倒计时表-喜洋洋和灰太狼大结局

个性化学案
空间几何体的表面积和体积
适用学科
适用区域
知识点
数学
人教版
1、空间几何体的表面积
2、空间几何体的体积
适用年级
高一
课时时长（分钟）
60
学习目标
学习重点
学习难点
掌握空间几何体的表面积和体积
空间几何体的表面积和体积
空间几何体的表面积和体积的计算
学习过程
一、复习预习
空间几何体的表面积：各个面的面积之和。
二、知识讲解
考点易错点1 空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2
S

rl

r
2 圆柱的表面积
S



2



rl





2r
3 圆锥的表面积
2

4 圆台的表面积
S

rl< br>
r

Rl

R
5 球的表面积
S4

R

22
2
考点易错点2 空间几何体的体积
1柱体的体积
VS
底
h
2锥体的体积
V
3台体的体积
V
（
S
上< br>
1
3
S
上
S
下
1
S
底< br>h

3
4
S
下
)h
4球体的体积
V

R
3

3
三、例题精析
【例题1】
【题干】 如图所示，长方体ABCD-A
1
B
1C
1
D
1
中，AB=a，BC=b，
BB
1
= c，并且a＞b＞c＞0.
求沿着长方体的表面自A到C
1
的最短线路的长.

个性化学案
【解析】 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.

三个图形甲、乙、丙中AC
1
的长分别为：
(ab)
2
c
2
=
a
2
b
2
c
2
2 ab
，
a
2
(bc)
2
=
a
2b
2
c
2
2bc
，
(ac)
2b
2
=
a
2
b
2
c
2
2ac
，
∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0.故最短线路的长为
a2

b
2

c
2

2bc
.

【例题2】
【题干】 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径
A B所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体
的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
【解析】如图所示,过C作CO
1
⊥AB于O
1
,
在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=
3R,BC=R,CO
1
=
S
圆锥AO
1
侧
=< br>
×
3
R,∴S
球
=4

R
2,
2
3
3
R×
3
R=

R
2
,
2
2

S
圆锥BO
1
侧
=

×
=
33
R×R=

R
2
,∴ S
几何体表
=S
球
+
S
圆锥AO
1
侧+
S
圆锥BO
1
侧

22
11
311 3113

R
2
+

R
2
=

R
2
,∴旋转所得到的几何体的表面积为

R
2
.
2
222
又
=
V
球
41
1
1 1

R
3
,
V
圆锥AO
1
=·AO
1
·

CO
1
2
=

R
2·AO
1
V
圆锥BO
1
=BO
1
·

CO
1
2
=BO
1
·

R
2
4
4
333
∴V
几何体
=V
球
-（
V
圆锥AO
1
+
V
圆锥BO
1
）=

415

R
3
-

R
3
=< br>
R
3
.
326

【例题3】

个性化学案
【题干】如图所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′，
求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

【解析】已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′.
设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.
而棱锥C—A′DD′的底面面积为S，高是h,
因此，棱锥C—A′DD′的体积V
C—A′DD′
=×Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.

1
3< br>1
2
1
6
1
6
5
6
1
2< br>【例题4】

【题干】如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，
E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，
使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.

【解析】由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.
∴折叠后得到一个正四面体
方法一 作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.
取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH⊥平面AEC.
则垂足H为△AEC的中心∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求
得.
∵AG=
3
36
，AF=
1()
2
=
，在△AFG和△A HO中，
3
23
33

AGAH
36
根据三角 形相似可知， AH=.∴OA==
23
=.
AF
34
6
3

个性化学案
∴外接球体 积为

×OA
3
=·

·
4
3
4
3
66
4
3
=
6


8
方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体
的外接球就是正方体的外接球.∵正四面体的棱长为1，
∴正方体的棱长为
22
，∴外接球直径2R=
3
·，
22

6

6
·

=

.

4

8

3
4
6
∴R=，∴体积为

3
4
∴该三棱锥外接球的体积为
6

.
8

四、课堂运用
【基础】
1
1.
如图所示， 在棱长为4的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，P是A
1
B
1
上一点，且PB
1
=A
1
B
1
，
4
则多面体P- BCC
1
B
1
的体积为




2.
已知正方体外接球的体积为
32

,那么正方体的棱长等于 .
3



3、
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为



3
，则其外接球的表面积是 .
4、
三棱锥S—ABC 中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且

个性化学案
AB=BC=CA=2，则三棱锥S—ABC的表面积是 .



【巩固】
1.
如图所示，在直三棱柱ABC-A< br>1
B
1
C
1
中，底面为直角三角形，∠ACB=90°， < br>AC=6，BC=CC
1
=
2
.P是BC
1
上一动点 ，则CP+PA
1
的最小值是 .




2.
如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇
形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积
V
1
和V
2
之比为 .



【拔高】
1.
如图所示，三棱锥A—BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，
其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥A—BCD的体积.





2.
如图所示，已知正四棱锥S—AB CD中，底面边长为a,侧棱长为
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积.
2
a.

个性化学案
课程小结
1、空间几何体的表面积
2、空间几何体的体积

课后作业
【基础】
1.
如图所 示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF
折起来，则所 围成的三棱锥的体积为 .





2.
长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为2
积是 .
14
，则这个长方体的体


3、
已知三棱锥S—AB C的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底
面ABC，AC=
2
r，则球的体积与三棱锥体积的比值是 .



4、若一个底面边长为
的体积为 .



6
，侧棱长为
6
的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球
2