湖南师范大学分数线-梅兰芳资料

空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.
（1）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线 的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间
图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.
二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由
这些面所围成的多面体叫做棱柱.
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体.
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做
棱锥.
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得
的棱台叫做正棱台.
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图8-1所示.

三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形 成的面所围成的几何体叫做
圆锥.
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.
4．球：以 半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距
离：经过两 点的大圆在这两点间的劣弧长度）.
四、组合体
由柱体、椎体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.
五、表面积与体积计算公式（见表8-1和8-2）

表8-1
S
直棱柱
ch2S
底

柱体
S
斜棱 柱
c

l2S
底
(c

为直截面周长
)

S
圆锥
2

r
2
2
< br>rl2

r(rl)


1
S
正棱锥
nah

S
底

2
椎体
S
圆锥


r
2

rl

r(rl)

表
面
积
台体

S
正棱台

S
圆台
1
n (aa

)hS
上
S
下

2

（r

2
r
2
r

lrl)


球
S4

R
2


表8-2
柱体
V
柱
Sh

体
积
椎体
V
锥


1
Sh

3
h
S

台体
V
台< br>
1
(SSS

S

)h

3

球
4
V

R
3

3


题型归纳及思路提示
题型1 几何体的表面积与体积
思路提示
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
例 8-1三棱锥
PABC
的侧棱
PA
，
PB
，
PC
两两垂直，侧面积分别是
6
，
4
，
3
，则三棱锥的 表面积
是 ，体积是 .
解析 如图8-2所示，设
PA a
，
PBb
，
PCc(a
，
b
，
c 0)
，

ab

2
6

ab12



bc
则

4
,得

bc8
, 三式相乘得
a
2
b
2
c
2
1286
, 所以
abc24
,

ca6

2
< br>
ca

2
3


ABa
2< br>b
2
5
a3




22< br>因此

b4
, 又侧棱
PA,PB,PC
两两垂直, 所以

BCbc25
,


c2
< br>CAc
2
a
2
13


A





a




b



B

图 8-2


由余弦定理可得
c

C

BC
2
CA
2
AB
2
BC2CA
2
A B
2
cosBCA

2BC
g
CA2BC
g
CA
25



13


2 2
AB
2
22
P
5

13

2
,
65


所以
S
表
643611361
,
体积
V
11
abc244
.
66
评注: 若三棱锥
PABC
的侧棱
PA,PB,PC
两两垂直, 则类比直角三角形中的勾股定理有,
222 2
S
V
6
2
4
2
3
2
61
),
V
PABC

ABC
S
V
PA B
S
V
PBC
S
V
PCA
(本题
S
ABC

1
PAgPBgPC
.
6
变式1 如图8-3所示,在
VABC
中,
ABC45,BAC90
,
AD
是
BC
边上的高, 沿
AD
把
oo
VABD
折起, 使
BDC90
o
. 若
BD1
, 求三棱锥
DABC
的表面积.


变式2 如图8-4(a)所示,
ACB45,BC3
, 过动点
A
作
ADBC
, 垂足
D
在线段
BC
上
且异于点
B
, 连接
AB
,沿
AD
将
VABD
折起, 使
BDC90
(如图8-4(b)所示). 当
BD
的长
为多少时, 三棱锥
ABCD
的体积最大.
A
A

M
D
B
图 8-4
o
o
B
D
（a）


C
.
·
E
(b)
C

变式3 已知正四棱锥
SABCD
中,
SA23
, 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为( ).
A. 1 B.
3
C. 2 D.3

例8.2 如图8-5所示, 在长方体
ABCDA
1< br>B
1
C
1
D
1
中,
ABAD3cm
,
AA
1
2cm
, 则四棱锥
ABB
1
D
1
D
的体积为 cm
3
.

解析 如图8-6所示, 连接
AC
交
BD
于
O
, 在该长方体中
ABAD3cm
, 故底面
ABCD
为正方
形, 即
AOBD
, 且
AO
32
cm
, 又显然平面
BB
1
D
1
D
平面
ABCD
,故
AO
平面
2
BB
1
D
1
D
.
所以V
ABB
1
D
1
D

1132
BD BB
1
AO3226

cm
3

.
332
变式1 (2012山东理14)如图8-7所示, 正方体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,
E,F
分别为线段
AA
1
,B
1
C
上的点, 则三棱锥
D
1
EDF
的体积为 .

思路提示
半径为
R
的球
O
, 表面积
S4

R
, 体积
V
2
4

R
3
球面上
A,B
两点的球面距离为

R
,
3
其中

AOB
(弧度制). 这里可知球的表面积、体积计算实质是求半径.
例8.3 已知三个球的半径
R
1
,R
2
,R
3
满足
R
1
2R
2
3R
3
, 则他们的表面积
S
1
,S
2
,S
3
满足的等量关系
是 .
2
解析
S
1
4

R
1
, 即
R
1

S
1
2

, 同理得
R
2

S
2
2

,
R
3

S
3
2

, 由
R
1
2R
2
3R
3
得
S
1
2S
2
3S
3
.

变式1 若球
O
1
,O
2
的表面积之比
S
1
R
4
,则他们的半径之比
1

.
S
2
R
2
变式2 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A.
1:3
B. 1:3 C.
1:33
D. 1:9
题型2 几何体的外接球与内切球
思路提示


(1)半径为
R
的球
O
, 表面积
S4

R
, 体积
V
2
4

R
3
.
3
222
(2)设小圆
O
1
半径为
r,OO
1
d
, 则
drR
若
A,B
是
O
1
上两点, 则
AB2rsin

AO
1
B
AOB
.
2Rsin
22
32

, 那么正方形的棱长等于( )
3
(3)作出关键的轴截面, 在此轴截面内寻找集合体的棱长或母线长与球之间关系.
例8.4 已知正方体外接球的体积是
A.
22
B.
234243
C. D.
333
分析 正方体外接球的直径为正方体的体对角线.

4
< br>R
3
32


R2


解析 设正方体的棱长为
a
, 外接球半径为
R
, 则

33


43
. 故选D.

2R3a

a
3


变式1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱额长分别为1,2,3, 则此球的表
面积为 .
变式2 正四面体的棱长为
2
, 则该正四面体的外接球的表面积为 .
例8.5 正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
内接于半径为2的球, 若
A,B
两点的球面距离为

, 则正三棱柱的体
积为 .



2 AOB

AOB

2
, 底面圆的半径为: 解析 设
O
为球心, 由题意知



AOB
AB 22sin

2

AB22

26
2226
43
2

, 则正三棱柱的高为
22

, 所以正三棱柱的体积为



3
3
3

3

2sin
3
AB
2
343
228
.
43
2
o
变式1直三棱柱
ABCA
1
B
1
C< br>1
的各顶点都在同一球面上, 若
ABACAA
1
2,BAC120
, 则此
球的表面积等于 .

变式2 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的6个顶点都在球
O
的球面上, 若
AB3,AC4,ABAC,AA
1
12
, 则球
O
的半径为( ).
A.
317
13
B.
210
C. D.
310

2
2
例8.6 一个正三棱锥的4个顶点都在半径为1的球面上, 其中底面的3个顶点在该球的一个大圆上, 则该
正三棱锥的体积是( )
A.
33333
B. C. D.
4 3412

a


2

sin

a3
3


解析 设正三棱锥的底面边长为
a
, 高为
h
, 由题意知

h1

3
.故选C.

V
13
4

Va
2h

34


变式1 已知
S,A,B,C
是球
O
表面上的点,
SA
平面
ABC,ABBC,SAAB1,BC2
, 则
球
O
的表面积等于( )
A.
4

B.
3

C.
2

D.


变式2 已知三棱锥
SABC
的所有顶点都在球
O
的球面上,
VABC
是边长为1的正三角形,
SC

为
O
的直径, 且
SC2
, 则此棱锥的体积为( ).
A.
2
3
22
B. C. D.
6
632
2
的四棱锥
SABCD
的底面是边长为1的正方形, 点
S,A,B,C,D
均在半径为1的同
4
变式3 高为
一球面上, 则底面
ABCD
的中心与顶点
S
之间的距离为( )
A.
22
B. C. 1 D.
2

42
最有效训练题
1. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为
120
, 半径为
l
的扇形, 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是
( ).
A. 3:2 B. 2:1 C. 4:3 D. 5:3
2. 一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是
( ).
o
2,3,6
, 这个长方体的体对角线长为

A.
23
B.
32
C. 6 D.
6

o
3. 如图8-8所示, 在等腰梯形
ABCD
中,
AB2DC2,DAB60
, E为
AB
的中点, 将
VADE

与
VBEC
分别沿
ED
和
EC
向上折起, 使
A,B
重合于点
P
, 则三棱锥
PDCE
的外接球的体积
为( ).
A.
43

6

6

6

B. C. D.
272824

4. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面, 则此截面面积是球表面积的( ).
A.
1
131
B. C. D.
8
161612
5. 侧棱长为4, 底面边长为
3
的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的表面积为( ).
A.
76

B.
68

C.
20

D.
9


6. 已知在四 棱锥
PABCD,AB1,PA
g
AC1,ABC

,< br>
0


积
V
的取值范围是( ).






, 则四棱锥
pABCD
的体
2


21
21

21

21

A.

,


B.


12
,
6

C.


6
,
3

D.

12
,
6



63

7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为
2

的半圆面, 则该圆锥的体积为 .
8. 将圆心角为

, 面积为
3

的扇形作为圆锥的侧面, 则圆锥的表面积等于 .
9. 正四棱锥底面边长为4, 侧棱长为3, 则其体积为 .
10. 用一平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上下底面的半径的比是1:4, 截去的圆锥的母线长
是3cm, 则圆台的母线长为 cm.
11. 如图8-9所示, 长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
ABa,BCb,BB
1
c
, 并且
abc0
. 求
沿着长方体的表面自
A
到
C
1
的最短线的长.
2
3

12. 底面半径为1, 高为
3
的圆锥, 其内接圆柱的底面半径为
R
, 当
R
为何值时, 内接圆柱的体积
最大?