牧羊人弹弓-雷锋的个人资料

数列中裂项求和的几种常见模型
模型一：数列
{a
n
}
是 以d为公差的等差数列，且
1111

(

)
a
n
a
n1
da
n
a
n1


例 1已知二次函数
yf(x)
＝3x－2x，数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，点
(n,S
n
)(n

N)
均在函
2
d0,a
n
0(n1,2,3,)
，则
数
yf(x)
的图像上。
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n

1
m
，
T
n
是数列
{bn
}
的前n项和，求使得
T
n

对所有
n
N

都成立的最小
a
n
a
n
1
20
正整数m； （2006年湖北省数学高考理科试题）
解：（Ⅰ）

因为点
(n,S< br>n
)(n

N)
均在函数
yf(x)
的图像上，所 以
S
n
＝3n－2n.
2
当
n＝1
时，a1
＝S
1
＝3×1－2＝6×1－5
，
2
3
n
1)

2(
n
1)
＝
6n－5. （n=1也符合）
当
n≥2
时， a
n
＝S
n
－ S
n－1
＝（3n－2n）－
（
2

2

所以，
a
n
＝6n－5 （
n

N
）
（Ⅱ）
分析：恒成立问题。求m则m为参数，n为变量
由（Ⅰ）得知
b< br>n


3
3
111
＝＝
(

)
，
a
n
a
n

1
(6n5)
6(n1)5

26
n
56
n
1< br>故T
n
＝

b
i
＝
i

1
n
1
2
11111

11

(1

)

(

)

...

()
＝（1－）.

77136n

56n
1
26
n
1

因此，要使
11
m1m（1－
）<（
n

N

）成立的
m,
必须且仅须满足
≤
，即
m≥
10，
26
n
120220
所以满足要求的最小正整数
m
为10..
例2在
x oy
平面上有一系列点
P
1
(x
1
,y
1
),

P
2
(x
2
,y
2
)
，… ，
2
P
n
(x
n
,y
n
)
，…， （
n
∈
N
*），点
P
n
在函数
yx(
x
0)
的图象上，
以点
P
n
为圆心的圆< br>P
n
与
x
轴都相切，且圆
P
n
与圆
P
n
+1
又彼此外切. 若
x
1
1,且x
n
1
x
n
.
（I）求数列
{x
n
}
的通项公式；
（II）设圆
P
n
的面积为
S
n
,T
n

S
1

S
2
L
S
n
,
求证
:T
n

3


2

解：（I）圆
P
n
与
P
n+
1
彼此外切， 令
r
n
为圆
P
n
的半径，

|P
n
P
n1
|

r
n

r
n 1
,即(x
n

x
n1
)
2

(y
n

y
n1
)
2

y
n< br>
y
n1
,

2
两边平方并化简得
(x< br>n

x
n1
)

4y
n
y
n1
,

2222
由题意得，圆
P
n
的半径< br>r
n

y
n

x
n
,(x
n

x
n

1
)

4x
n
x
n

1
,


x
n

x
n

1

0,

x
n
x
n

1

2x
n
x
n
< br>1
,即

数列{
1
x
n

1

1


2(n

N),
x
n
11
}是以

1
为首项，以2为公差的等差数列，
x
n
x
1
11

1

(n

1)
2

2n

1,即x
n

所以 < br>x
n
2n

1
（II）
S
n

r
n


y
n


xn

224

(2n1)
4
，
因为T
n

S
1

S
2

S
n


[1

11

]
< br>22
3(2n

1)


(1

1 11

)

1.33.5(2n

3)(2n

1)
111111


{1

[(1

)

(

)

(

)]}
23352n

32n

1
113

3



[1

(1

)]

.
22n

122(2n

1)2
所以，
T
n


3

.
2

提高：形如 1n.m,(n,m为两因子，可同可不同)形式，证不等关系是，将n或m适当放缩成等差数
列相邻两 项
1
模型二：分母有理化，如：
n

n

1例3已知
f(x)

(I)证明数列{
(Ⅱ)设
b
n< br>
1
a
n
2

n

1
< br>n

1
x

4
2
(
x
2)
，点(

1
a
n1
,a
n
)在曲线
y
=
f
(
x
)上(
n
∈
N
+
)，且
a
1
1

}为等差数列；
,记S
n
b
1
b
2
b
n
，求< br>S
n

1
11

a
n
a
n

1
解(I) 点(

1
a
n1
,a< br>n
)在曲线
y
=
f
(
x
)上(
n< br>∈
N
+
)
a
n

(

1
1
2
)

4
a
n
,并且
a
n
>0


1
a
n

1

4

1
a
n
2
，

1
a
n

1
2

1
a
n
2

4(n

1,n

N)
，∴数列{
1
a
n
2
}为 首项为
1
a
1
2
=1，公差为4等差
数列
1< br>(Ⅱ)∵数列{
1
}为等差数列，并且首项为
2
=1，公差为4， < br>a
1
a
n
2
∴
1
a
n
2< br>=1+4（n—1），∴
a
n
2

1
，∵
a
n
>0，∴
a
n

4n

3
< br>4n14n3
,
4
1
4n

3
，
b
n
＝
1
11

a
n
a
n

1
=
1
4n

3

4n< br>
1
∴S
n
＝b
1
＋b
2
+…＋b
n
=
5

19

54
n
14
n
34n11
=

.......

44 44

212


nn

n

1
提高：
n

1

n
1

2(n

n

1)



2(n
1

n)

n
2
n
11
模型三： = －
n+1

(2
n+1
－1)(2
n
－1)2
n
－12－1
例5设数列

a
n

的前< br>n
项的和
S
n

（Ⅰ）求首项
a
1
与通项
a
n
；
n
3
2
n
（Ⅱ）设
T
n

，n=1,2,3,…，证明：

T
i


2
S
n
i

1
412
a
n

2
n

1

，n=1,2,3,….
333
（2006年全国数学高考理科试题）
41412
n+1
2
. 解: (Ⅰ)由 S
n
=a
n
－×2+, n=1,2,3，… , ① 得 a
1
=S
1
= a
1
－×4+ 所以a
1
=2.
333333
41
n
2
再由①有 S
n－1
=a
n－1
－×2+, n=2,3，4,…
333
41
n+1n
将①和②相减得: a
n
=S
n
－S
n－1
= (a
n
－a
n－1
)－×(2－2),n=2,3, …
33
整理得: a
n
+2=4(a
n－1
+2
即a
n
+2=4×4
nn－1n
nn－1
),n=2,3, … , 因而数列{ a
n
+2}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,
nn
n
= 4, n=1,2,3, …, 因而a
n
=4－2, n=1,2,3, …,
4121
nnnnn+1n+1n+1
(Ⅱ)将a
n
=4－2代入①得 S
n
= ×(4－2)－×2 + = ×(2－1)(2－2)
3333
2
n+1n
= ×(2－1)(2－1)
3

232311
T
n
= = × = ×(
n
－
n+1
)
n+1n
S
n
2 (2－1)(2－1)22－12－1
3
所以,
T
i
=
2
i

1
nn

n

(
i1< br>n
113113
－
i+1
) = ×(
1
－
i+1
) <
2－12－122－12－12
i
模型四：
a
n

1

a
n
(a
n
k)
111

，且
a
n
0(n1,2,3,)
，则
k

a
n
a
n
a
n

1
k
2
例6设函数
f(x)xx
.数列

a
n

满足：
a
1

1
,
a
n

1

f(a
n
)
.求：
2
111
*

L

2
.
( Ⅲ)当
n2,nN
时,证明:
1

1

a1
1

a
2
1

a
n
111 1111
_

=,∴
a
n

1
a< br>n
(a
n

1)
a
n
1a
n1

a
n
a
n
a
n

1分析：结论分析法。选择一条路子靠近结论（拿出通项分析）
解： (Ⅲ) ∵
a
n

1

a
n
(a
n

1)< br>,∴
∴
1

,

,

…

1

a
1
a
1
a
2< br>1

a
2
a
2
a
3
1
< br>a
3
a
3
a
4
1

a
n< br>a
n
a
n

1
111111
 
2

2

a
1
a
2
a2
a
3
a
n

1
a
n
1
（需说明an>0，易发现递增）
111112426

L

1

1

a
1
1

a
2
1

a
n
1

a
1
1

a
2
3721
令
S
n

当
n2
时,
S
n


∴
1

111

L

2

1

a
1
1

a
2
1

a
n