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2021年1月3日发(作者：蓝亦农)

分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可 以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行 一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通 项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆 分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母 ，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可 以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即< br>ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n 1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)

< p>
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可 为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。


11111
【例 1】

。
1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

【解析】 原式

< br>







12
 
23


11

115







56

166
例题精讲
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：
1111
，计算过程就要变为： < br>
13355779
1111

11

1





．
13355779

19

2
5
【答案】
6

111
【巩固】
......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】
12

2222
【巩固】


109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】 原式
2



2< br>




4534

91089

310

15
7
【答案】
15

1111
【例 2】



11212312100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和 公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从 第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112

代入有

，，……，
1
(11)1
1212
(12)2< br>23
22
2222120099
原式


 2(1)1
1223341001
99
【答案】
1

101
1111
【例 3】


13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
0
【解析】

(1…）< br>13355799101
50
【答案】
101

11

1

【巩固】 计算：
25

133557


1




2325

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，六年级
1

111
【解析】 原式
25

1 
2

335

11

1

1< br>
2524


25

1


12

2325

2

25
< br>225
【答案】
12


2551
【巩固】


4881212162000200420042008< br>【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式



251

111



16

122334

11




5005 01501502

251

11111


1 
16

22334
25150150121
1 5

165023232
21
【答案】
15

32


11




501502


3245671


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
【解析】 原式


25577229292
1
【答案】
2

11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【关键词】101中学
1111
【解析】 原式
（）128

2446681618
1111111

（）128

224461618
11

（）64

218
4

28

9
4
【答案】
28

9
11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
11111111


6122
11111111
23344556677889910

112
==
2105
2
【答案】
5

111111
【巩固】
1

3610152128
【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 原式
1

1
111

121 231234

1

1234567
222


233478
11

11111

2




78

22334

1

7

2

1




8

4
7
【答案】
4

111111111
＝

26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 原式

111111111
()

22334 4556677889910
11111
(
22334
111
()

2210
1
10


11
)

910



【答案】

1

10
11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式



25588 1111141417
1

1111111111






3

25588111114 1417

1

11

5






3

217

34
5< br>【答案】
34

1111


1353 57579200120032005
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【例 5】 计算：
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】 原式

1

11

11




4
13353557



11







200120032003 2005


1

11

1004003





4

132003 2005

12048045
1004003
【答案】
12048045

7
4.50.16
11

11
18
【例 6】






1133.753.2

3153563

3
【考点】分数裂 项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】仁华学校

79161

111< br>
1
18290
【解析】 原式





1
1335577 9

1331.2540.8

3
71

46

1


1
1

1
1

1

1



1
233579

1312
3
4631823
 =

2442936
23
【答案】
36

11111
【例 7】 计算：
123420

261220420
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
11

111
2 0






420

261220
11111

210 
122334452021
1111111
2101 

223342021
120
2101210

2121
20
【答案】
210

21

11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式


123
【关键词】学而思杯，6年级，1试
11111


366991212151518
1

111111


20105




9

122356

5

10050

54
【解析】 原式
20082009201 020112012
【答案】
10050


5

54
11224

____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】原式



1325375117


26153577
111111111


2233557711

1
【答案】

110


1111
10

11
1111111
【巩固】 计算：



3195
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现 它们可以表示为：
32
2
113
，
154
2135
，……，
19514
2
11315
，
1111111
所以原式



13355 77991111131315
1

11

1

11

1

11













2

13

2

35

2

1315

1

11

7






2

115

15
7
【答案】
15

19899
【巩固】 计算：

．
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】四中
1

1

1

1

【解析】 原式


1



1



1



1



2

6

12< br>
9900

11

1

99




122399100

11

111
99

1


99 100

223
1

99

1



100

98
【答案】
98
1

100
1

100

111
【例 8】

123234789
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 首先分析出
原式



n1



n1

11

11





n1nnn 1

n1

n

n1

2

n1

n

n1

2



1

11

11







2


1223

2334

1

11


1







6778

7889


1
11





2

1 289


35

144
【答案】
35

144

111


1232349899100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】 原式
()

21223233434989999100
9

()
212991
4949
【答案】
19800

1111
【巩固】 计算：


135246357202224
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
1
1
【解析】 原式＝＋＋…+++…+
135357192123
246
20 2224
1111
11
＝(－)＋(－)
41321234
242224
40
652816010465
＝＋＝＋
483
211234
38625
＝
340032
38625
【答案】
340032

4444
【巩固】

......
13535 7939597959799
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】
()()......()()

133535579395959795979799
113200


1397999603
3200
【答案】
9603

9998971
【巩固】


12323434599100101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
991001100
1
100
1
【解析】 ＝＝－＝－
123123123
23
123
23
9810021 002100
1
＝＝－＝－
23423423423423 4
34
9710031003100
1
＝＝－＝－
……
345345345345345
45
110099100 99100
1
＝＝－＝－
991001019910010199100 1019910010199100101
100101
111
原式...(...)

12323434599100 1012334100101
1111151

100()() 24
221
51
【答案】
24

101
【巩固】 计算：

11111


12 3423453456678978910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【例 9】
1

111111

【解析】 原式





3

12 32342343457898910

1

11< br>
119






3

1238910

2160
119
【答案】
2160

333
【巩固】

......
1234234517181920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111111
【解析】 原式
3[(...)]

31232342343 45171819181920
113192011139

 
1231819201819206840
1139
【答案】
6840

5719
【例 10】 计算：

．
1232348910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那 么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2 ．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为n
的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以
先把原式中每一项的 分子都分成3与另一个的和再进行计算．
3234316
原式

< br>
1232348910
112

1
< br>1
3



2

12 32348910123234


8

< br>
8910


1



9 10

1

111111

1

1
3

2

2

122 3233489910

2334
3

11

11

1111




2< br>



2

12910

910

2334

3

11

711
23

11





2








2

290

4605
15

210
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
2n3
，所以< br>2n3232
，再将每一项的与

n

n1



n2

n1



n2

n

n1



n2
n1



n2

3
分别加 在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
n

n1



n2

【答案】
23

15

571719

）
234345891091011
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：
1155（

【关键词】迎春杯，初赛，五年级
【解析】 本 题的重点在于计算括号内的算式：
571719
．这个算式不同

2 34345891091011
于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等 差数列，而非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转 化成我们熟悉的形式．
观察可知
523
，
734
，……即 每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
571719


234345891091011
2334910


23434591011
111111




342445351011911
1 1

111

1







344510112435911
< br>11

1

111111

1111






1011

2

243546

3445

11

1

1111

81

28

31








 






311

2< br>
210311

332

533

55< br>31
所以原式
1155651
．
55
（法二）
1111




810911

上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的
通项公式 为
and
，其中
d
为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开，每一项都
变成两个分数，接下来就可以裂项了．
571719


234345891091011
122132182192


23434 5891091011
122132182192

 
2342343453458910891091011910 11
111222

1

2


 




23434589109 101134459101011



1
1111



2

23343445

11

1111
2


9101011

3445

11




1011

1

11

11





2



2

231011

311

11223413 1

，
1222
31
所以原式
1155651
．
55
（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
571719


234345891091011
5

11

7

11

17
11

19

11






2

2334
2

3445

2

89910< br>
2

9101011


5111

75

97










223

22

3 4

22

45
1191

1917








22
< br>91021011

51111191

< br>223344591021011
5111931

1231022055
31
所以原式
1155651
．
55
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
2n1
（
n2
，3，……，9）
a
n
n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就 是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，就是上面的法一．
【答案】
651


34512

12452356346710111314
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算：
【解析】 观察可知 原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先
将每一项的分子、 分母都乘以分子中的数．即：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



123452345 6345671011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行 分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：
3
2
1 54
，
4
2
264
，
5
2
3 74
……
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



123452345634 5671011121314
15426437410144


1234523456345671011121 314
111

1




< br>111213

234345456

4444< br>




1011121314

123452345634567
1

111 111





2

2 334344511121213


111111





1011121311121314

1234234523453456
1

1 1

11






 

2

231213

12341112 1314

11111771111175


122121324111213148111213148211148308 616
75

616

12349
【例 11】



223234234523410
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
12349
【解析】 原式



223234234523410< br>213141101


22323423410
1111111

1
2223232342349234910
【答 案】

1
【答案】
1
234910
3628799

3628800
3628799

3628800

123456
【例 12】
121231234123451234561234567
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
13141516171
【解析】 原式



12123123412345123456123456 7
111111


12121231231 2341234567
111


12121234567
15039

1
50405040
5039
【答案】
5040

2399
【巩固】 计算：

.
3!4!100!
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
2399
原式



123123412 3100
31411001


1231234123100
111111
< br>
12123123123412399123 100
1111


121231002100!
11
【答案】


2100!

23450
【例 13】

1(12)(12)(123)(123)(12 34)(12349)(1250)
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
3
4550
【解析】 原式＝＋＋＋＋…＋
13
3 6
610101512251275
11
11111
11274
＝（

）＋（

）＋（

）＋（）＝

366101225
1275131275
1274
【答案】
1275

234100
【巩固】

1(12 )(12)(123)(123)(1234)(1299)(12
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
311
211

【解析】 ，，……，

(12) (123)12123
1(12)112
100)

10011
，所以

(1299)(12 100)129912100
1
原式
1

12100
15049

1
50505050
5049
【答案】
5050

2310
【巩固】

1
1（12）(12)(1 23)(1239)(12310)
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
23410
【解析】 原式
1()

13366104555
11
 
11111
1

1


4555

336610
1

1

< br>1

1



55

55< br>1
【答案】
55

111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题 是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab)
，
111111
原式
()()()()()()
< br>24466881010121214
11
() 

24466881
1113
()

214214
3
【答案】
14

111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
)

23454849
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111311124
【解析】 1
2
(1)(1)
，
1
2
(1) (1)
，……所以，
2222233333
25
原式



2233494924949
25
【答案】
49

35715
【巩固】 计算：
22

22

22

22

12233478
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
【解析】 原式

22
< br>22

22

122334
8
2
7
2

22

78

1
1111 1

2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
1
63

1
2

8
64

11


7
2
8
2
【答案】
63

64

3
2
15
2
17
2
11993
2< br>11995
2
1
【巩固】 计算：
2

2

2

．
22
3151711993119951
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2

2

2

【解析】 原式
< br>
1
2



1
2



1
2


315171

22

2

997




19941996

2446
11

111 1
997




24461994199 6

1

997

1

997


997
21996
1996

99 7
【答案】
997

1996

22


1



1


2 2
1993119951

1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
98
2< br>100
2
【巩固】 计算：
2

2

2

．
21314199
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
2
3
2
102
2
4
2
203
2
5
2
34104
204344
【解析】
2
，
2

，< br>2

，……由于
2
，
2
，
2
，
2133184115
881515
33
4444
可见 原式
2
2

2
2
2
2
2
2
213141991
111

1

298 4




98100

132 435
1

11111
1964

1 
2

32435
1

11
1962< br>
1


299100

199

19632
9900
4751

198
4950

11




98100

【答案】
198

4751

4950
1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算：

．
13355799101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根 据平方差公式分别变为
2
2
1
，
4
2
1
，
6
2
1
，……，
100
2
1
，可 以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，
所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后 除以4就得到原式的值了．
1

2
2
4
2
62

原式


2
4

214
2
16
2
1
100
2




100
2
1






1

111


1
2
1
2
1
2

4

214161
1

111


50
4

133 557

1
1



100
2
1

1



99101


11





99101



11

11111


50

1
4

2
< br>33557
11

1


15063
< br>
50

1

12


 50
4

2

101


410110 1
【答案】
12

63

101
56677889910
【例 15】

56677889910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
5667788991
【解析】
()...()

56677889910
3
【答案】
10

365791113
【巩固】



57612203042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】 原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4


9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
21
【解析】 原式

111115

3457845373857
【答案】
5



【巩固】



3571220283042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
13
【解析】 原式


3573445475667
3

1111

212

313

111

















3

4

3366

555
777

444

3
【答案】
3

4

3827
【巩固】



2330123124
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式
11111

11

11

11
11

11






















23303141

317

717

430

341
< br>431

1111111
1

2

2337434
7
1
【答案】
2

7



3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>




【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


579111315
3


71

8
【解析】 原式




8


6122030 4256



1111






2334

11

11


7

8

78

8

1 1

11





788
8

28

211110

【答案】
10


5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
23344556677889910
【解析】 原式
1


23344556677889 910
11111
1()()()()()()()( )

23344556677889910
113

1

2105
3
【答案】
5

11798175
【巩固】


451220153012
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
【解析】 原式


453445355646
1111

2452
3

3456
【答案】
3


1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
【例 16】


122318191920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
92021919
【解析】 原式
...

21736
2191202 0
19
【答案】
36

20

【巩固】
(......)(......)

12007220062 0062200712008120062200520061
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
2
【解析】 原式=
(...)(...)

200812007220062 007120081200620061
2
=
(...)(... )

200812007220062007120081200620061< br>1220072007
=
(...)(...)

20 0812007220062007120081200620061

=
 [(...)(...)]

26261

=
[(...)(...)]

26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】
2015028

111111
【例 17】 计算：


23459899515299
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
1

11

11
【解析】 原式






98
35

24
1

11

11








50
< br>35

24

11





24

11





24

11





24

11




24






1

11





99

5152

1



99


1



98

1

1

1
2

49
< br>5254
1

11


49
< br>2627




1

11




50

35
1

11




24

35
1
< br>11




24

35
1
11




12

351



49


1

1



48

50
1

1

1

2


25

2628

1

11




25

1314
1

11
2


11

1 416

1

1



24

50

1

11

< br>
24

5025
1

111

111

11

11
















2402 5

1

111

11

111

1





< br>



2





24635810125025

1

111

11

111

1










< br>



246

35

4 56

5025
1149

1


502550
49
【答案】
50

24612
【例 18】 计算：


335357357911
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 原式

315 171

335357

131

35 791113

111

1

1



1




33535 7911335

1

1

35791113

1



35791113



【答案】

135134

135135
135134

135135

2
3
2
8
2
4



1719

135357

2
11




171921

122
2

【例 19】 计算：
133557
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
2
3
2
4
【解析】

1 35357
224

133557
2
11
2244

17192113353557
2
8< br>2
9


17191921

22
8
24



1719

13355 7
2
9
2
9


17191921
12

所以原式

1335
2
8
2
9




17191921

2
9
1512133379




192113399399
379
【答案】
399

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