大学论文-情侣日志

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空间图形的表面积和体积



一、知识回顾
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图

侧面积公式 S
圆柱侧
＝2πrl

S
圆锥侧
＝πrl

S
圆台侧
＝π(r＋r′)l
2.空间几何体的表面积和体积公式
名称
几何体
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
表面积
S
表面积
＝S
侧
＋2S
底

S
表面积
＝S
侧
＋S
底

体积
V＝Sh
1
V＝Sh
3
1
V＝(S
上
＋S
下
＋
3
S
上
S
下
) h
球

[探究] 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？
提示：
S＝4πR
2

4
V＝
πR
3

3
台体(棱台和圆台) S
表面积
＝S
侧
＋S
上
＋S
下


2．如何求不规则几何体的体积？
提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实
现．
[自测·牛刀小试]
1．棱长为2的正四面体的表面积是( )
A.3
C．43
B．4
D．16

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2．(2012·上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ _____．
3．(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的____ __倍；
体积扩大为原来的______倍．
4．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．


5．(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个 圆锥筒
的容积是________．






二、例题导入


[例1] (2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
几何体的表面积

A．28＋65
C．56＋125
B．30＋65
D．60＋125

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———————————————————
由三视图求几何体表面积的方法步骤
根据三视图
画出直观图
―→
确 定几何体
的结构特征
―→
利用有关
公式计算



1．(2013·马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为(

A．4π B.
15π
4

C．5π D.
17π
4




几何体的体积

)

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[例2] (1)(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )

8π
A.
3
10π
C.
3
B．3π
D．6π
(2)(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．





———————————————————
由三视图求解几何体体积的解题策略
以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三 视图想象原几何体的形状构
成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观 图中求解．

2．(2012·新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗 线画出的是某几
何体的三视图，则此几何体的体积为( )

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A．6
C．12
B．9
D．18
3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )

2π
A．8－
3
π
B．8－
3
2π
C．8－2π D.
3






[例3] (20 12·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC
是边长为1的正三 角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.
C.






2

6
2

3
B.
D.
3

6
2

2
与球有关的切、接问题

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———————————————————
与球有关的切、接问题的解题策略
解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分 析，弄清相关元素的关系和
数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体 的各种元素以
及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．


4．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为
( )
A．12π
C．72π
B．36π
D．108π









3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤

3种方法——求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，
或是 求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为 可计算
体积的几何体．
1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法 < br>计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化

< br>学习必备 欢迎下载
曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.


创新交汇——空间几何体中体积的最值问题

1．求空间几何体的体积一 直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结
合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体 积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等
知识交汇考查．
2．求解空间几何体最值问题， 可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；
第二步以导数或基本不等式为工具求最值．
[典例] (2012·湖北高考(节选))如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥ BC，
垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图 2
所示)．当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？










[名师点评]

解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BD＝x，结合位置关系列出体积的表达式，将
求体积 的最值问题转化为求函数的最值问题．
[变式训练]

如图，动点P在正方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD1
上．过点P作垂直于平面BB
1
D
1
D
的直线，与正 方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象
大致是( )

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三、课后练习
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．圆台的 一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，
则圆台较小底面的半径为 ( )
A．7
C．5
B．6
D．3 < br>2．(2013·长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图
是 一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )
3
A.
π
2
C．3π
B．2π
D．4π
3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )

A．72π
C．30π
B．48π
D．24π
S
1
4．(2013·广州模拟)设一个球的表面积为S
1
，它的内接正方体 的表面积为S
2
，则的值
S
2
等于( )
2
A.
π
6
B.
π

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π
C.
6
π
D.
2
5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．48
C．48＋817
B．32＋817
D．80 6．已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面
ACD ，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段
DC，BO上的动点(不 包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体
积y＝f(x)的函数图象大致是( )

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．

8．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝AD＝3 cm，AA
1
＝2 cm，
则四棱锥A－BB
1
D
1
D的体积为________cm< br>3
.

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9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．(2013·杭州模拟)如 图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB
＝5，CD＝22，AD＝2 ，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．





11．(2013·郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的 平行
四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩
形 ．

(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.








选做题
1．如 图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该
几何体的体积是( )

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A．24
C．8
B．12
D．4
2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )

A．32
C．48
B．16＋162
D．16＋322
3．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4 个边长为1
的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
4．如图，已知正三棱 柱ABC－A
1
B
1
C
1
的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A
出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A
1
的最短路线的长 为________cm.