立体花朵贺卡-邓稼先教案

奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式

1、
abcabcabc1001

2、
abababab10101

3、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
数写在前面，即
a
＜
b
，那么有:






1
形式的，这里我们把较小的
ab
1111
()

abbaab

4、对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：

11

11






n(n1)(n2)2

n (n1)(n1)(n2)


11

11
< br>




n(n1)(n2)(n3)3< br>
n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)


abab11
5、

abababba

a
2
b
2
a
2
b
2
ab

6、
abababba


7、

1
122334......(n1)n(n1)n(n1)

3

8、
123234345......(n2)(n1)n

1
(n2)(n1)n(n1)

4
11
9、
n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)

33
11

10、
n(n1)(n2)n(n1) (n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)

44

11、
nn!(n1)!n!


1

12.求和：
S
n


证
1111111111n

S
n
(1)()()( )()1
2233445nn1n1n1
11111n
 ......

12233445n(n1)n1
：

13.求和：
S
n


证：
S
n

11n
(1)()()()(1)
232352 5722n12n122n12n1
11111n


13355779(2n1)(2n1)2n1


14.求和：
S
n



证：
S
n
(1)()()()

34347371033n23n1
11n

(1)
33n13n1
1111n


1447710(3n2)(3n1)3n1

15.求和：
S
n

证：
S
n

111111111
(1)

1324354 6n(n2)32n1n2
111
(1)()()()()< br>
232242352462n1n1
1111111

()(1)

2nn232n1n2

16. 求和：
S
n


11111

11





123234345n( n1)(n2)2

2(n1)(n2)

2

证：因为
1111
[]
，
n(n1 )(n2)2n(n1)(n1)(n2)
111111111
S
n
()()[]
21223223342n(n1)(n1)(n2)

111
[]
22(n1)(n2)
17 、
123n
n(n1)

2
2
（n1）n（n1）321n
18、
123
（2n1）n
19、
135720、
12n
222
2
n(n1)(2n1)

6
2
n(2n1)(2n1)n(4n
2
1)
（2 n1）
21、
135

33
222
22、
12n

12n

333
2
n
2

n1



4
2
23、

a
2
b
2
(ab)(ab)

24、

(ab)
2
a
2
2abb
2



【典型例题】

例1. 计算：
1111

……
19851986198619871987198819941995
111


19951996199619971997
分析与解答：
111

19856
111

198 67
111


19878
……
111

19945
3

111

19956

111

19967
上面12个式子的右面相加时，很容易看出 有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这
一来问题解起来就十分方便了。
11111
…
19851986198619871987198819951996199 61997

1

1997
111111111
……
686

111

5
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数 做适当的拆分，使得其中一部分
分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：

公式的变式
1111
…

112123123…100
12


12…nn(n1)
当
n
分别取1，2，3，……，100时，就有
12

112
12

1223
12


12334
12

123445
12
12…100100101

4

1
112123
12…100
22222
…
12233499100100101
11111
…)

2(
12233499100100101
111111111
2(1…)
2233499100100101
1
2 (1)
101
100
2
101
200



101
99
1
101

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式
符号所代表的数的数的积是多少？ 
1

1
…
1
111

中这两 个
6()
111111

就变成

，与前
6()6()
111
111

面提到的等式

相联 系，便可找到一组解，即


nn1n(n1)
6742
分析与解：减法是加法的逆运算，
另外一种方法
设
n、x、y都是自然数，且
xy
，当
得算式
111

时，利用 上面的变加为减的想法，
nxy
xn1

。
nxy
1
这里是个单位分数，所以
xn
一定大于零，假定
xnt0
，则
xnt
，代
y
n
2
t1
n
。

，即
y
入上式得
t
n (nt)y
22
又因为
y
是自然数，所以
t
一定 能整除
n
，即
t
是
n
的约数，有
n
个t
就有
n
个
y
，
111

这一来我们 便得到一个比

更广泛的等式，即当
xnt
，
nn1n(n 1)
n
2
111
yn
，
t
是
n
2
的约数时，一定有

，即
t
nxy
11t




nntn(nt)
5

n
2
111
 n
，
t
是
n
2
的约数时，一定有

，这 里 上面指出当
xnt
，
y
t
nxy
n6, n
2
36
，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当
t1
时，
x7
，
y42

当
t2
时，
x8
，
y24

当
t3
时，
x9
，
y18

当
t4
时，
x10
，
y15

当
t6
时，
x12
，
y10

当
t9
时，
x15
，
y10

当
t12
时，
x18
，
y9

当
t18
时，
x24
，
y8

当
t36
时，
x42
，
y7

故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：
11111

…
122334989999100
111
2. 计算：



36120
111
 
时，求
xy
。 3. 已知
x、y
是互不相等的自然数，当
18xy
【试题答案】


1. 计算：
11111

…
12 2334989999100
111111111
1…
22334989999100
1

1

100
99

100
111
2. 计算：



36120

6

22222222222222

61 2210240
111111111
2(
2334455 66778899101011
11111
)
111212 13131414151516

11
2()
216
1
1
8
7

8
111

时 ，求
xy
。 3. 已知
x、y
是互不相等的自然数，当
18xy

xy
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
11111

因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
1818(11)3636
11211

1818(12)5427
542781
< br>
11311

1818(13)7224
722 496
11611


1818(16)12621

21126147
11911
1818(19)18020
20180200

111811

1818(118)19342
19342361< br>12311

1818(23)4530
304575

12911

1818(29)9922
2299121 还有别的解法。



裂项法
【典型例题】

7

例1.
11111

…
1335571993199519951997
分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
11t

，现在给
n
、
t
一些具体的值，看看有什么结果。
nntn(nt)
211
当
n1,t2
时，有


1313
211
当
n3,t2
时，有


3535
211
当
n5,t2
时，有


5757
下面我们用
……
211


19935
211
当
n1995,t2
时，有

19957
当
n1993,t2
时，有
上面这998个等式左边的分数，其分母分别 与题目中各加数的分母一样，只是分子是2
不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如
112112
，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。
,
1321335235
112112112
因为 ，……，，
,
132133523519931995219931 995
112


19951997219951997
1111
所以 …
13351993199519951997
11111111
(1…)
233551997
11
(1)
21 997

11996

21997
998

1997

111
……

1232349899100
11312

因为
1223123123
1111
()
所以
12321223
1111
同样可得
()

23422334
例2.
8

1111
()

34523445
一般地，因为
11


n(n1)(n1)(n2)
n2n

n(n1)(n2)

2

n(n1)(n2)
1
n(n1)(n2)

111
[]
2n(n1)(n1)(n2)
这里
n
是任意一个自然数。

利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
111
…
123 2349899100
1111111
[()()…()]
212232334989999100

1111111
 (…)
212232334989999100
111
 ()
21299100
149501

29900
149 49



29900
4949

19800

例3. 计算：
11111
…

2232342345234…200
分析与解：
9

122

23(23)225
122

234(24)336
122


23 45(25)447
112

234…n
1
( n1)(n2)
(n2)(n1)
2
21
2
(n1) (n2)(n1)(n2)
11(n2)(n1)3

而
n1n2(n1)(n2)(n1)(n2)
1111
()
即
(n1)(n2)3n1n2
连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
111
…
223
23 4…200
1222
…
22536199202

12333
(…)
232536199202
111(…)
2325364758710199202


[(…)(…)]

23234519956 7202
1
[(…)(…)]
232345202
12111111
()
23234200201202
12996 699
)

(

23200201404
1334433

2100201202
430933
1
2 030100

【模拟试题】（答题时间：15分钟）
二. 尝试体验
11111
…

3343453456345 …20
111111
57911
2. 求和：
13

140
1. 求和：
10

3. 求和：
111

…
1234234517181920
11

【试题答案】

11111
…
1. 求和：


3343453456345…20
687836

841225
111111
2. 求和：
13

57911
140
3

36

20
111
3. 求和：
…
1234234517181920
1139

20520


12