求几何体体积的常用方法
(1)公式法:直接代入公式求解.
(2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面 ,只需选用
底面积和高都易求的形式即可.
(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,棱台
补成棱锥等.
(4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
.
类型二 球体的表面积和体积


例题1

1．如图1-3-17是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何
体的表面积为( )
图1-3-17
A．18π
C．33π
【答案】 C
【解析】 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底
面半径都等于3，圆锥的母 线长等于5，所以该几何体的表面积S＝
2π×3
2
＋π×3×5＝33π.
【总结与反思】 球体的表面积公式
S4

R
2
,扇形面 积公式
SlR
.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一 个
球面上，则该球的表面积为( )
A．πa
11
2
C.
3
πa

2
B．30π
D．40π
1
2
7
2
B.
3
πa

D．5πa
2

第8页共18页

【答案】 B
【解析】 [由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，
23
均为a， 如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝
3
×
2
2
 
31

317
a
2


a＝< br>3
a，OP＝
2
a，所以球的半径R＝OA满足R＝

3

2

＝
12

2
7
2
a，故S
球
＝4πR＝
3
πa
.
22
【 总结与反思】几何体内接于球体的问题,由球半径和截面半径构造
的
OPA
最重要.



基础


四 、课堂运用
1．正三棱锥的底面边长为a，高为
为( )．
A．
a
2
B．
a
2
C．
3
4
3
2
6
a
，则此三棱锥的侧面积
6< br>33
2
33
2
a
D．
a
42
2．长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等
于b，则此长方体的 侧面积等于( )．
A．
2b
2
ah
2
B．
22b
2
ah
2

C．
2b
2
2ah
2
D．
b
2
2ah
2

3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截
面的面积与球的表面积之比为( )．
A．
3939
B． C． D．
1616832
4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．
A．372 B．360 C．292 D．280
第9页共18页

答案与解析
1. 【答案】A
2. 【答案】C


xya ①
22
【解析】设长方体的底面边长分别为x，y，则

，


xyhb ②
b
2
b
2
2
由②得
xy
2
，∴
(xy)
2
2a
.
hh
22
3. 【答案】A
4. 【答案】B 【解析】该几何体是由两个长方体组成，下方的长方体长为
10，宽为8，高为2，故表面积为23 2，上方的长方体长为6，宽为2，
高为8，故表面积为152.总的表面积为232＋152－2×2 ×6＝360.

巩固


1．已知三个球的半径R
1< br>、R
2
、R
3
满足R
1
＋2R
2
＝ 3R
3
，则它们的
表面积S
1
、S
2
、S
3
满足的等量关系是______．
2．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长 分别
为3a、4a、5a(a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能
的情形中， 表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是______．
答案与解析
1. 【答案】
S
1
2S
2
3S
3

【解析】由球的表面积公式得
S
1
4πR
1
2
，
S
2
4πR
2
2
，
S
3
4πR
3
2
，将
R
1

S
1
S
，R
2

2
，
R
3

4π4π
15

3
第10页共18页
2
a
S
3
代 入R
1
＋2R
2
＝3R
3
得
S
1
2
4π
S
2
3S
3
.
2. 【答案】
0a

【解析】 由图可知，若拼成一个三棱柱，只能把原三 棱柱底面相
接，全面积确定，为
S
1
23a4a2(3a4a 5a)12a
2
48
；
若拼成一个四棱柱，可能有把以3a为底的侧 面相接．以4a为底
的侧面相接和以5a为底的侧面相接三种方案，相接的面积不在表面
积中， 故相接面的面积越大，得到的全面积越小，上述三种方案中把
以5a为底的侧面相接时，得到的四棱柱表 面积最小，为
S
2
4a3a2
22
(4a3a)24 a
2
28
.
a
1
2
2
a
为使 表面积最小的为四棱柱，只需S
2
＜S
1
，
即24a
2
＋28＜12a
2
＋48，
解得
0a


拔高

1．已知正三棱锥S－A BC，一个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥
的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱 锥的高为
15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm
2
.
(1)求三棱柱的高；
(2)求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．
2．已知梯形ABCD中，AD∥BC ，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，
∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作
l
⊥CB，以
l
为轴将梯形ABCD
旋转一周，求旋转体的表面积．
答案与解析
1. 【答案】同解析
【解析】(1)设正三棱柱的高为h，底面边长为x，如图所示．
则
15hx

，
1512
第11页共18页
15
.
3

又S
三棱柱侧
＝3x·h＝120，
∴xh＝40. ②
解①②得


x 8,

x4,
或


h5.
h10


故正三棱柱的高为10 cm或5 cm.
(2)由棱锥的性质得
或
S
SA
1
B
1
C
1
侧
S
SABC
侧
(
155
2
4
)
.
159
2. 【答案】同解析
【解析】如图，在梯形ABCD中，
因为∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
所以
CD
BCAD
2a
.
cos60
DD′＝AA′－2AD＝4a－2a＝2a.
所以
DO
DD'
a
.
2
由于以
l< br>为轴将梯形ABCD旋转一周后所形成的几何体为圆柱中
被挖去一个底向上的圆锥，且圆锥的高等 于圆柱的高．
由以上的计算知圆柱的母线长为
3a
，圆柱的底面半径为2a，被挖去圆锥的母线长为2a，底面圆的半径为a，
所以圆柱的侧面积
S
1
2π2a3a43πa
2
，圆锥的侧面积
S
2
πa2 a2πa
2
，
圆柱的底面积
S
3
π
2a

2
4πa
2
，
圆锥的底面积
S4
πa
2
πa
2
，组合体的上底面积S
5
＝S
3
－S
4
＝3πa
2
.
所以组合体的表面积
SS
1
S
2
S
3
S
5
 43πa
2
2πa
2
4πa
2
3πa
2439πa
2
.

第12页共18页

本节讲了3个重要内容：
1．
2．
3．
几何体的表面积公式
几何体的体积公式
球体

五 、课堂小结


六 、课后作业



基础

1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )
4
8π
A.
3
π B.
3
C．43π D．323π
2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9 C.2∶3 D.8∶27
3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
( )
32
A．12π B.
3
π C．8π D．4π
4．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是
4 cm，则该球的体积是( )
A.
41613

100
3
208

500

cm
3
C.
cm
B.
cm
3
cm
3
D.
3
333

5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表
面积的大小关系是( )
A．S球 < S圆柱 < S正方体 B．S正方体 < S球 < S圆柱
C．S圆柱 < S球 < S正方体 D．S球 < S正方体 < S圆柱
第13页共18页

答案与解析
1.【答案】C
【解析】设正方体边长为a，由题意可知，
6a
2
＝24，∴a＝2.
设正方体外接球的半径为R，则
4
3a＝2R，∴R＝3，∴V球＝
3
πR3＝43π.
2.【答案】B
3

3

33

r:

R
【解析】


r:R
＝8∶27，

3

3

44
∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.
3.【答案】A
【解析】设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.
所以 正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所
以球的表面积为4π·

3

＝12π，故选A.
2
4.【答案】C
【解析】根据球的截面性质，有R＝r2＋d2＝32＋42＝5，
4
3
5 00
∴V球＝
3
π
R
＝
3
π(cm3)．
5.【答案】A
【解析】 设等边圆柱底面圆半径为r，
球半径为R，正方体棱长为a，
33
43
Ra

则 π
r
2
·2r＝
3
π
R
3
＝
a< br>3
，

＝
2
，

＝2π，

r

r

S圆柱＝6π
r
2
，S球＝4 π
R
2
，S正方体＝6
a
2
，
第14页共18页

2
3
2
S球
4

R
22

R

＝＝·

＝
3
<1， S圆柱
6

r
2
3


r

S正方体
6a
2
1

a

2
3< br>4
＝＝
π
·＝
π
>1，故选A.

2< br>S圆柱
6

r

r


1．一个几 何体的三视图(单位：m)如图1-3-19所示，则该几何体的体
积为________m
3
.
图1-3-19
2．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个
直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积
是________cm
2
.
3．如图1-3-20，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的
水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，
求钢球的半径．
图1-3-20
4．如图1-3-21所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图 中阴
影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．
图1-3-21
答案与解析
1.【答案】9π＋18
3
【解析】由三视图知，几何体下面 是两个球，球半径为
2
；上面是长
4

3

3方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V＝
3
π×

2

×2＋1×3×6＝9π

＋18.
2.【答案】5 100π
【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球
得到的小圆圆心为D，A B为小圆D的一条直径，设球的半径为R，
第15页共18页

巩固

则OD＝R－1，
则(R－1)
2
＋3
2
＝R
2
，
解得R＝5 cm，
所以该球表面积为S＝4πR
2
＝4π×5
2
＝100π(cm
2
)．
3.【答案】1.5
【解析】设球的半径为R，由题意可得
4
32
πR
＝π×3×0.5，
3
解得R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.
4. 【答案】同解析
【解析】
11
22
S＝
×4π×2
＝8π(cm)，
球
2 2
S
圆台侧
＝π(2＋5)5－2
2
＋4
2
＝35 π(cm
2
)，
S
圆台下底
＝π×5
2
＝25π(cm
2
)，
即该几何体的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm
2
)． π
2
又V
圆台
＝
3
×(2＋2×5＋5
2)×4＝52π(cm
3
)，
1
4π
3
16π
V
半球
＝
2
×
3
×2＝
3
(cm
3
)．
所以该几何体的体积为
16π140π
V
圆台
－V
半球
＝52π－
3
＝
3
(cm
3
)．


拔高

1．如图1-3-22，某几何体的三视图是三个半径 相等的圆及每个圆中
28π
两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是
3
，则 它的表面积是
第16页共18页

( )
图1-3-22
A．17π
C．20π
B．18π
D．28π
2．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为
2，求球的体积.
答案与解析
1.【答案】A
【解析】由三视图可知其对应几何体应为一个切去
14
3
7
28π
了
8
部分的球，由
3πr
×
8
＝
3
，得r＝2，所以此几何
71
2
体的表面积为4πr
2
×＋3×
84
πr
＝17π，故选A .
2.【答案】同解析
【解析】如图所示，作出轴截面，
因为△ABC是正三角形，
1
所以CD＝
2
AC＝2，
3
所以AC＝4，AD＝
2
×4＝23，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，
OECD
所以
AO
＝
AC
.
设OE＝R，则AO＝23－R，
R123
所以＝
2
，所以R＝
3
.
23－R4
3
4

23

3
323π

＝所以V
球
＝
3
πR
＝
3
π·

27
.

3

第17页共18页

323π
所以球的体积等于
27

第18页共18页