性感英文-描写昆虫的作文

空间几何体的表面积和体积
教学目标 通过展开柱锥台的侧面，进一步认识柱锥台的表面积的计算公式。
重点难点 柱锥台的侧面积和表面积的求法。
课堂结构
一、自主探究
1．几种特殊的多面体
（1）直棱柱：侧棱和底面 的棱柱叫做直棱柱。
（2）正棱柱：底面为 的直棱柱叫做正棱柱。
（3）正棱锥：一个棱锥的底面是 ，并且顶点在底面的正投影是 ，称这样的
棱锥为正棱锥，正棱锥的 都相等。
（4）正棱台： 被平行于底面的平面所截， 和 之间的部分叫做正棱台。
想一想：正方体、长方体是直棱柱吗？是正棱柱吗？底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗？


2．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
























想一想：正棱锥、正棱台中的斜高与侧棱相同吗？两者之间有何关系？


二、重点剖析
1．直棱柱和正棱柱各有什么特征，两者有何联系？
（1）直棱柱和正棱柱均具有棱柱的所有性质，但直棱柱的侧面是矩形，正棱柱的侧面都是全
等的矩形。
（2）无论是直棱柱还是正棱柱，其侧棱均垂直于底面，即侧棱长即为棱柱的高。
（3） 由正棱柱的概念可知，正棱柱一定是直棱柱，但直棱柱不一定是正棱柱，因为直棱柱的
底面不一定是正多 边形。
2．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的关系及求法是什么？
（1）这三种几何体侧面积之间的关系




（2）求这三种几何体侧面积的常见策略
①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面 积时，可先求一个侧面的面积，
然后乘以侧面的个数。
②棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到。
拓展：正棱锥中几个重要的直角三角形
（1）侧棱、高、底面正多边形外接圆的半径构成直角三角形；
（2）侧棱、斜高、底面边长的一半构成直角三角形；
1

（3）斜高、高、边心距离构成直角三角形。
3．如何理解圆柱、圆锥、圆台的侧面积？
（1）这三种几何体侧面积之间的关系


（2）公式的记忆策略：重过程与原理 ，从其侧面展开图入手，利用平面几何中的面积计算公
式推导侧面展开图的面积公式，并适当化简。
（3）轴截面的作用
旋转体中轴截面可以将母线、底面半径、高等主要元素联系在一起， 因此处理好轴截面中的
边角关系是正确计算的关键。
三、例题讲解
例1．如图所 示，已知圆锥的底面半径为R，高为3R，（1）若它的内接圆柱的底面半径为
3
4
R
，
求该圆柱的表面积；（2）在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是多少？






［变式训练］：已知梯形ABCD中，ADBC ，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平
面ABCD内，过C作l⊥CB ，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积。






例2．正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积。




［变式训练］：已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm和20c m，且其侧面积等于两底面积之
和，求棱台的高。






例3．如图是一建筑物的三视图（单位：m），现需将其
外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2kg，
问需要油漆多少千克？（无需求近似值）




［变式训练］：如图是一个烟筒的直观图（图中单位：cm），它的下部是一个四棱台（上、下底
面 均是正方形，侧面是全等的等腰梯形）形物体；上部是一个四棱柱（底面与四棱台的上底面
重合，侧面是 全等的矩形）形物体，为防止雨水的侵蚀，增加美观，需要粘贴瓷砖，需要瓷砖
多少平方厘米（无需求近 似值）。





四、归纳小结
1．旋转 体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体
的“关键量”之间的 关系，在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用。
2．棱锥、棱台的表面积为其侧面积与 底面积之和，底面积据平面几何知识求解，侧面积关键
是求斜高和底面边长。斜高、侧棱及其在底面的射 影与高、底面边长这四条线段可以构成直角
三角形（或梯形），因此利用好这些直角三角形（或梯形）是 解题的关键。
3．三视图与求空间几何体的表面积问题结合是常见的例题形式，此类问题要先从几何体 三视
图特征反推得到实物组合体的形状及相关数量，然后直接应用圆锥与正四棱柱的表面积或侧面
积公式运算。
学后、教后反思：



高二年级 数学教学案（2010年9月29日）
周次 5 课题 空间几何体的体积 2课时
授课形式 新授 主编 审核
2

1．求空间几何体的体积。
教学目标 2．常与函数、三视图、线面位置关系等知识相结合求最值。
3．球与正方体等简单几何体的“内切”，“外接”关系。（易混点）
重点难点
1． 了解柱、锥、台体的体积计算公式。
2． 了解球的体积公式和球的表面积公式。
课堂结构
一、自主探究
1．长方体的体积公式
（1）设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其体积V＝ 。
（2）设长方体的底面积为S，高为h，则其体积V＝ 。
2．锥、台体的体积公式


V
柱体
＝
柱体

其中S为柱体的 ，

h为柱体的 ，


V
锥体
＝
锥体
其中S为锥体的 ，


h为锥体的 ，

V
台体
＝

台体
其中S′、S分别为台体的 ，

h为台体的 ，

想一想：底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积相等吗？



3．球的表面积和体积公式





想一想：从球的表面积公式和体积公式看，球的表面积和体积是关于半径的函数吗？


二、重点剖析
1．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？

柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下：
（1）柱体、锥体、台体之间的关系






（2）体积公式之间的关系：







2．如何理解锥体的体积公式？
（1）可理解为“锥体的体积是与它底面积相同、高相等的柱体体积的
1
3
”；
（2）三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可更换三棱锥的顶点
和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥。
拓展：体积计算中的割补法：
（1）求组合体的体积时，可先根据组合体的组成形式将其分割为体积易求的几何体，再计算。
（2）有时也应根据题目条件进行补形。
例如：“台体”补成“锥体”；
“三条侧棱两两互相垂直的三棱锥”补成“长方体”；
“侧棱与底面边长相等的三棱锥”补成“正方体”等。
3．用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与
球的半径之间有什么关系？ 可以想象，用一个平面去截球体，截面
是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示，
若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d。，在Rt△OO′C中，
OC
2
＝OO′
2
+O′C
2
即R
2
＝r
2+d
2
。



三、例题讲解
例1．已知 如图，正六棱柱的底面边长为12cm，高为10cm，从中间挖去一个直径为10cm的圆
柱后，求此 几何体的体积。（无需求近似值，保留根式及

）


3

［变式训练］：如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6cm，高为3cm，下面是正六
棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积。





例2．如图所示是一个几何体的主视图和俯视图，
（1）试判断这个几何体的形状；
（2）请画出它的左视图，并求该平面图形的面积；
（3）求该几何体的体积。





［变式训练］：如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为 1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝
2
；
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求四棱锥P－ABCD的体积。





例3．如图所示，三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，若E、F分别为AB、AC
的中点，平面EB
1
C
1
F将三棱柱分成体积为V
1
、V
2
（V
1＞V
2
）的两部分，
求V
1
：V
2
。




［变式训练］：如图，三棱台ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB：A
1
B
1
＝1：2 ，求三棱锥A
1
－ABC，B－A
1
B
1
C，C
－ A
1
B
1
C
1
的体积之比。






例4．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着 一个圆柱，圆柱内有一个内切球，
这个球的直径恰好与圆柱的高相等。相传这个圆形表达了阿基米德最引 以为豪的发现，我们来
重温这个伟大发现。
求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积 （2）球的表面积等于圆柱表面积的
2
3

（3）球的体积等于圆柱体积的
2
3







［变式训练］：如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直 线为轴，旋转一周得到
一几何体，求该几何体的体积，（其中∠BAC＝30°）





课堂小结：
1．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面 积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形
或四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成的直角 三角形，进而求解。
2．求棱锥的体积关键在于求棱锥的底面积和高，往往在求高时，需用到线面垂直 的判定方法，
因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度。
3．球的表面积公式 和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关，因此，在解决此
类问题时，要充分利用球的半径 表示出有关量，找出量与量之间的关系。
学后、教后反思：



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