梅县客家山歌-指日可待造句

长方体与正方体的表面积与体积

内容大纲
1. 知识梳理 2.经典精讲 3.综合练习 4.拓展提高 5.巩固练习


知识梳理

1、长方体和正方体的认识
（1）、长方体的特征：有6个面 ，都是长方形，（有时相对的两个面是正方形），相对的面
形状相同，
面积（大小）相等；有12条棱，相对的棱长度相等；8个顶点。
（2）、正方体的特征： 有6个面，都是正方形，6个面的面积相等；12条棱的长度相等；8
个顶点。
说明：正方体是特殊的长方体
（3）、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 正方体的棱长总和= 棱长×12
2、长方体和正方体的表面积
（1）、长方体的表面积计 算公式：S=2(ab+ah+bh)，其中S为长方体的表面积，a为长，b
为宽，h为高。
（2）正方体的表面积计算公式：S=6×a×a=6a
2
，其中S为正方体的表面积，a为 棱长。
3、长方体和正方体的体积或容积
（1）体积：物体所占空间的大小，是物体的体积。 容积：容器所能容纳物体的体积，是
容器的容积。
（2）长方体体积的计算公式：长方体体积=长×宽×高=底面积×高；用字母表示是：V=abh < br>（3）正方体体积的计算公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长；用字母表示是：V=
a

注意：长方体与正方体表面积与体积的变化关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
长方体或 正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、
高。所以，
对于同一个物体，体积大于容积。
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就 会扩大倍数的立方倍。如长、
宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍。
3
4、体积与容积单位换算
1

常见的体积单位有：cm
；
dm
；
m
等。常见的容积单位有：L、mL等
3333
体积单位的换算有：
1m1000dm
；
1dm1000cm< br>；相邻体积单位间的进率是1000.
3
3
3
容积单位的换算有：
1L1000mL

3333
体积与容积间的单位换算：
1m1000L
；
1dm1L
；
1dm1000mL
；
1cm1mL

转换依据：（1）高级单位化为低级单位：乘以进率； （2）低级单位化为高级单位：除以
进率。
5、不规则物体的体积或容积
（1）公式法：形状规则的物体可以用公式直接求体积。
（2）排水法：形状不规则的物体可 以用排水法求体积，排水法的公式：V
来
物体
=V
现在
－V
原

，也可以 V
物体
=S×(h
现在
- h
原来
) V
物体

=S×h
升高

（3）分割法：对于组合类型的物体，可以通过分割的方法将 其分割成几个规则的物体，分
别求每一个物体的体积，然后相加求和。
（1）等积变形法：对 于某些问题，当外形发生变化时，体积不变，如长方体铁块融化后铸
成正方体铁块，体积没有变化，据此 可解决有关体积的相关问题。



经典精讲

类型一：长方体和正方体的认识
例1、填表：
相同点
名称
面 棱 顶点 面的特点
6个面一般都是 也
长方体 个 条 个 可能有两个相对
的面是 ；
不同点
面的大小 棱的长短
相对面的面积
每一组互相平行的四
条棱长度

正方体 个 条 个
6个面的面积
6个面都是

12条棱的长度
2

例2 （1）做一个长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米的长方体木框，至少需要多少厘
米的木条？




（2）一个长方体的长和宽都是
分米？




（3）一根铁丝可围成一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体框 架．如果用这根铁丝
围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？





37
分米，高比长长分米．这个长方体的棱长总和是多少
88
随堂练习
练习1、长方体的棱长之和是72厘米，长是9厘米，宽是6厘米，高是多少厘米？




练习2、在一个长方体中，从一个顶点出发的三条棱的和是7.5分米 ，这个长方体的棱长总
和是多少分米？




练习3、 用一根铁丝围成一个长方体，已知长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1厘米，
这根铁丝长多少厘米 ？

3

练习4、一个长方体和 一个正方体的棱长之和相等，已知这个长方体长3厘米，宽2厘米，
高1厘米，那么正方体的棱长之和是 多少？




练习5、如图，捆扎一礼品盒，若打结处绳子的长 40厘米，捆扎这个礼品盒需绳子的长度
是多少厘米？




类型二：长方体和正方体的表面积
例1、如图，长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，那
么上下两个面的面积和是（ ）平方厘米，前后两个面的面积和是（ ）平方厘米，左
右两个面的面积和是（ ）平方厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。

3

4
13


例2、填表。
图形名称

棱长（a）
2 cm

54平方分米
长（a）
12 cm
宽（b）
3 cm
4
表面积（S）
正方体
0.6 m

图形名称


高（h）
6 cm
表面积（S）

长方体 5 分米
6 厘米
3分米


3厘米



例3、正方体木料的棱长总和是60分米，问：它的表面积是多少平方分米？





例4、教室长8米，宽5米，高3米，门窗面积15平方米，要粉刷墙 壁的四周和顶面，粉
刷面积是多少平方米？如果每平方米用漆0.6千克，每千克油漆21元，粉刷这间 教室需用多少
元？




例5、把一个长方体的高缩短 3厘米后，它就变成了一个正方体，表面积比原来减少了60
平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方 厘米？




例6、将4个小正方体堆成一个长方体，表面积比 四个小正方体的表面积和少了24cm，原
来每个小正方体的表面积是多少？




例7、如图所示的几何体 是由六个相同的小正方体组合而成的，请你画出从不同的三个方向
所看到的平面图。
2

5

例8、如图是由多个完全相 同的小正方体组成的立体图形，请你画出从不同的三个方向（正
面、左面、上面）所看到的平面图。


例9、如图所示，是由棱长为1的正方体搭成的积木从三个不同的方向看到的立体 图形的平
面图则图中棱长为1的正方体的个数是（ ）。



例10、墙角堆放着一些棱长为4分米的正方体钢块（如图）．若给露在外面的钢块表面涂上
油 漆，那么涂油漆的面积是多少平方分米？

例11、把19个边长为2厘米的正方体重叠起来 ，作成如图那样的组合形体，求这个组合形
体的露在外面的面积之和是多少？

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随堂练习
练习1、计算下面长方体、正方体的表面积。（单位：厘米）



练习2、一个礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁， 除去门窗面
积120平方米，平均每平方米用涂料0.45千克，一共需涂料多少千克？




练习3、用96厘米长的铁丝焊接成一个正方体的框架，然后用纸给它 的表面包裹起来，至
少需要多少平方厘米的纸？




练习4、一个长方体无盖铁皮箱子，长1.2米，宽0.8米，高2.5米，做一个这样的箱子至
少需要 多少铁皮？




练习5、一根长5米的长方形木料，锯成了3 个小长方体，表面积比原来增加了16平方米。
原来这根木料的体积是多少？




练习6、一块长方体橡皮泥，长8分米，宽3分米，高5分米。把它分割成两个小 长方体，
表面积增加多少平方米？
7

练习7、有一个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的角度 观
察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字6的面所对面上的数字记为a，2的面所对
面上数字记为b，那么a+b的值为（ ）.

练习8、求下列立体图形露在外面的面的面积之和。



练习9、这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂是黄色油漆，其他露出来< br>的面涂是红色油漆．涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？


练习10、 如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4
米，要在表面涂刷油漆 ，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？


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类型三：长方体和正方体的体积
例1、以下情况，物体的体积发生变化吗？
（1）在不计损耗的情况下，小亚将一盒果汁倒入杯中，果汁的体积（ ）；
（2）一块方钢，锻造成一根钢条，它的体积（ ）；
（3）小胖把一块橡皮泥，先捏成一长条，再捏成一个小兔，它的体积（ ）。
（4）有6块小方块，可以摆放成各种形状，它们的体积（ ）。
例2、如果以下的立体 图形都是用棱长是1厘米的正方体的积木，那么下列每个立体图形的
体积是多少？





例3、由若干个体积为,9
cm
的小正方 体搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图
所示，则搭成这个几何体的小正方体的总体积最多是
cm
；最少是
cm
。





例4、求下面图形的体积．

33
3





例5、刘刚把3个长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米 的长方体橡皮泥捏成一个长和宽
都是12厘米的长方体，这个新长方体的高是多少？

9

例6、一根横截面是正方形的方木，横截面的周长 是28分米，方木长5米．如果每立方米
木头的质量是0.45吨，这根方木的质量是多少吨？





例7、如图，一个长方体的底面是边长为5分米 的正方形，长方体4个侧面的面积之和是
500平方分米，求长方体的体积．


随堂练习
练习1、如果以下的立体图形都是用棱长是1厘米的正方体的积木，那么下列每个立 体图形
的体积是多少？





练习2、用棱长是1厘米的正方体搭出一个大正方体，至少要用（ ）块，这时它的体积
是（ ）立方厘米。

练习3、一个正方体的棱长总和是48分米，它的体积是多少？



练习4、一个长方体，长是2.8分米，宽是长的一半，高比长长0. 3分米，求这个长方体的
体积是多少？
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练习5、两个同样的正方体拼成一个长方形，长方体的长是10厘米，则它的体积 是多少立
方厘米？





类型四：体积与容积单位换算
例1、单位换算
1立方分米=（ ）立方厘米
1立方米=（ ）立方分米
0.2立方分米＝（ ）立方厘米
35立方厘米＝（ ）立方分米
12立方分米5立方厘米＝（ ）立方分米
7立方米8立方分米＝（ ）立方分米
例2、一个长方体的底面积是80平方分米，高是7厘米，它的体积是多少立方厘米？




例3、一根长方体的方木，横截面的面积为25平方厘米，长5分米，它的体积是多少立方
米？




例4、（1）至少要多少个小正方体才能拼成一个大正方体？




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（2）如果一个小正方体的棱长是5厘米，那么大正方体的 表面积是多少平方厘米？体积是
多少立方分米？




例5、、一个正方体的底面积是25平方分米，它的表面积是多少平方米，它的体积是多少立
方分米？





例6、正方体的棱长总和是72厘米，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？





例7、单位换算。
1升=1（ ） 1毫升= 1（ ） 1升=（ ）毫升
6000毫升=（ ）升=（ ）立方分米
7.5升=（ ）升（ ）毫升=（ ）毫升
1000000立方厘米=（ ）立方分米=（ ）升
56000升=（ ）立方分米
45000毫升=（ ）升=（ ）立方米
720立方分米=（ ）立方米=（ ）立方厘米
810000立方厘米=（ ）升
4.07立方米=( )立方米( )立方分米=（ ）升
9.08立方分米=( )升=( )毫升

例8、把30升盐水装入容积是250毫升的盐水瓶里，能装多少瓶？



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例9、一个长方体水池，底面长15米，宽6米 。如果要向这个池子里注入1.5米深的水，
需要多少升水？




随堂练习
练习1、单位换算
7m=( )dm 55 cm=( ) dm
1.4 m=( ) dm 42 dm³=（ ）cm³
24 m=（ ）dm 3.56m³=（ ）dm³
18m³30dm³=（ ）m³ 3dm³400cm³=（ ）cm³
12m³30dm³=（ ）dm³ 13dm³39cm³=（ ）dm³
练习2、把三个棱长都是4厘米的正方体 拼成一个长方体,表面积减少了多少平方厘米,它的
体积是多少立方分米？




练习3、一个长方体形状的游泳池,长50米,宽25米,高3米,池内原来水深 1.2米,如果用
水泵向外排水,每分钟排水2.5立方米,那么需要几个小时排完?游泳池的四周和底 部都要贴上瓷
砖的面积？





练习4、从 一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体剩下部分的表
面积是多少？




13
22
22
2222

练习5、一个长方体水箱的容积是350升，这个水箱的底面是一个边长为50厘米的正方形，
水箱的高
是多少厘米？




练习6、一个棱长5分 米的正方体水箱装满水，如果把这箱水倒入另一个长0.8米，宽25
厘米的长方体水箱中，水深是多少 ？




练习7、一个底面周长是24厘米的正方体玻璃缸，这个玻璃钢装水多少升？




类型五：不规则物体的体积或容积
例1、组合体的体积：计算下列几个铸铁零件的体积.（单位：厘米）











例2、一个长 方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。把一块石
头浸入水中后，水面升到 16厘米，求石块的体积。


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例3、把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢
板有多厚？






随堂练习
练习1、计算下列组合体的体积。（单位：厘米）











练习2、将一块 底面积长为32厘米，宽为4厘米的长方体铁块，锻造成一块棱长为8厘米
的正方体。原来的长方体的高 是多少厘米？（不计损耗）






练习3、有一个底面积是300平方厘米、高10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。现
在把一块石 头浸没到水里，水面上升2厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
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练习4、一个长方体的容器，底面积 是16平方分米，装的水高6分米，现放入一个体积是
24立方分米的铁块。这时的水面高多少？






练习5、把10升水倒入一个长2.5分米，宽2分米，高6分米的长方体水缸中。
（1）这时水面的高度离容器口有多少分米？





⑵此时，将一个正方体铁块全部浸入水中，水面离容器口还有2.4分米，你能求出正方体
铁块 的棱长吗？





综合练习

1、一个长方体的长是10厘米，比宽多4厘米，高和宽相等。它的表面积是多少？


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2、小敏房间的地面是长方形。长5 米、宽3米，铺设了2厘米厚的木地板，至少需要木材
多少立方米？





3、将192立方米的沙土铺撒在一条宽为4米的路上，铺撒的厚度为2分米。可 以铺撒多少
米？






4、一个 礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁，除去门窗面积120
平方米，平均每 平方米用涂料0.45千克，一共需涂料多少千克？






5、、学校要砌一道长20米，宽24厘米、高2米的墙，每立方米需要砖525块，学校需 要
买多少块砖？






拓展提高
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1、一个长方体的棱长总和是140cm，已知长是宽的2 倍，宽是高的2倍，求这个长方体的
长、宽、高分别是多少。





2、用4个棱长都是3cm的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的棱长总和是多少？






3、王老师家新买一套住房，客厅长6米，宽3 米，高3米．王老师这样装修客厅：①地面
铺边长为
0.6米的方砖．请你算一算，王老师至 少要买多少块这样的方砖？②用立邦漆粉刷四周墙面，每
平方米大约需要1.2千克．王老师至少要买多 少千克立邦漆？（扣除10平方米的门窗面积）










巩固练习

1、填空：
（1）长方体有（ ）个面，（ ）与（ ）、（ ）与（ ）、（ ）与（ ）
是相对的面，它们的（ ）相同，（ ）相等。
（2）长方体的（ ）条长，（ ）条宽，（ ）条高。
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（3）正方体有（ ）条棱，（ ）相等。
（4）一个长方体的一个顶点上的三条棱长的和是34.7厘米，这个长方体的棱长和是
（ ）。

2、用铁丝焊接一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体模型，至少要用多少厘米 长铁
丝？如果将这根铁丝焊成一个正方体模型，正方体棱长是多少厘米？





3、把一个棱长是8厘米正方体切成三个完全一样的长方体，这三个长 方体的棱长总和比原
来正方体
的棱长总和增加了多少厘米？





4、一只鱼缸，棱长和为240cm，其中，底面周长为80cm，右面周长为6 0cm，前面周长为
100cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？


5、一个长方体的食品盒长宽高分别是40cm、20cm、和15cm．售货员用红色的塑料绳，如
右图那样进行了捆扎，捆扎用的塑料绳共需多少厘米？（挽扣部分用30cm）



6、把两个正方体拼成一个长方体后，表面积减少了30平方厘米，问：拼成的长方体的表< br>面积是多少平方厘米？

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7、如图是一个长方体表面的展开图，请算出这个长方体的表面积．（单位：厘米）



8、如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立 体图形的
表面积等于多少？



9、将一个长方体从上、下两端 分别锯去高为3cm和2cm的两个长方体后，剩下中间的是一
个正方体。已知其表面积比原来减少了1 20cm2，则原来长方体的表面积是多少？






10、下列形体的体积各是多少？（单位：厘米）







20

8
8
8


6
15
6

11、求下列零件的体积。（体积：厘米）







12、用棱长为1厘米的正方体木块，拼搭成如图所示的立体图形，这个立体图形 的总体积
是多少立方厘米？ ．




13、看图回答问题．
（1）这个桔子的体积是多少？
（2）如果再放一个相同体积的桔子，烧杯的刻度应该是多少？





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14、用铁丝焊接一个长、宽、高分 别是6厘米、5厘米、4厘米的长方体框架，至少需要铁
丝铁丝多少厘米？如果改成焊正方体，它的体积 是多少立方厘米？







15 、一个正方体和一个长方体的体积相等，已知正方体的棱长是6厘米。长方体的长是5
厘米，高3厘米， 它的宽是多少厘米？







1 6、有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里
面装了7厘 米深的水．如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？



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