爱提分计算第讲分数基本裂项
失恋昵称-汤一介
讲
计 算 第 0 4
_
- 分 数 基
本 裂
项
知识图谱
计算第04讲_分数基本裂项-一、基本裂项基本裂差（乘系数、分离整数）基本裂和
一：基本裂项
知识精讲
一•单位分数
单位分数是指分子为
1
的分数•每个分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和,
比如:
■-,-
•分数裂项
1 1_5+7
由：-:,
1 I _7-5
: 发现，结果的分母都是单位分数分母的乘积，分子一个是单
位分数分母的和，另一个是单位分数分母的差•那反过来，如果一个分数可以写成 ■■-
或
a-b
者—的形式，我们就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或差.
和”和“裂差”.
这个拆分过程叫做
“
裂
1
•裂和（有加有减）：
3
5
（
7
a+b
1 1
______ a. = _I. +
—
axb a b
9
2k+l
1
岚_而亠丽
_帝+…亠”刈无+】）=
1
一
（k
是奇数）
市
（k
是偶数）
b-a
1 1
_ = _ — 一
2
.裂差（符号相同）：一一 • 一 .
1x3 3x5
（k
是奇数）
三点剖析
重难点：分数裂项公式及基本应用.
题模精讲
题模一
？
基本裂差（乘系数、分离整数）
1
计算：
答案:
1 1
89x90 --------
--
+ --- + ------ 二
1x 2 2x3
解析:
：1 1 )
1 n T r -1 89
___ 二 _
二
1 _ _ — —
二]一
+…+
-
原式
I
】
2
丿
<2 3
丿
.89 90) 90 90 .
1
十
1
十—
1 _
2Tj*374*
=
________________
答案:
解析:
原式吕冷+]
-扌
.11
」
1 _2011
••…■'
2012 2013 2 2013 4026 .
1
18x20
1 1 1 -- — --- +
--- H 2x4 4x6
6x8
答案:
解析:
11111
原式二丄
T
1
1 1) 1119
==
H—
—? X ~ X — -
— + — + — — - +
18 20 J 2
20 2 40
4 4 6 6 8
° 。 r
右 ▲丄
r
厶
-- + ---- + --- + …+ -----
1x3 3x5 5x7 49x51
原式
=i-l=—
分数裂项； ■:匚
1 1 1 1
—+
---------- *•* -----
计算：(
i
)
1,1
1
1 -
；
(
2
)
二
X U 7
L
「二；
答案:
24
丄
(1
)二(
2
)
1 =-X
k
(2
)原式 -
亠
=
ri
II 13)(13 15
丄—丄
、
31
33
1
2
X
U1 33
1
33
解析:
(
1
)原式
满足下式的自然数
n
最小等于
_______________
答案:
(1 1)
斗
1 24
—
1-- + +—+ - . --
-1
一
U4
25]
1 2
丿
V 3 J
X 2
咛
仃
1) fl 1
〕
2016
解析:
1
左.十
1
2015 1
一
2015 1
，丹
21016
.
二]— 〉
___________________ < ] — ___ 二 _
2016
，故
W + 1 2016
_
2016
,
41 55 71
计算：(
1
)
I J
〔
10099
……；
-------- 1 --- … --------
2- + 4—-6—+ —
(
2
)】〕■一 二.
Sil
94—
Ci )
5
110-
〔一[
(2)
一
解析:
(1
—
「「
I,
……
，
11
上
1
；
:',
故原式
1 - :1
1— ----- 1 —
---- + …+
1 6x1 j
1 7x8
丿
■^―
( 1 )
1 -------------
(lOOxlOlJ
( n (1 1 Y
一 —
|
=1x(100-6 + 1)- +
f
J00
101
?
、
7)
(7 8
丿
1 ]
=95- -94
(6 101
?
606
<1
(2)
整数部分和为
_
__ __ …
110-
值为
1-
.
计算:
14
解析:
■-行 工
题模二
？
基本裂和
「忙
.(改自
2010
年
4
月
18
日考试真题)
5+6 6+7 7+8 8+9 9+10
计算：
5x6 6x7
7
K
E
S
X
9
9
X
10 ________________ .
解析:
将下面的分数拆成两个单位分数的和或者差（横线上填 “
+ ”或“一”）：
1 _ 1
6()
4
77 (
5_
1
6 ( 1
答案：
1 11_ 1
1 ( ) 28
?
()
1
()
?
2 _ 1 1
15 ()(
1
)()
1
?
I 1
1 1 _ 1
30
1
—(}
20 _ 1 1
99 (]——1
51 1 1
_1 1
6
,
11
6 2
1 11 1 1 2 _1
1 4 _ 1 1
3, 28 4 7, 15 3 5
,仆
7 11, 6
2 3, 30 5
20 1 1
99 9 111
解析:
11
两个自然数的倒数的和是」，这两个自然数中较小的是
答案:
解析:
11_3-8_ 1
1
-4 3x8
1 1 1
■^― ■
已知
3 d
B
,
A
、
B
是两个不同的正整数，
A
、
B
分别是
________________________ _
11
3 8
,所以这两个自然数中较小的是
3
.
7 13 19 25
_ _：
31 37 43
1_ 1
计算
: :： :: : : ：- r -
49 _
23x26 -
__________
答案:
1 1)(1 P
Z
1 1)
_
_i— + —|— - — + —
解析:
9 11 19 21
20*30*90*110
答案:
9 11
1 1 1
4x5
—
5x6
JL-
19 21 1 1
9x
10 10x11 4 5
9 10 10
——
2 1
—
3—
■4—I- 5—
(1)
3 15 35
63 99 ；
4 . 8 12 16 20 24
8--1 '+6 3
(2)
3 15 35
5
63
+ 4
99 143
解析:
答案:
5 12
原
1
(1)
15-
11
(2)
3—
13
1
5*6
解析：
式
计算
(1)
:
f
1 1 1 1 1
、
原式
R1+2 + 3+4+51+ ——+ ——+ ------ -
--- + -----
'
7
(1x3 3x5 5x7 7x9
9
天
11
丿
5
= 15-
(n
1
1--
nJ
415
二
11
.
.7 20
丿
(20 23
丿
(23
26
丿
1111?
LI.
厂匸咽.
(2)
原式
=（8-7
十
6-24-3）+
fl+3
3+5
5 + 7 7+9 9 + 11
、
1x3
3^5
(
15
13 11 9
1
1)
-- -- --- --- -- --- -- --- -- - --
(56 42 30 20 12 3
丿
答案:
壬丄
x91^-=
计算
:
解析:
原
f7-8 6+7
5-6
4-5 3 + 4 1
丄
xg J
6x7 5x(5 4x5
〃斗
0
式
7x S
M
p
h
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1]
U*8
_
6^7
+
5*fi
_
4'5*V4
_
3j
22
丄叫
9
=t
8 22 S 22
1
387x —+388X —+ ———
388 389 388x389
（改自
2011
年
2
月
答案:
777
解析:
= 387x
r 1 >
1
1 1 1
1- +388x 1-
388+389
原式
I
388
丿
<
389J 388x389
= 387+388-2 = 7^7
随堂练习
随练1.1、
1
1 1 - + ---- +
--- + 1x2 2x3 3x4
9x10
11+13
、
11x13 >
8
日考试真题）
解析:
rs
峠,
1 1 1 1 1 11,1 9
—
丿尿
— 1 — + — ~ — — — ■ — + ■■■-«■ — —
— — 1 ————
2 2 3 3 4 9 10 10 10.
随练1.2、
11111 1
--- + ------- +「 ・ + ---- + ■ ■
+ 蠱暑 * +
1
计算：(
1) : ■ ? ［…］
一］;
7
(2… J
.
答案:
7 7
JH
7
JH-
7
&
100 100
(1) 11)1 (2)
101
解析:
E
.
f
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 100
(
1
「［… 二;
(
2
)
随练1.3、
(=.11111 1 1 1 100
==
I
冗 式二
1 ------ 1 ----- 1 ---------- • • ■ -
1
3 3 $$ § 7 99 101 101 101
.
111111
--------------- 1
--------------------------------
计算：「二-J 〔二.
答案:
解析:
1 1 1
* 1 f
原式
4x5
随练
1.4、
5x6 9x10
fl 1) fl r 1 1 3
+ = =
+…+
—
(4
5 J
15 6
丿
10J 4
10 20
1 1 1 1
-------- 1 ----------
1
------ 1
-
...4- ---
二
1x4 4 x 7
7x10 4 0 x 43 ______
.
原式二匕
C 1 1
分数裂项；
随练
1.5、
3
14 4
=
1 1 1?
（
n
1 14
——+…+—-—
—
1 —-—
X-=—
7 40 431 43 3 43 •
J
丿
[[… 1 _
2013x2014 ____________
答案：
解析：
rxn-j 1 1 I 1 1 . 1
2013
随练1.6、
1
十
1
亠—
1 _
2Tj*374*
=
答案:
_
解析:
随练1.7、
1 1 1 1
--- +
11
+ 1 + --------
1x3 3x5 5x7 …23x25
随练1.8、
1 1 1 1
+
计算：-
f f
:二
答案:
1 + 1
+ 也
1
亠二.（务必写出裂项的过程）
解析:
8-5 11-8 _
-------- + --------
50 — 47
5x8 8x11
+…+
47；
辽
1
———4-——
一一
— —
U 5 5 8 8
11
<11111
1
f 1 ri
4
卡
3
二一
-一-
■
4-3 =
47
50
j
50
J
25
7 13 21
—+ — H --- 1
6 12 20
答案:
56
.（改自
2013
年
8
月
17
日考试真题）
解析:
原式
』
y)+(
1 P
h
_
3j
+」】 +丄
7x8
J
L
fl l)d
】
1
U A
）
匕
17 19
Sx9 9x10
=4
_
6+
i L
8
丄
2 8
随练1.10、
-（结果若为带分数，请化为假分数）
答案:
解析:
1 1
1
1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 4 5
随练1.11、
U
1 11
10 10 .
5 7
计算：匚一-一二
答案:
9 11 21
二.
------------ 1 -------------- *・・ --------
解析:
10 + 11
10x11
随练1.12、
(1
「
1
H ----- F. ------- 1 ---- ,
10
11J
1 13
'1 11~22
在方框中填入适当的一位数，使等式成立.
丄=丄丄
2
—丄
i n
_丄丄
(1 )
--;(2)
二
H
；
（ 3）
二［匚
1 1 1 _
S 9 9
10
(1
)
5
,
6
(
2
)
5
,
7
(
3
)
4
,
7
解析:
1 _
1 ,1 1
(1
) _ 一 .一 一；
2 2 11
(2)…
；
11 4+7 1 1
L
丄
12*20
随练1.13、
1? 19
72*90
-（结果若为带分数，请化为假分数）
答案:
解析:
阱
4
卜
课后作业
作业1、
17
19
1111
8x9 9x10 3 4 4 5
1111
1 1 13
S 9 9 10J 3 10 30 .
1111 一 + 一
+
2 6
12 20
1
计算:
作业2、
1x3
d -----
3x5 5x7
1
-H
----------
97x99
作业3、
7
---- 1
---------- 1 --------- 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6
1
1 1 1
---
----
1 ------- +
(2
)
F 1x4
4x7 7x10
10x13
作业4、
计算:
28x31
1111
------------ 1 ------------
计算:
1x3
3x5 5x7 7x9
--- 1 ------------------- + …
------
（
2 :
：
:- :-
.
作业5、
11 13 15 17 19
---------- 1 ---------- 1_ ---
计算
1 .
作业6、
5 _
了 _
g _ 11 _ 19 —
作业7、
计算：「二「「
4 S
丽一
ITT
帚〜药
T……
—面
T
丽（结果若为带分数，请化为假分数）
_16
20 24 _ 28 32 36
I
…一…
1
一 =
_____________________________
:
12