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裂项相消和放缩法解数列专题
数列专题3
一、裂项求和法
裂项法 的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的
目的.
通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：
数列。
常用裂项形式有：

1
，
{a
n
}
是< br>d0
的等差
a
n
•
a
n1
111
(2n)
2
111
1111
；

()
；
1()
；
n(nk)knnk
n( n1)nn1
(2n1)(2n1)22n12n1
1111
[]< br>；
n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
11
(a b)
；
ab
ab
111
(nkn)
特别地：
n1n

k
nknn1n
二、用放缩法证明数列中的不等式
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。
1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：
①

a
i1
n
i
k
（
k
为常数）；②< br>
a
i
f(n)
；③

a
i
f (n)
；④

a
i
k
（
k
为常数）.
i1
i1
i1
n
n
n
放缩目标模型→可求和 （积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型
2.几种常见的放缩方法
（1）添加或舍去一些项，如：
a1a
；
n(n1)n

（2）将分子或分母放大（或缩小）
2
11111111

； （程度大）
22
n(n1)n1nn(n1)nn1
nn
111111
()
( n2)
（程度小） ②
2

2
nn1
(n1)(n 1)2n1n1
1111111n
③
1
n1n2n32nn1n1n1n1
1111111n1
或
 

n1n2n32n2n2n2n2n2
111111n< br>n
④
1
23nnnnn

14411
⑤平方型：
2
2()
；
22
2n12n1
n4n4n1
111111
()

(2 n1)
2
4n
2
4n
4n(n1)4n1n
111 11
[]
(n2)
⑥立方型：
3

2
nn (n1)
2(n1)nn(n1)
1111
(ab1)(ab1)
⑦指数型：
n
；
nn1nn1
aba(ab)aba (ab)
11

⑧
k1k
；
k1k2kn(n1)lg3lg5
2
⑨利用基本不等式，
n(n1)
， 如：
log3lg5()lg15lg16lg4

22
①
1 17

裂项相消和放缩法解数列专题

（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列
例如：（1）求证：








（2）求证：







（3）求证：






总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若
一般要先将通 项
a
n
放缩后再求和.
问题是将通项
a
n
放缩 为可以求和且“不大不小”的什么样的
b
n
才行呢？其实，能求和的常见数列模
型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，
b
n
大多是等比模
型或裂项相消模型.
（1）先求和再放缩
2*
例1.设各项均为正数的数列{
a
n}的前
n
项和为
S
n
，满足4
S
n
＝
a
n
＋1
－4
n
－1，
n
∈N，且
a
2
，
a
5
，
a
14
构成等比
数列．
(1)证明：
a
2

1111

2

3

n
1(nN
*
)
.
2
222
1111

2

3

n
1(nN
*
)
.
21
212121
123 n

2

3

n
2(nN
*)
.
21
22232n

a
可直接求和，就 先求和再放缩；若不能直接求和的，
i
i1
n
4a
1
5
；
1111
L
.
a
1
a
2< br>a
2
a
3
a
n
a
n1
2
(2)求数列{
a
n
}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数
n
，有










2 17

裂项相消和放缩法解数列专题

（2）先放缩再求和
例如：求证：
1












111
*
2(nN)
.
222
23n4
x
11
*
例如：函数
f(x)
，求证：
f (1)f(2)f(n)n(nN)
.
x
n1
14
2
2














例2.设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足
（1）求a
1
的值；
（2）求数列{a
n
}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有















n
nn
总结：一般地，形如
a
n
ab
或
a
n
ab
（这里
ab1
）的数列，在证明
，且a
1
，a
2
+5，a
3
成等差数列．
．
111k
a
1
a
2
a
n
3 17