出租车计价器-支教实践报告

数列中的裂项法求和举例
杨恒运
江苏省扬中高级中学 （212200）
数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的
前 n项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。
1. 求通项公式
例1 已知数列｛
a
n
｝满足：
a
1,a
2
a
1
,a
3
a
2
an
a
n1
是首项为1公比为
1
3
的等比数列，求通项
a
n

n1
由于
a
1
a
2
a
1
a
3
a
2
a
n
a
n1
2. 求等差数列前 n项和

1

a
n
很容易求出通项a
n



3


例2 在数列

a
n

中,若
a
n
2n1，求前n 项和s
n

学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若
用裂项法就很容易求出其前n项和
略解:显然
a
n
(n1)n

则s
n
a
1
a
2


a
n
(2
2
22
1)(3
2
22
2)

 (n1)
2
22
n
2

(n1)1n 2n
一般地，若等差数列a
n
a
1
(n1)d
则a< br>n
dn(a
1
d)


d
2
d
(2n1)a
1

3
2
d< br> =
3
2

2


n+1

n



a
1
d



2

2

2
s
n
d


n1

2

n
2

3

1



a
1
d

n


2

=na
1


(n1)d

3．求等比数列前n项和
对于等比数列前n项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为
简

例3 在数列

a
n

中,若
a
n
2，求前n项和s
n

略解：a
n
22< br>s
n
2
n1
nn1
n
2
n
2
n1
一般地在等比数列

a
n

中 若a
n
a
1
q
则a
n
=< br>a
1
q-1
(qq
nn1
(q1)
)

s
n
a
1
a
2


an


a
1
q1
(q1)
n
a
1
q1

q
n
1
qqq< br>
qq
021nn1

a
1
(1q)
1q
4．求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n项和
对这种数列的前n项和 问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，
但运算正确的也很少，若用裂项法 ，则运算很简捷。
例4 在数列

a
n

中,若a
n

2n3
3
n
，求数列前n项和。
略解： a
n



3n3

n
3
n1
3
n1
n
< br>n
3
n

s
n

n
3
n

a
n

2n3
4
n
例5 在数列

a
n

中,若
2n3
4
2

3
n
， 求数列前n项和
a
n


4n4n

4
n
1
3
n
2

n1n

1

1



n1

n



3

44

3

4

1

1

1

n
< br>2

n

1
4

4

s
n



n


1
3

4

3
1
4
n
1

16n 4




n
9

4


a
一般地:
anb
q
n

q1


q

n1

n



q
n
aq
q1
b

1

a

n1n
< br>aq
= b
 
n1

n



q-1

q q

q1

q

由此很容易求出此数列的前n项和。
5．求有关二项式系数的和
例6 化简
c
2
c
3
c
4
c
n

若利用组合数性质，则有
c
k
c
k1
c< br>k

原式=
c
2
c
n1
c
3
c
n1

2333
n

2222
233

6．求通项是分式形式的数列前n项和
例7 在数列

a
n

中 ，若
a
n
n1
设正项数列

b
n

满足
b
1
1,b
n1
b
n
a
n

求证：
1
b
1

1
b
2

1
b
3

1
b
n
2

n11


证明：当
n1
时不等式显然成立。当
n2
时
b
n1
b
n
a
n

b
n
b
n1
a
n1
两式相减得： < br>b
n

b
n1
b
n1

1

1
b
n
b
n1
b
n1
a
1
b
1
2,
1
b
1

又 b
2

1
b
1
b
1
1
则 原式左边=


b
3
b
1



b
4
b
2



b
5
b
3



b
n1
b
n 1




1
b
1
b
1
b
2
b
n1
bn

2bn1
b
n
22b
n1
b
n
2< br>所以不等式成立。
7．通项是多项式形式的数列的求和
例8 求数列

n

n1


的前n项和
解：a
n
n

n1


因此 s
n

=
1
3
1
3< br>n

n1

n2



n 1

n

n1

3

n11




123023412 3

n

n1

n2

< br>
n1

n

n1


n

n1

n2

1
4

n

n1

n2

n3



n1

n

n1

n2




相似地 a
n
n
n1

n2


n

n1
 
n2

n3

4
3
a
n
n

n1

n

n1

n
s
n

1
由上式不难得到
s
n

1
4



n1

n

n1

n2




n

n1

2

类比可求得
a
n
n
< br>n1



nk

的前n项和
8．求通项是三角形式的数列前n项和
例9 在数列｛
a
n
｝中
a
n
sinnx
,求前n项和
s
n

sinnx
解：a
n
sinnx
x
sin
2
x



conxs


2



x
sin
2



 
1x

cosnx



2

2

x
sin
2

x

2 sin

2
1
1

n21

cosx< br>
2

2n1
cosx
2
s
n

2n1x

cosxcos
x

22


2sin
2
裂项法在其它形式的数列求和中均有广泛应用，在此不一一举例。裂项法求和关键
在于拆项、消项。因而具有较强的技巧。在平时的解题训练中不应生搬硬套，过于追求
巧，而应灵活应用。