧面积，这是解答本题的一个关键.这种处理方法在求面积中
用得较为广泛.
二、求圆体的表面积
圆柱的侧面展开图是矩形，上、下底面面积相等，因此只要计算出侧面积 与一个底面的
面积，其表面积就可求：设柱体的底面周长为c，高为l，则侧面积为S
侧面积< br>＝cl，故圆柱表
面积公式为S
表面积
＝S
侧面积
＋S
底
.
圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形面积公式可求侧面积，故圆锥表面积公式为S表面积
＝S
侧面积
＋S
底
.
圆台的侧面展开图为扇环 ，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，所以
它们的表面积公式为：S
表面积< br>＝S
侧面积
＋S
上底
＋S
下
底
.
例2一个立体几何圆台教具的上底半径是4cm，下底半径为6cm，母线长为12cm，求
此圆台的表 面积.
解析：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角为∠BOB＝θ，OA＝x.
又设圆台上下底面半径分别是r、R，则R＝6cm，r＝4cm，
x2
由相似三角形知识得＝，解得x＝24，
x＋123
2π×4

则圆心角θ＝＝，
24
3
1
所以S
扇形
AOA
＝×2π×4×24＝96π(cm
2
)，
2
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1
S
扇形
BOB
＝π(x＋AB)
2＝×2π×6×(24＋12)＝216π(cm
2
)，
2
所以圆台的表面积为216π－96π＝120π(cm
2
).
点评：（1）本题解答充分体现了立几问题平面化的一种重要思想方法，特别是在解决几
何体表面上的相 关问题时，作用尤为显著；（2）在解决与台休相关的问题时，一般都要用到
三角的相似，建立方程，求 得相关量；（3）求圆台的表面积（或侧面积）的一个关键就是确
定侧面展开图所对就的圆心角.
三﹑求三视图给出的几何体的表面积
此类题没有直接给出或描述出所求几何体图形，而是通过 给出一个几何体的三视图.因
此求此类几何体的表面积时，要认真分析三视图，根据“长对正，宽相等， 高平齐”的基本
原则，明确三视图中数据对应于原几何体哪个量，一般根据一种或两种视图相结合可得出 一
个对应于原几何体中的一个量.
例3右图所示的是一个三棱柱的三视图，此三棱柱的侧棱垂 直底面，且底面为正三角形，
求这个正三棱柱的表面积.
解析：由三视图知三棱柱的侧棱长为2mm，
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高23mm，
3
设底面边长为a，则a＝23，∴a＝4，
2
∴三棱柱的表面积为 1
S＝S
侧
＋2S
底
＝3×4×2＋2××4×23＝24＋8 3(mm
2
).
2
点评：由于本题的原几何体是一个侧棱垂直底面，且底面 为正三角形，因此在上面的解
法中求出了三棱柱的侧棱长和底面边长就顺利作答了.一般地，由正视图和 侧视图可以得到
原几何体的高或底面的某些边的长，由俯视图可以得到原几何本的底面上的某些线段对应 的
量.
四、求组合体的表面积
求组合体的表面积的解答策略：(1)分解组合体： 明确组合体的构成，即由几种基本几
何体组成；(2)求各面面积：求出各个几何体为组合体表面的各个 面的面积；(3)求各面面积
和.
例4如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条 直角边AC＝5cm，以直线AB为轴
旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
解析 ：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两
个圆锥的侧面积之和．根 据公式S
侧
＝πrl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底
面圆的半径，因为A B垂直于底面圆，在Rt△ABC中，由OC·AB＝BC·AC可求出r，
问题就解决了．
在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．
BC·AC
5×1260
∵OC·AB＝BC·AC，∴r＝OC＝＝＝．
AB2
1313
601020
∴S
表
＝πr(BC＋AC)＝π×× (12＋5)＝πcm
2
．
1313
点评：本题解答中必须注意组合体表面 积为两个圆锥的侧面积之和．而不是两个圆锥的
表面积之和，
例5 右图中的几何体是一棱长 为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各
打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔， 求打孔后几何体的表面积是多少（π＝
3.14）？
解析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔 深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一
来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积， 再加上六个完全一样的圆柱的侧
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面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。
正方体的表面积为42×6＝96（平方厘米）
一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28（平方厘米）
几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68（平方厘米）
点评：本题在解答中容易 误认为打孔后正方体的表面积为原正方体的表面积减去六个面
上的圆孔所对的圆的面积，实际上不是表面 积减少，而是表面积增加了.在这一点上一定要
引起重视.





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