数列经典例题(裂项相消法).
三张纸打一字-黄花岗七十二烈士墓
数列裂项相消求和的典型题型
1.已知等差数列
{a
n
}的前n项和为
S
n
,a
5
5,S
5
15,
则数列
{
1009999101
A. B. C. D.
1
2.数列
a
n
为( )
A.-10
B.-9 C.10 D.9
1
}
的前100项和为( )
an
a
n1
9
1
,
其前
n
项之和为<
br>,
则在平面直角坐标系中,直线
(n1)xyn0
在y轴上的截距10
n(n1)
2
3.等比数列
{a
n
}
的
各项均为正数,且
2a
1
3a
2
1,a
3
9
a
2
a
6
.
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
n
,
求数列
{
24.正项数列
{a
n
}
满足
a
n
(2n1
)a
n
2n0
.
1
}
的前
n
项和.
b
n
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
;
(Ⅱ)令
b
n
1
,
求数
列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
(n1)a
n
5.设等差数列
{a
n
}
的前n
项和为
S
n
,且
S
4
4S
2,a
2n
2a
n
1
.
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)设数列
{b
n
}
满足
b
b
1
b
2
1<
br>
n
1
n
,nN
*
,
求
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
a
1
a
2
a
n
2
6.已知等差数列
{a<
br>n
}
满足:
a
3
7,a
5
a
7
26
.
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
(Ⅰ)求
a
n
及
S
n
;
(Ⅱ)令
b
n
1
*
(nN),
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2
a
n
1
1
2
)a
n
. n
7.在数列
{a
n
}
中
,a
1
1
,2a
n1
(1
(Ⅰ)求
{a
n
}
的通项公
式;
(Ⅱ)令
b
n
a
n1
1
a<
br>n
,
求数列
{b
n
}
的前
n
项和<
br>S
n
;
2
(Ⅲ)求数列
{a
n}
的前
n
项和
T
n
.
8.已知等差数列
{a
n
}
的前3项和为6,前8项和为﹣4.
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
(4a
n
)q
n1
(q0,nN
*<
br>),
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
9.已知数列
{a
n
}
满足
a1
0,a
2
2,
且对
m,nN
*
都有
a
2m1
a
2n1
2a
mn1
2(
mn)
2
.
(Ⅰ)求
a
3
,a
5
;
(Ⅱ)设
b
n
a
2n1
a
2n1
(nN
*
),
证明:
{b
n
}
是等差数列; <
br>(Ⅲ)设
c
n
(a
n1
a
n
)qn1
(q0,nN
*
),
求数列
{c
n
}
的前
n
项和
S
n
.
10.已知数列
{
a
n
}
是一个公差大于0的等差数列,且满足
a
3
a
6
55,a
2
a
7
16
.
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)数列
{a
n
}
和数列
{b
n
}
满足等式
an
b
b
1
b
2
b
3
*
2
3
n
(nN),
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
n
2
222
11.已知等差数列
{a
n
}
的公差为
2,前
n
项和为
S
n
,且
S
1
,S
2
,S
4
成等比数列.
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(2)令
b
2
(1)
n1
4n
,
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
a
na
n1
2
12.正项数列
{a
n
}
的前n项
和
S
n
满足:
S
n
(n
2
n1)S
n
(n
2
n)0
.
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
;
(2)令
b
n
5
n1
*
T
数列的前n项和为,证明:对于都有.
,
{b}T
nN,
n
n
n
2
64
(n2)
2
a
n
答案:
1.A;2.B
3.解:(Ⅰ)设数列{a
n
}的公比为q,由a
3
=9a
2
a
6
有a
3
=9a
4
,∴q=.
由条件可知各项均为正数,故q=.
由2a
1
+3a
2
=1有2a
1
+3a
1
q=1,∴a
1
=. <
br>故数列{a
n
}的通项式为a
n
=
(Ⅱ)b
n
=+
.
=﹣(1+2+…+n)=﹣,
2222
+…+
故
则
=﹣
++…+
=﹣2(﹣)
)]=﹣,
=﹣2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣
. ∴数列{}的前n项和为﹣
4.解:(Ⅰ)由正项数
列{a
n
}满足:
可有(a
n
﹣2n)(a
n
+1
)=0
∴a
n
=2n.
(Ⅱ)∵a
n
=2n,b
n
=,
﹣(2n﹣1)a
n
﹣2n=0,
∴b
n
===,
T
n
=
数列{b
n
}的前n项和T
n
为.
==.
5.解:(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,由S
4
=4S
2
,a
2n
=2a
n<
br>+1有:
,
解有a
1
=1,d=2.
*
∴a
n
=2n﹣1,n∈N.
(Ⅱ)由已知++…+=1﹣,n∈N,有:
*
当n=1时,=,
当n≥2时,=(1﹣)﹣(1﹣)=,∴,n=1时符合.
∴=,n∈N
*
*
由(Ⅰ)知,a
n
=2n﹣1,n∈N.
∴b
n
=,n∈N.
*
又T
n
=+++…+,
∴T
n
=++…++,
两式相减有:T
n
=+(
∴T
n
=3﹣.
++…+)﹣=﹣﹣
6.解:(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的公差为d,
∵a
3
=7,a
5
+a
7
=26,
∴有,
解有a
1
=3,d=2,
∴a
n
=3+2(n﹣1)=2n+1;
S
n
==n+2n;
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a
n
=2n+1,
∴b
n
====,
∴T
n
=
即数列{b
n
}的前n项和T
n
=.
==,
7.解:(Ⅰ)由条件有,又n=1时,,
故数列构成首项为1,公式为的等比数列.∴,即.
(Ⅱ)由
两式相减,有:
(Ⅲ)由
有,
,∴
有
.
,
.
∴T
n
=2S
n
+2a
1
﹣2a
n+1
=
8.解:(Ⅰ)设{a
n
}的公差为d,
由已知有
解有a
1
=3,d=﹣1
.
故a
n
=3+(n﹣1)(﹣1)=4﹣n;
n
﹣
1
(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有,b
n
=n•q,于是 <
br>012n
﹣
1
S
n
=1•q+2•q+3•q+…+n•q.
若q≠1,将上式两边同乘以q,有
123n
qS
n
=1•q+2•q+3•q+…+n•q.
上面两式相减,有
(q﹣1)S
n
=nq﹣(1+q+q+…+q
n2n
﹣
1
)=nq﹣
n
于是S
n
=
若q=1,则S
n
=1+2+3+…+n=
∴,S
n
=.
9.解:(Ⅰ)由题意,令m=2,n=1,可有a
3
=2a
2
﹣a
1
+2=6
再令m=3,n=1,可有a
5
=2a
3﹣a
1
+8=20
*
(Ⅱ)当n∈N时,由已知(以n+2代替m)可
有a
2n+3
+a
2n
﹣
1
=2a
2n+1
+8
于是[a
2
(
n+1
)
+1
﹣a
2
(
n+1
)﹣
1
]﹣(a
2n+1
﹣a
2n
﹣
1
)=8
即b
n+1
﹣b
n
=8
∴{b
n
}是公差为8的等差数列
(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)解答可知{b<
br>n
}是首项为b
1
=a
3
﹣a
1
=6,公差
为8的等差数列
则b
n
=8n﹣2,即a
2n+1
﹣a
2
n
﹣
1
=8n﹣2
另由已知(令m=1)可有
a
n
=﹣(n﹣1).
2
∴a
n+1
﹣a
n
=
n
﹣
1
﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是c
n
=2nq.
当q=1时,S
n
=2+4+6++2n=n(n+1)
012n
﹣
1
当q≠1时,S
n
=2•q+4•q+6•q+…+2n•q.
两边同乘以q,可有
123n
qS
n
=2•q+4•q+6•q+…+2n•q.
上述两式相减,有
(1﹣q)S
n
=2(1+q+q+…+q
2n
﹣
1
)﹣2nq=2•
n
﹣2nq=2•
n
∴S
n
=2•
综上所述,S
n
=
10.解:(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的公差为d,
则依题意可知d>0由a
2
+a
7
=16,
有,2a
1
+7d=16①
由a
3
a
6
=55,有(a
1
+2d)(a
1
+5d)=55②
由①②联立方
程求,有d=2,a
1
=1d=﹣2,a
1
=
∴a
n
=1+(n﹣1)•2=2n﹣1
(Ⅱ)令c
n
=,则有a
n
=
c
1
+c
2
+…+c
n
(排除)
.
a
n+1
=c
1
+c
2
+…+c
n+1<
br>
两式相减,有
a
n+1
﹣a
n
=c
n+
1
,由(1)有a
1
=1,a
n+1
﹣a
n
=2
∴c
n+1
=2,即c
n
=2(n≥2),
即当n≥2时,
n+1
b
n
=2,又当n=1时,b
1<
br>=2a
1
=2
∴b
n
=
34n+1
于是
S
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=2+2+2+…2
.
=2
n+2
﹣6,n≥2,
2×1
11.解 (1)因为S
1
=a
1
,S
2<
br>=2a
1
+×2=2a
1
+2,
2
4×3
S
4
=4a
1
+×2=4a
1
+12,
2
由题意得(2a
1
+2)
2
=a
1
(4a
1+12),解得a
1
=1,
所以a
n
=2n-1.
(2)b
n
=(-1)
n
-
1
4n4n11
--<
br>=(-1)
n1
=(-1)
n1
(+).
a
na
n
+
1
2n-12n+12n-12n+1
当n为偶
数时,
111111112n
T
n
=(1+)-(+)+…+(+)-(+
)=1-=.
335
2n-32n-12n-12n+12n+12n+1
当n为奇数时,
2n+2
11111111
T
n
=(1+)-(+)+…-(+)+(+)
=1+=.
335
2n-32n-12n-12n+12n+12n+1
2n+2
2n+1
,n为奇数,
所以T=
2n
2n+1
,n为偶数.
n
2n+1+-1
n1
(或T
n
=)
2n+1
-
22
12.(1)解
由S
2
n
-(n+n-1)S
n
-(n+n)=0,
得[S
n
-(n
2
+n)](S
n
+1)=0,
由于{a
n
}是正项数列,所以S
n
+1>0.
所以S
n
=n
2
+n(n∈N
*
).
n
≥2时,a
n
=S
n
-S
n
-
1
=2n,
n=1时,a
1
=S
1
=2适合上式.
∴a
n
=2n(n∈N
*
).
1
n+
1n+1
1
1
-
2
(2)证明 由a
n
=2n(n∈N
*
)得b
n
===
2
22
16
n
n+2
n+2
2
a
2
n
4nn+2
11111
1
1-
2
+
2
-
2
+
2
-
2
+…T
n
=
16
3
24
35
=
1
1
11
--
2
+
n-1
2
n+1
2
+
n
n+2
2
111
1
1
51
*
1+
2
-
1+
2
=
2
-
2
<(n∈N).
2
n+1n+2
16
2<
br>
6416
5
*
即对于任意的
n
∈N,都
有
T
n
<.
64