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空间几何体表面积与体积
空间几何体的表面积
一、【教材知识解析】
1.多面体的表面积、侧面积
(1) 棱柱的表面积公式为:
S
表
S
侧
2S
底
;直棱柱的侧面积公式为:
S
侧
 ch
(
c
为底面周长;
h
是高,即直棱柱的侧棱长);
(2) 棱锥的表面积公式为:
S
表
S
侧
2S
底
;正棱锥的侧面积公式为:
S
侧

长;
h
是斜高,即棱锥的侧面三角形的高);
(3) 棱台的表面积公式为:
S
表
S
侧
S
上底
S
下底
;正棱台的侧面积公式为:
S
侧

(
c,c
分别为上下底面周长;
h
是斜高,即棱台的侧面梯形的高).
2.旋转体的表面积、侧面积
(1) 圆柱的侧面积公式为:
S
侧
2

rh
;圆柱的表面积公式为:
S
表
2

rh2

r
2
(
r
为底面圆的
半径;< br>h
是高,即圆柱的母线长);
(2) 圆锥的侧面积公式为:
S
侧


rl
;圆锥的表面积公式为:
S
表


rl

r
2
(
r
为底 面圆的半
径;
l
是圆锥的母线长);
(3) 圆台的侧面积公式为:
'
1
'
ch
(
c
为底面周
2
'
1
'
(cc)h
'

2
'
S
侧


(rr
'
)l
;圆台的表面积公式为:
S
表


(rr
'
)l

r
2


r
'2
(
r
,
r
'
为上下底面圆的半径;
l
是圆锥的母线长);
(4) 球的表面积公式为
S
表
4

R
(其中R为球的半径).
例1.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为1时,该三棱锥的全面积是( )
A.
2
333263
3
B. C. D.
424
4



例2.一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.

例3. 有 三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第
三个球过这个正方体 的各顶点，则这三个球的表面积之比是:______________


1 6

空间几何体表面积与体积
练习1 正方体的全面积是
a
,它的顶点都在这个球面上,这个球的表面积是( )
2
a
2
a
2

D.

A.
3a

B.
2a

C.
23
22
空间几何体的体积
一、【教材知识解析】
1.多面体的体积公式
名称
体积V
棱柱 棱锥 棱台
S
底
·h

1
S
底
·h

3
1
h(S
上底
+S
下底
+
S
下底S
下底
)

3
表中S表示面积，h表高。
2旋转体的面积和体积公式
名称
体积
V
2
圆柱
πr
h(即πr
l
)
2
圆锥 圆台 球
1
2
πr
h
3
1
22
πh(r
1
+r
1
r
2
+r
2
)
3
4
3
πR

3
表中
l
、h分别 表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示圆台 上、
下底面半径，R表示半径
二. 【题型解析】
题型：计算简单组合体的体积
2 2
【例1】一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) ).
A.
2

23
B.
4

23

2323
C.
2


D.
4



33
2
主视图
左视图



变式练习3
俯视图

俯视

【例2】一个长方体的相交于 一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是
________ .
变式练 习1：已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥
的体积_ ____.
变式练习2：已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为
V1
和
V
2
，则
V
1
:V
2

（ ）. A.
1:3
B.
1:1
C.
2:1
D.
3:1

2 6
2
正(主)视
2
侧(左)视

空间几何体表面积与体积
变式练习3：如上图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、
俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）.
42433
8
A．
3
B .
3
C.
6
D .
3

注意：正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积：S
全
=
3
a； (2)体积：V=
2
2
3
2
a； (3)对棱中点连线段的长：d=a；
122
(4)内切球半径：r=
66
a； (5)外接球半径 R=a；
124
追踪练习
1.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中 点的平面截该正方形，则截去8个三棱
锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）A.
2745
B. C. D.
36562.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的
表面积是 （ ） A、
25

B、
50

C、
125

D、都不对
3.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A.
3:1
B.
3:2
C.
2:3
D.
3:3

4.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积为（ ）
A.
2
24
D.
2
B.
2
C.
2

3
33
空间立体几何三视图专题
1一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如左图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为



3
A

2
4

主视图 左视图


B
主视图
C
左视图
俯视图
俯视图
题1
题2
3 6

空间几何体表面积与体积
2.一个几何体的三视图如右图 所示，其中，主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为
正六边形，那么该几何体的体积为
3.知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是___________cm
3
．


主视图 左视图


2

2

2

俯视图




4

（第

3

图）


题4
4右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
5.右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为
6.据图中尺寸（单位：cm），可知这个几何体的表面积是
2
1
3
C
3
（第9题）
（第8题）


2
2
2
10图是一个空间几何体的三视图，其主 视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，则该几何体
的侧面积为 .




（
俯视
4 6
10
2
主视
2
左视

空间几何体表面积与体积
11.已知 某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积
是（ ）



10

20



10


2020
20

正视图 侧视图
俯视图

Ａ．
4000
3
8000
3
cm
Ｂ．
cm
Ｃ．
2000cm
3
Ｄ．
4000cm
3

33
333
33
B． C． D．
3412
4
12.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面 上，其中底面的三个顶点在该球的一个大
圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A．
13.表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
222
12

B．

C．

D．


33
33
14.已知正方体外接球的体积是
32

，那么正方体的棱长等于（ ）
3
A.2
2
B.
2343
42
C. D.
33
3
15.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角 是60°则该截面
的面积是 ( ) A．π B.2π C.3π D.
23


16.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶
3
B. 1∶3 C. 1∶3
3
D. 1∶9
17.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为

，则球的表面积为 ( )
A.
82

B.
8

C.
42

D.
4


18. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的 体积为

5 6
9
，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
8

空间几何体表面积与体积

6 6