(完整版)整数裂项.docx
搞笑大全-描写狐狸的词语
整数裂项
整数裂 基本公式
(1)
1
2
2
3
3
4
...
(n
1)
n
1
3
(n
1)
n
( n
1)
1
4
(2)
1
2
3
2
3
4
3
4 5
...
(n
2)
(n
1)
n
( n 2)( n 1)n(n 1)
【例 1 】
1 2
2 3 3 4 L
49
50
=_________
【 度】 3 星
【
型】 算
【考点】整数裂
【解析】 是整数的裂 。裂 思想是：瞻前
后，相互抵消。
S＝
1
2 2 3 3 4 L 49
50
1×2×3＝ 1×2×3
2×3×3＝ 2×3×（ 4－
1）＝ 2×3×4－ 1×2×3
3×4×3＝ 3×4×（ 5－ 2）＝
3×4×5－ 2× 3× 4⋯⋯
49×50×3＝ 49×50×（ 51－ 48）
=49 ×50×51－ 48×49×50
3S＝ 1×2×3＋ 2×3×3＋
3×4×3＋ ⋯＋ 49×50×3＝ 49×50×51
S＝ 49×50×51÷3＝
41650
【答案】
41650
【巩固】
1
2 2 3 3 4
4 5 5 6 6
7
【 度】 3 星
7 8 8 9 9 10
________
【 型】 算
【考点】整数裂
【解析】本 数 少，可以直接将每一 乘 都 算出来再 算它 的和，但是 于 数 多的情况
然
不能 行 算． 于 数 多的情况，可以 行如下 形：
n n 1
n n 1 n
2
n 1 n n 1
1
3
n
n 1 n 2
3
1
n 1 n n 1 ，
3
所以原式
1
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
2
3
3
3
L
1
9
10
11
8 9 10
3
3
1
1
9
10
11
330
3
另解：由于 n n
原式
1
n
2
n ，所以
1
2
1
2
2
L
2
2
2 L
9
2
9
2
9
L
9
1
2
1
2
1
9
10
19
6
采用此种方法也可以得到
1
2
2
3
L
n
n
1
1
9
10
2
1
3
330
n n
1
n
2
一 ．
【答案】
330
【例 2 】
1 4
4
7
7
10
L
49
52
=_________
【考点】整数裂
【解析】
【 度】 3 星
【 型】 算
S＝
1
4 4 7 7 10 L 49 52
1×4×9＝ 1×4×7＋
1×4×2
4×7×9＝ 4×7×（ 10－ 1）＝ 4×7×10－
1×4×7
7×10×9＝ 7×10×（
13－4）＝ 7×10×13－ 4×7×10
⋯⋯⋯⋯.
49×52×9＝ 49×52×（ 55－ 46）＝ 49×52×55－
46×49×52
9S＝ 49×52×55＋ 1×4×2
S=（ 49×52×55＋ 1×4×2） ÷9＝15572
【答案】
15572
【例 3
】
1 2 3 2 3 4 3 4 5 L
9 10
11
【考点】整数裂
【解析】 n n
【 度】 3 星
n
n
【 型】 算
1
n
1 n n
1
n
2
1
4
1
n
2
n
3
1
n
2 ，所以，
原式
1
1
1 2 3 4
4
4
1
2 3 4 5
4
1
4
4
1 2 3
4
L
1
4
9 10 11 12
1
4
8 9 10 11
9
10
11
12
2970
从中 可以看出，
1
2
3
2
3
4
3
4 5
L n
n
1
1
n 2n n 1
n 2 n
3
4
【答案】
2970
【例 4 】
算：
【考点】整数裂
1
3 5
3
5
7
L
17
19
21
．
【 度】 3 星
【 型】
算
【解析】 可以 行整数裂 ．
3
5
7
5
7
9
3 5 7 9 1 3 5 7
，
8
5
7 9 11 3 5 7 9
，
8
17 19 21 23
15 17 19 21
，
8
17
19
21
所以原式
1
3
5
3
5
7
9
1
3
5
7
8
L
17
19
21
23
15
17
19
21
17
1
3
5
19
21
23
1
3
5
7
17
19
21
8
23
1
3
5
8
8
19503
也可适用公式．
原式 3 2 3 3 2
5 2 5
5 2 L
19 2 19 19 2
3
2
3
3
1
3
2
2
3 5
2
2
2
5 L
19
2
2
2
19
5
3
L
19
3
3
3
5
3
L
19
3
4 3 5 L 19
4 1 3 5 L 19 3
而
1
3
3
3
5
3
L
19
3
1
3
2
3
3
3
L 20
3
2
3
4
3
6
3
L
20
3
1
20 21 8
22
1
10
2
11
2
19900
，
4
1 3 5 L
4
19 10
2
100
，所以原式
19900 4 100 3 19503
．
【答案】
【巩固】
19503
算：
1
2 3 4
3 4 5 6 5 6 7 8 L
【 度】 3 星
97 98 99
100
【 型】 算
【考点】整数裂
【解析】一般的整数裂 各 之 都是 的，本 中各 之 是断开的， 此可以将中 缺少的
上，
再 行 算．
原式
A
，再
B
B
1 2
2
3
4
5
4
5
6
7
6
2 3
4
5
7 8
9
L
96
97
98
99
，
A
3
4
3
4
5
6
L
97
98
99
100
1
5
97
98
99
100
101
1901009880 ，
在知道
A
与
B
的和了，如果能再求出
A B
1
2
4
3
4
2
3
4
5
3
4
5
A
与
B
的差，那么
A
、
B
的
就都可以求出来了．
6
4
5
6
7
5
6
7 8
L
97
98 99 100
4
(1
2
3
3
4
5
5
6
7
... 97
98
99)
2
(2
2
1)
4
(4
2
1)
6
98
3
)
4
1
2
(6
2
1)
L
4
6
L
98
(98
2
98)
1)
4
(2
3
4
8
4
3
6
3
L
4
(2
100
1
49
2
50
2
4
49
48010200
所以， A
【答案】
974510040
1901009880
48010200
2
974510040 ．
【例 5 】
2004
2003 2003
2002 2002
2001
2001
2000
L 2
1
【考点】整数裂
【解析】原式
【 度】 3
星
【 型】 算
2003
2
2001
2
L
2
2
1
3
5
3
2
1
2
2003
2
L
2001
2
1
2003
1002
2008008
其中也可以直接根据公式
1 3
5
L
1 3
5
7
L
2n
1 n
2
得出
2001
2003
1002
【答案】
【例 6 】
2008008
1 1!
2
2!
3
3!
L
2008
2008!
【 度】 4 星
【考点】整数裂
【解析】 察 2
【 型】 算
2!
2
3
3
2
1
(3
1)
2
1
3!
2! ，
4!
3! ， ⋯⋯
L
2 1
3 3!
2
1
(4
1)
3
2 1
2008
2008 2007
2007
L
2008
2008!
(2009
可
，原式
，
1)
2008
1!
(2!
2
1
2009!
2008!
L
1!)
(3!
2!)
(2009!
2008!)
2009!
【答案】
2009!
【例 7 】
计算：
1
2
3
4
5
6
L
99
100
2
3
4
5
L
98 99
【考点】整数裂项
【解析】 设原式 =
B
【难度】 5
星
【题型】计算
A
A B 1
1
2
2
3
3
4
L
3
1
3
1
2
3
0
1
2
98
2
99
99
100
3 4
1
2 3 L99 100 101 98 99 100
99 100 101
333300
B A 1 2 3 2 L
B 333300 5000
A
333300 5000
99 2 50 100 5000
3383
3283
【答案】
3383
3283