羊肉汤锅的做法-班主任工作交流

数列难题突破之裂项与放缩

裂项与放缩是高考数列题常用技巧
主要有以下3类应用
1．裂项法求和
2．裂项、放缩证明求和不等式
3．放缩证明连乘不等式

裂项法求和
一个最简单的裂项求和的例子
1
12

111
23

34


n(n1)


【例1】
已知等差数列
{a
1
n
}
满足：
a
3< br>7,a
5
a
7
26.
设
b
n

a
2
(nN
*
),
求
b
n
的 前
n
项和
T
n
.
n
1



【例2】
设数列
{a
n
}
为等差数列，且每一 项都不为0，则对任意的
nN
*
，有
111n
a
.

1
a
2
a2
a
3
a
n
a
n1
a
1
a
n1



裂项法求和小结回顾：
11
1 2

23



1
n(n1)
< br>1
13

1
35



1(2n1)(2n1)

1
a

1

1

1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n1

裂项、放缩法证明求和不等式
【例3】
证明：
1
2
< br>1
n1

111
2
2

3
2


n
2
1


1

【例4】
已知数列
{a
n
}
与
{b
n
}
满足
b
n
a
n
an1
b
n1
a
n2
且
a
1
 2,a
2
4
，设
S
n


a
2 k
,
求证：

k1
n
3(1)
n
 0;

b
n
,nN
*
,

2
S
k
7
.

6
k1
a
k
4n



和式不等式小结回顾：
放缩去“凑”裂项形式
111

★
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n1

连乘不等式的证明
【例5】
132n1

求证：



242n



【例6】
等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
Sn
，已知对任意的
nN
*
，点
(n,S
n
)
均在函数
yb
x
r
（
b0
且
b1, b,r
均为常数）的图像上.
(II)当
b2
时，记
b
n
2(log
2
a
n
1)( nN
*
).

求证：
b1
b
1
1 b
2
1

n
n1 (nN
*
)

b
1
b
2
b
n
1
2n1





总结：
1．裂项求和：

1111


()
★ < br>a
k
a
k1
da
k
a
k1
2． 求和不等式：放缩可裂项
3．连乘不等式：
·配上“错一位”的连乘式可消去
·选择“错位”方向


2

课后作业
【习题1】求和



【习题2】求证:



【习题3】求证：
111




144797100
11111
.


1 
2222
1.52.53.5(n0.5)n
2583n1
3


3n1
.
1473n2
分析：考虑配上一个“错 一位”的连乘式，发现还是消不掉，因此本题应当配上两个“错一位”
的连乘式.


答 案
【习题1】
解：
111


144797100
111111111
()()

 ()

3
1133
(1)
3100100
【习题2】
分析：希望将和式放缩成可以裂项的形式，可以考虑用放缩
证：
11

.
2
(k0.5)k(k1)
1111



1.5
2
2.5
2
3.5
2
(n0.5)
2
1111




122334n(n1)
1
1
n

3

【习题3】
解：设
A
2583n 13693n47103n1



，
B


，
C
，则
1473n22583n13693n
ABC3n1
，由
A,B,C0
知，只需证
AB,A C
就有
A
3
3n1
成立。只需要
证明对任意
k 1,2,3,n
，连乘式
A
中的第
k
项大于
B
和
C
的第
k
项，只需要
证:
3k13k3k1111< br>
此不等式的每项减去1，即，显然成立，
3k23k13k3k23k 13k
故原不等式成立。


4