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环球雅思学科教师辅导学案
学员编号： 年 级：高三 课 时 数： 3 审核人：
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 张秋凤 日 期：
授课类型
星 级
教学重难点
授课日期及时段
1、
2015年9月28日周五08：00-10:00
教学内容
T -- 基础同步
★★★★
C--专题讲练
★★★★
T—能力提升
★★★★
T——空间几何体的结构、三视图与直观图

考纲分析

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图 所表示的立
体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、< br>面面的关系是重点，三视图一般会在选择题、填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判 断其空间图形的
形式出现，考查空间想象能力．
知识典例


一、知识梳理
1．棱柱、棱锥、棱台的概念
(1)棱柱：有两个面互相_____ _，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这
些 面所围成的多面体叫做棱柱．
※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱 ；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(2)棱锥：有 一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫 做棱锥．
※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个 棱锥叫做正棱锥．
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．
1
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※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
※2.棱柱、棱锥、棱台的性质
(1)棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是_________ _____；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧
棱的截 面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．
(2)正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜 高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、
侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一 个____________；侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．
(3)正棱台的性质
侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和 两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、
侧棱和两底面外接圆的半径组成一个_ ___________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．
3．圆柱、圆锥、圆台
(1)圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以________的 一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋
转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．
(2)圆柱、圆锥、圆台的性质
圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、___ ________、___________；平行于底面的截面都是__________．
4．球
(1)球面与球的概念
以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转 体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的
________．
(2)球的截面性质
球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为< br>______________．
5．平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影， 叫做__________．平行投影的投影线互相__________．
6．空间几何体的三视图、直观图
(1)三视图
①空间几何体的三视图是用正投影 得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形
状和大小是完全相同的．三 视图包括__________、__________、__________．
②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指 正视图和侧
(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．
(2)直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
①在已知图形 所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠ yOz
＝________．
②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O ′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝
_______ _____．x′O′y′所确定的平面表示水平面．
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段 ，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使
它们和所画坐标 轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于x轴和z轴的线 段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
注：空间几何体的三 视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观
察几何体 而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是在平行投影下画出的平< br> 2
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面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形．

【自查自纠】
1．(1)平行 四边形 平行
(2)多边形 三角形
2．(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形
(2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形
直角三角形 直角三角形
(3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形
3．(1)矩形 直角三角形 直角梯形
(2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
4．(1)直径 球心 (2)垂直于 d＝R
2
－r
2

5．平行投影 平行
6．(1)①正(主)视图 侧(左)视图 俯视图
(2)①90° 90° ②45°(或135°) 90°
二、考点分类
类型一 空间几何体的结构特征
某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )


解：D选项的正视图应为如图所示的图形．
故选D.

【评析】本题主要 考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型．本题可用排除法一一验证：A，B，C都有可能，
而D的 正视图与侧视图不可能相同．

若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
3
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解：从俯视图看，B，D符合，从正视图看，B不符合，D符合，而从侧视图看D也是符合的．故选D.

类型二 空间几何体的三视图
如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形 ，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积
为( )

A．63
C．123




B．93
D．183
2
2
－1＝3，底面积为9，所以体积V＝9×3＝93.故选B. 解：由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h＝


【评析】通过三视图考查几何 体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生．对于空间几何体的考查，从
内容上看，柱、锥的定 义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积是重点．本题给出了几何体的三视图，
只要掌握三 视图的画法“长对正、高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱．

如图所示的三个直角三角形是 一个体积为20cm
3
的几何体的三视图，则h＝________cm.
4
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解：由三视图可知，该几何体为三棱锥 ，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm，6cm，三棱锥的高
11
为hcm， 则三棱锥的体积为V＝××5×6×h＝20，解得h＝4cm.故填4.
32
类型三 空间多面体的直观图
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．
画法：(1)画轴．如图1，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

图1
(2)画底面．利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取O′使OO ′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行
线
O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图 ．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直 观图如图2所示．
5
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图2
【评析】根据三视图可以确定一个 几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝
45°，∠xOz＝9 0°，确定几何体在x轴、y轴、z轴方向上的长度，最后连线画出直观图．

已知一个四 棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，
则此四棱锥的 体积为( )
1
A.2 B．62 C. D．22
3
解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原
图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S＝22.因此 该四棱锥的体积
11
为V＝Sh＝×22×3＝22.故选D.
33
类型四 空间旋转体的直观图
用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1 ∶16，截去的圆锥的母线
长是3cm，求圆台的母线长．

解：设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r.
根据相似三角形的性质得，
3r
＝，解得 l＝9.
3＋l
4r
所以，圆台的母线长为9cm.
【评析】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等 几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转
体中的轴截面(经过旋转轴的截面) 的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．

圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CD D
1
C
1
如图所示. 设正方体棱长为x，则CC
1
＝x， C
1
D
1
＝2x.作SO⊥EF于O，则SO＝2，OE＝1.
6
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∵△ECC
1
∽△ESO，
CC
1
EC
1
x
∴＝，即＝
SOEO
2
2解得x＝(cm)．
2
1－
1
2
x
2
，
故内接正方体的棱长为

2
cm.
2
探究规律

1．在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易 找到这些
几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．
2．正多面体
(1)正 四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，
正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．

(2)如图，在棱长为a的 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中， 连接A
1
B，BC
1
，A
1
C
1
，DC< br>1
，DA
1
，DB，可以得到一个棱长为
1
2a的正四面体A
1
-BDC
1
，其体积为正方体体积的.
3
(3)正方体 与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方
体 ．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)．

3．长方体的外接球
(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a
2
＋b
2
＋c
2
＝2R.
(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝2R.
4．棱长为a的正四面体
362
(1)斜高为a；(2)高为a；(3)对棱中点连线长为a；
232
66
(4)外接球的半径为a，内切球的半径为a；
412
2
(5)正四面体的表面积为3a
2
，体积为a
3
.
12
5．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何 体画出的轮廓
线，对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
6．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变”．
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三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．
三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
2
S
直观图
＝S
原图形
，S
原图形
＝22S
直观图．< br>
4

小题必胜



下列说法中正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
解：根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故选D.
以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.
陕西
)将正方体(如图a所示)截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图 为( ) (
2012·


解：还原正方体知该几何体侧视图为正方 形，AD
1
为实线，B
1
C的正投影为A
1
D，且B
1
C被遮挡为虚线．故选B.
用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱 轴截面的面积为________cm
2
(接头忽略不计)．
32
32解：以4cm或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为cm
2
，故填．
ππ
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
解：如图所示是实际图形和直观图．
13
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′ ＝OC＝a，在图中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，
24
8
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26
O′C′＝a.
28
116 6
∴S
△
A′B′C′
＝A′B′×C′D′＝×a×a＝a
2.
22816
6
故填a
2
.
16
则C′D′＝
回顾总结

C——空间几何体的表面积与体积

考纲分析


1．了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式．
2．会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积．
高考主要考查空间几何体的侧面积、表面 积、体积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图相结合，以
选择题、填空题的形式出现，也可 能以空间几何体为载体，考查线面关系、侧面积、表面积以及体积．

知识典例


一、知识梳理
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S
直棱柱侧
＝_________ _，S
正棱锥侧
＝__________，S
正棱台侧
＝_________ _(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S
圆柱侧
＝________，S
圆锥侧
＝________，S
圆 台侧
＝________
(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．
(3)柱或 台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与____ ______的和．
2．柱体、锥体、台体的体积
(1)棱柱、棱锥、棱台的体积
V
棱柱
＝__________，V
棱锥
＝__________，V棱台
＝__________
(其中S，S′为底面积，h为高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积
V
圆柱
＝__________，V
圆锥
＝__________，V
圆台
＝__________
(其中r，r′为底面半径，h为高)．
3．球的表面积与体积
(1)半径为R的球的表面积S
球
＝________．
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(2)半径为R的球的体积V
球
＝________.

【自查自纠】
11
1．(1)Ch Ch′
(
C＋C′
)
h′
22
(2)2πrl πrl π(r＋r′)l
(3)侧面积 两个底面积 侧面积 一个底面积
11
2．(1)Sh Sh h
(
S＋SS′＋S′
)

33
11
22
(2)πr
2
h
πr
2
h
πh
(
r
＋rr′＋r′
)

33
4
3．(1)4πR
2
(2)
πR
3

3
二、考点分类
类型一 空间几何体的面积问题
如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边 上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝
90°.

(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D-ABC的表面积．
解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴沿AD把△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD.
又DB∩DC＝D，∴AD⊥ 平面BDC.
又∵AD⊂平面ADB，∴平面ADB⊥ 平面BDC.
(2)由(1)知，DA⊥BD，BD⊥DC，DC⊥DA，
DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝2.
11
从而S
△
DAB
＝S
△
DBC
＝S
△
DCA
＝×1×1＝，
22
13
S
△
ABC
＝×2×2×sin60°＝.
22
13
3＋3
∴三棱锥D-ABC的表面积S＝×3＋＝.
22 2
【评析】充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由 面面垂直
的判定定理进行推理证明，然后再计算．

福建
)已知某一多面体 内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均 (
2013·
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如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．

解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径 2r＝
23，S
球
＝4πr
2
＝12π.故填12π.
2
2
＋2
2
＋2
2
＝
类型二 空间旋转体的面积问题
如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积 与该圆柱的侧面积之差是
______．
π
解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的 母线的夹角为α，圆柱侧面积S＝2π×4sinα×2×4cosα＝32πsin2α，当α＝时，
4
S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32π.


【评析】根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆 周均在球面上，球
心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面 积与上述夹角之间的函数关系
提供了依据．

辽宁
)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________． (
2012·


解：由三视图知该几何体为长4宽3高1的长方体的中间挖 去一个半径为1高为1的圆柱所成几何体，所以表面
积为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2×π×1
2
＋2π×1×1＝38.故填38.
11
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类型三 空间多面体的体积问题
一个正三棱锥( 底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，侧棱长为
15，求这个三 棱锥的体积．
解：如图所示为正三棱锥S- ABC，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．

连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
32
×6＝33，AH＝AE＝23.
23
11
在△ABC中，S
△
ABC
＝BC×AE＝×6×33＝ 93，
22
∴AE＝
在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，
SA
2
－AH
2
＝15－12＝3.
11
∴V< br>正三棱锥
＝×S
△
ABC
×SH＝×93×3＝9.
33< br>∴SH＝
1
【评析】(1)求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝S h进行计算．(2)求空间几何体体积的常
3
用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个 几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而
得出要求的几何体的体积；②等积变换 法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选
择更容易计算的方式来求体 积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．

如图，在多面体ABCDEF中，已知A BCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥
AB，EF＝2，则该多面体 的体积为( )
A.
2

3
B.
3

3
4
C.
3

3
D.
2

解：如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连接DM，CN，可证得D M⊥EF，CN
⊥EF，则多面体ABCDEF分为三部分，即多面体的体积V
ABCDEF< br>＝V
AMD- BNC
＋V
E-AMD
＋V
F-BNC
.

依题意知AEFB为等腰梯形．
1
易知Rt△DMERt△CNF，∴EM＝NF＝.
2
3
又BF＝1，∴BN＝.
2
作NH垂直于BC，则H为BC的中点，∴NH＝
2
.
2
12
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12
∴S
△
BNC
＝·BC·NH＝.
24
12
∴V
F-
＝·S·NF＝，
△
BNC< br>3
BNC
24
22
V
E-
，V
AMD-MN＝.
AMD
＝V
F-BNC
＝
BNC
＝S
△
BNC
·
244
2
∴V
ABCDEF
＝，故选 A.
3
类型四 空间旋转体的体积问题
某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
2π
A．8－
3
C．8－2π


π
B．8－
3
2π
D．
3

12
解：由三视图知几何体为一 个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是V＝2
3
－×π×1
2
×2＝8 －
π.故选A.
33

【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图， 然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算．

河南模拟
)已知某几何 体的三视图如图所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构 (
2012·
成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
13
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2π1
＋
32
2π1
C.＋
66
A.

4π
1
B.＋
36
2π
1
D.＋
32

14

2

3
1

1
1×1

解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视 图中的数据可得V＝×
π×
＋×
×

23

2
3

2
2π1
×1＝＋.故选C.
66

探究规律




1．几何体的展开与折叠
(1 )几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一< br>个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法．
(2)多面体的展开图
①直棱柱的侧面展开图是矩形；
②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；
③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形．
(3)旋转体的展开图
①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；
②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；
③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：①圆锥中 母线长l与底面半径r和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，
11
加深理解．②圆锥和圆台的侧面积公式S
圆锥侧
＝cl和S
圆台侧
＝ (c′＋c)l与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可
22
将二者联系起来记忆．
2．空间几何体的表面积的计算方法
有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转 化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本
方法．
(1)棱柱、棱锥、棱台等多面 体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利
用公式；
14
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(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将 曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的
面积之和；
(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
3．空间几何体的体积的计算方法
(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转 轴
截面，将空间问题转化为平面问题求解．
(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体 法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，
应熟练掌握．
(3)利用 三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过
将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．
4．由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下三个步骤求解：
(1)由三视图想象出原几何体的形状；
(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；
(3)如果是规则几何体，直接代 入公式求解，如果不是规则几何体，通过“割补”后，转化为规则几何体求解．


小题必胜



圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4 π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S
底
＝πr
2
＝4π，S< br>侧
＝6π×4π
＝24π
2
，S
表
＝2S
底
＋S
侧
＝8π＋24π
2
＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边 为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.
∴S
底
＝πr
2< br>＝9π，S
表
＝2S
底
＋S
侧
＝18π＋24π2
＝6π(4π＋3)．故选C.
正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( )
224
A.2 B.2 C. D.2
333
解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面 为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为2，
112
V＝××(2)
2
×2＝.故选C.
323
已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2
4
解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高 为2R.∵V
球
＝
πR
3
，V
圆柱
＝πR
2
·2R＝2πR
3
，∴V
3
D.
长方体ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
的8个顶点在同一个球面上 ，且AB＝2，AD＝3，AA
1
＝1，则球面面积为________．
解：∵长 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的8个 顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体
对角线的长为AB
2
＋AD
2
＋AA
2
1
＝22，∴半径R＝2.
∴S
球
＝4πR
2
＝8π.故填8π.
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圆柱
∶V
球
＝3∶2.故选

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若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．
2< br>

πr＝π，


r＝1，
解：设圆锥底面半径为 r，母线长为l，则

有

从而可知圆锥的高h＝l
2
－r
2
＝4－1＝3.∴V


πrl＝2π，

< br>l＝2，
13
3
＝×π×3＝
π.故填π.
333

回顾总结


T—感悟真题

相信自己


1.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题:“今有委米依垣内
角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内 墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，
米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1
斛米的体积约为1.62立方尺， 圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
【答案】B
【考点定
位】圆锥的性质与圆锥的体积公式
2.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．
3

B．
4

C．
2

4
D．
3

4

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【答案】D
【解析】由三视图知：该几 何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为
1
，母线长为
2
，所以该几何体的表面 积是
1
2

1

12

22 3

4
，故选D．
2
【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积．
【名师点晴】本题主要考查 的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，
否则很容易出 现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可．
3.【201 5高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中
的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20

，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径 与球的半径都为r，圆柱的高为2r，
其表面积为
1
4

r
2


r2r

r
2
2r2r
=
5

r
2
4r
2
=16 + 20

，解得r=2，故选B.
2
【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式
【名师点 睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的
形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量 .
4.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
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12


B、



33
12
C、
2

D、
2


33
A、
【答案】A
【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
V
【考点定位】组合体的体积. < br>【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基 本几何体
的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想 象能力和运算求解能
力.
5.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
1111

1
2
2(12)1


，选A.
2323
1
2
正(主)视图
11
侧 (左)视图
俯视图

A．
25
B．
45
C．
225
D．5
【答案】C
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
5
,三棱锥表面积
S
表
252
.
2
考点定位：本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积，考查空间线线、线面的位置关系及 有关线段
长度及三角形面积数据的计算.
6.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A）
13
（B）
23

（C）
122
（D）
22


【答案】B

【解析】由题意，该 四面体的直观图如下，
ABD,BCD
是等腰直角三角形，
ABC,ACD< br>是等边三角形，则
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113
S
BCD
S
 ABD
221,S
ABC
S
ACD
22sin 60
，所以四面体的表面积
222
SS
BCD
S
 ABD
S
ABC
S
ACD
212
3
23
，故选B.
2

【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图；2.空间几何体表面积的求法.
【名师点睛 】三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉
常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式. 7.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动 点，若三棱锥O-ABC体
积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π C.144π D.256π
【答案】C
【考
点定位】外接球表面积和椎体的体积．
C
O
A
B

【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的 体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大
时的情形，属于中档题．
20
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8.【2015高考山东，理7】在梯形
ABCD< br>中，
ABC

2
，
ADBC,BC2AD2AB2
.将梯
形
ABCD
绕
AD
所在的直线旋转一周而形成的 曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A）
2

4

5

（B） （C） （D）
2


333
【答案】C
【解析】直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲 面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆
柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后 得到的组合体，所以该组合体的体积为：
15
VV
圆柱
V
圆锥< br>

1
2
2

1
2
1 

学科网
33
【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示 ，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工
件，并使新工件的一个面落在原工件的一 个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
新工件的体积
）（ ）
原 工件的体积
816
4(21)
3
12(21)
3
A. B. C. D.
9

9




【答案】A.
【解析】
试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体 体的长，宽，高分别为
x
，
y
，
h
，
长方体上底面 截圆锥的截面半径为
a
，则
xy(2a)4a
，如下图所示，圆锥的轴 截面如图所示，则可知
2222
x
2
y
2
a2h
h2a
2
h2a
2
(22a)

h22a
，而长方体的体积
Vxyh
2
12
2(
2
aa22a
3
16
8
)

，当且仅当
x y
，
a22aa
时，等号成立，此时利用率为，
1
3
327
9


1
2
2
3
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16
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故选A.

【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.
【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考
生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一
是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变
量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.
9.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A.
8cm
B.
12cm
C.
33
32
3
40
3
cm
D.
cm

33

【答案】C.
【考点定
位】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.
10.【2015高考新课 标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与
22
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剩余部分体积的比值为( )
A．
1111
B． C． D．
8765

【答案】D
【解析】由三视图得，在正方体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
中，截去四面体
AA
1
B
1
D
1
，如图所示，，设正方体棱长为
a
，则
111151
V
AA
1
B
1
D
1
a
3
a
3
，故剩余几何体体积为
a
3
a
3
a
3
，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，< br>326665
故选D．
【考点定位】三视图．
D
1
C1
A
1
D
B
1
C
A



B

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