才者-英语作文例文

裂项相消和放缩法解数列专题
数列专题3
一、裂项求和法
裂项法 的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的
目的.
通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：
数列。
常用裂项形式有：

1
，
{a
n
}
是< br>d0
的等差
a
n

a
n1
111
(2n)
2
111
1111
；

()
；
1()
；
n(nk)knnk
n( n1)nn1
(2n1)(2n1)22n12n1
1111
[]< br>；
n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
11
(a b)
；
ab
ab
111
(nkn)
特别地：
n1n

k
nknn1n
二、用放缩法证明数列中的不等式
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。
1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：
①

a
i1
n
i
k
（
k
为常数）；②< br>
a
i
f(n)
；③

a
i
f (n)
；④

a
i
k
（
k
为常数）.
i1
i1
i1
n
n
n
放缩目标模型→可求和 （积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型
2.几种常见的放缩方法
（1）添加或舍去一些项，如：
a1a
；
n(n1)n

（2）将分子或分母放大（或缩小）
2
11111111

； （程度大）
22
n(n1)n1nn(n1)nn1
nn
111111
()
( n2)
（程度小） ②
2

2
nn1
(n1)(n 1)2n1n1
1111111n
③




1

n1n2n32nn1n1n1n1
11111 11n1
或






n1n2n32n2n2n2n2n2
111111n
n
④
1
23nnnnn

14411
⑤平方型：
2
2()
；
22
2n12n1
n4n4n1
111111
()

(2 n1)
2
4n
2
4n
4n(n1)4n1n
111 11
[]
(n2)
⑥立方型：
3

2
nn (n1)
2(n1)nn(n1)
1111
(ab1)(ab1)
⑦指数型：
n
；
nn1nn1
aba(ab)aba (ab)
11

⑧
k1k
；
k1k2kn(n1)lg3lg5
2
⑨利用基本不等式，
n(n1)
， 如：
log3lg5()lg15lg16lg4

22
①
1 18

裂项相消和放缩法解数列专题

（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列
例如：（1）求证：








（2）求证：







（3）求证：






总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若
一般要先将通 项
a
n
放缩后再求和.
问题是将通项
a
n
放缩 为可以求和且“不大不小”的什么样的
b
n
才行呢？其实，能求和的常见数列模
型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，
b
n
大多是等比模
型或裂项相消模型.
（1）先求和再放缩
2*
例1.设各项均为正数的数列{
a
n}的前
n
项和为
S
n
，满足4
S
n
＝
a
n
＋1
－4
n
－1，
n
∈N，且
a
2
，
a
5
，
a
14
构成等比
数列．
(1)证明：
a
2

1111

2

3

n
1(nN
*
)
.
2
222
1111

2

3



n
1(nN
*
)
.
21
21212 1
123n

2

3



n< br>2(nN
*
)
.
21
22232n

a
可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，
i
i1
n< br>4a
1
5
；
11

a
1
a< br>2
a
2
a
3

11

.
a
n
a
n1
2
(2)求数列{
a
n
}的 通项公式；
(3)证明：对一切正整数
n
，有










2 18

裂项相消和放缩法解数列专题

（2）先放缩再求和
例如：求证：
1












111
*
2(nN)
.
222
23n4
x
11
*
例如：函数
f(x)
，求证：
f (1)f(2)

f(n)n(nN)
.
x
n1
14
2
2














例2.设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足
（1）求a
1
的值；
（2）求数列{a
n
}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有















n
nn
总结：一般地，形如
a
n
ab
或
a
n
ab
（这里
ab1
）的数列，在证明
，且a
1
，a
2
+5，a
3
成等差数列．
．
111

k
a
1
a
2
a
n
3 18

裂项相消和放缩法解数列专题
（
k
为常数）时 都可以提取出
a
n
利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.
练习： < br>1.设数列
{a
n
}
满足
a
n
0
，
a
1
1
，
a
n
(12n)a
n< br>a
n1
a
n1
(n2)
，数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
n
S
n
2
；
n1
6n5
S
n

？说明理由. （3）试探究：当< br>n2
时，是否有
(n1)(2n1)3
（2）求证：当
n2< br>时，


















（3）形如

a
i1
n
i
f(n)

例如：设
S
n
1223

n(n1)
，求证：








n (n1)n(n2)
S
n

(
nN
*
)< br>.
22
aba
2
b
2
根据所证不等式的结构特 征来选取所需要的不等式，不等式关系：
ab
11
22

a b
ab
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
ab 
，若放缩成
2
2
n
(n1)(n3)(n1)
< br>，就放过“度”了。
n(n1)n1
，则得
S
n
< br>
k
i
1
22
i1
2
总结：形如
a
i1
n
i
f(n)
的数列不等式证明： *
设
S
n
和
T
n
分别为数列
{an
}
和
{b
n
}
的前
n
项和，若a
n
b
n
(nN)
，利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有
S
n
T
n
.要证明不等式

a
i1
n
i
f(n)
，如果记
T
n
 f(n)
看作是数列
{b
n
}
的前
n
项和，则b
n
T
n
T
n1
(n2)
，
b
1
T
1
，那么只要证其通项满足
a
n
bn
即可.
4 18

裂项相消和放缩法解数列专题
（二）放缩目标模型—可求积
放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似， 只不过放缩后的
b
n
是可求积的模型，能求
n
C
n1C
积的常见的数列模型是
b
n

（分式型），累乘后约简为
b
i

n1
.
C
n
C
1
i1
bbmbbm
姐妹不等式：
(ba0，m0)
和
(ab0，m0)

aamaam
记忆口诀：“小者小，大者 大”，（解释：看
b
，若
b
小，则不等号是小于号，反之）。
1352n11
(nN
*
)
. 例如：求证：

2462n2n1









例如：求证：
(11)(1)(1)

(1







总结：形如
1
3
1
5
1
)2n1
。
2n1

a
i1
n
i
f(n)
的数 列不等式证明：设
A
n
和
B
n
分别为数列
{an
}
和
{b
n
}
的前
n
项积，若n
0a
n
b
n
，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本 性质，则有
A
n
B
n
.要证明不等式

a
i
f(n)
，
i1
如果记
B
n
f(n)< br>看作是数列
{b
n
}
的前
n
项积，则
bn

B
n
(n2)
，
b
1
B1
，那么只要证其通项满足
B
n1
0a
n
bn
即可.
例3.已知数列
{a
n
}
满足
a< br>1

（1）求证：
{
a
n
2
2
( nN
*
)
. ，
a
n1

2a
n3
3
1
}
是等差数列，并求出
{a
n
}的通项
a
n
；
a
n
1
1
*
（2）证明：对于
nN
，
a
1

a
2

a
3



a
n

.
n1










5 18

裂项相消和放缩法解数列专题
（二）添加或舍去一些正项（或负项）
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式 中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证
明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一 边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证
明的目的。
n*
例如：已知
a
n
21(nN)
，求证：
a
n1
a
1
a
2



n
(nN
*
).
23a
2
a
3
a
n1








例4.已知数列
{a
n
}
的各项为正数，其前n项和
S
n
满足S
n
 (
a
n
1
2
)
.
2
（I）求
a
n
与a
n1
(n2)
之间的关系式，并求
{a
n
}
的通项公式；
（II）求证







例5.已知数列：满足：，，记.
111


2.

S
1
S
2
S
n
(I)求证：数列
(II)若
是等比数列；
对任意恒成立，求t的取值范围；
(III)证明:














.
6 18

裂项相消和放缩法解数列专题
（三）固定一部分项，放缩另外的项
例6.设数列{
a
n
}的前< br>n
项和为
S
n
.已知
a
1
＝1，
2 S
n
12
a
n1
n
2
n
，n
∈N
*
.
n3
（1）求
a
2
的值；
（2）求数列{
a
n
}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数< br>n
，有
11

1
a

7
.
1
a
2
a
n
4
















练习：
2.设
s1
111
2

3

100
，则
s
的整数部分是（ ）
A.17 B.18 C.19 D.20
3.已知
{a
n
}
是各项都为正数的数列，
S
n
为其前n项和，且
a
1
1
，
（I）求数列
{a
n
}
的通 项
a
n
；
（II）求证：
1
2S

1< br>


1
(n1)S
2(1
1
).
1
3S
2n
S
n
1



















7 18
3
S
11
n

2
(a
n

a
)
.
n

裂项相消和放缩法解数列专题
数列专题3
一、裂项求和法
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重 新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的
目的.
通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：
数列。
常用裂项形式有：

1
，
{a
n
}
是< br>d0
的等差
a
n

a
n1
111
(2n)
2
111
1111
；

()
；
1()
；
n(nk)knnk
n( n1)nn1
(2n1)(2n1)22n12n1
1111
[]< br>；
n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
11
(a b)
；
ab
ab
111
(nkn)
特别地：
n1n

k
nknn1n
二、用放缩法证明数列中的不等式
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。
1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：
①

a
i1
n
i
k
（
k
为常数）；②< br>
a
i
f(n)
；③

a
i
f (n)
；④

a
i
k
（
k
为常数）.
i1
i1
i1
n
n
n
放缩目标模型→可求和 （积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型
2.几种常见的放缩方法
（1）添加或舍去一些项，如：
a1a
；
n(n1)n

（2）将分子或分母放大（或缩小）
2
11111111

； （程度大）
22
n(n1)n1nn(n1)nn1
nn
111111
()
( n2)
（程度小） ②
2

2
nn1
(n1)(n 1)2n1n1
1111111n
③




1

n1n2n32nn1n1n1n1
11111 11n1
或






n1n2n32n2n2n2n2n2
111111n
n
④
1
23nnnnn

14411
⑤平方型：
2
2()
；
22
2n12n1
n4n4n1
111111
()

(2 n1)
2
4n
2
4n
4n(n1)4n1n
111 11
[]
(n2)
⑥立方型：
3

nn(n
2
1)
2(n1)nn(n1)
1111
(ab1)(a b1)
⑦指数型：
n
；
nn1nn1
aba(ab) aba(ab)
11

⑧
k1k
；
k1k 2k
n(n1)lg3lg5
2
⑨利用基本不等式，
n(n1)< br>，如：
log3lg5()lg15lg16lg4

22
①

8 18

裂项相消和放缩法解数列专题
（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列
1111

2

3

n
1(nN
*
)
.
2
222
分析：不等式左边可用等比数列前
n
项和公式求和。
11
(1
n
)
2
1
1
1
解析：左边=
2
1
2
n
1
2
例如：（1）求证：
表面是证数列不等式，实质是数列求和。
（2）求证：
1111

2

3



n
1(nN
*
)
.
21
212121
分析：左边不能直接求和，须先将其通项放 缩后求和，将通项放缩为等比数列。
11
(1
n
)
11
1111
2
1
1
1

解析：∵
n

n
，∴左边

2

3


< br>n

2
1
2
2
212
222
n< br>1
2
123n
（3）求证：

2

3


n
2(nN
*
)
.
2 1
22232n
nn
分析：注意到
n

n
， 将通项放缩为错位相减模型。
2n2
nn123nn2
解析：∵
n
n
，∴左边

2

3



n
2
n
2

2
22n2222
总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若
一般要先将通项
a
n
放缩后 再求和.
问题是将通项
a
n
放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的< br>b
n
才行呢？其实，能求和的常见数列模
型并不多，主要有等差模型、等比模型 、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，
b
n
大多是等比模
型或裂项相消模型.
（1）先求和再放缩
2*
例1.设各项均为正数的数列{
a
n}的前
n
项和为
S
n
，满足4
S
n
＝
a
n
＋1
－4
n
－1，
n
∈N，且
a
2
，
a
5
，
a
14
构成等比
数列．
(1)证明：
a
2


a
可直接求和，就 先求和再放缩；若不能直接求和的，
i
i1
n
4a
1
5
；
11

a
1
a
2
a
2a
3
2
(2)求数列{
a
n
}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数
n
，有
2

11

.
a
n
a
n1
2
解析： (1)当
n
＝1 时，4
a
1
＝
a
2
－5，∴
a
2
＝4
a
1
＋5.∵
a
n
＞0，∴
a
2
22
4a
1
5
.
(2)当
n
≥ 2时，4
S
n
－1
＝
a
n
－4(
n
－1)－1，①；4
S
n
＝
a
n
＋1
－4
n
－1，②
22222
由②－①，得4
a
n
＝4
S
n
－4
S
n
－1
＝
a
n
＋1
－
a
n
－4，∴
a
n
＋1
＝
a< br>n
＋4
a
n
＋4＝(
a
n
＋2).∵
a
n
＞0，∴
a
n
＋1
＝
a
n
＋2，
∴当
n
≥2时，{
a
n
}是公差
d
＝2的等差数列．∵
a
2
，
a
5
，
a
1 4
构成等比数列，
22
∴
a
5
＝
a
2< br>·
a
14
，(
a
2
＋6)＝
a
2< br>·(
a
2
＋24)，解得
a
2
＝3.
2< br>由(1)可知，4
a
1
＝
a
2
－5＝4，∴
a
1
＝1.∵
a
2
－
a
1
＝3－1＝2， ∴{
a
n
}是首项
a
1
＝1，公差
d
＝2 的等差数列．
∴数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝2
n
－1.
(3)
＝
11

a
1< br>a
2
a
2
a
3

111
1

＝
a
n
a
n1
133557
1

2n12n1
1

1

11

11



1










2



3

35

57

1

1

1
＝


1


.
2

2n1

2
1



1






2n12n1


总结：（3）问左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩，表面是证数列不等式，实质 是数列求和。
9 18

裂项相消和放缩法解数列专题
（2）先放缩再求和
例如：求证：
1
111
*
2(nN)
.
222
23n
分析：左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，保留第一 项，从第二项开始放缩。
1111
(n2)

2
n(n 1)n1n
n
111111
∴左边
1(1)()() 112(n2)

223n1nn
当
n1
时，不等式显然也成立.
4
x
11
例如：函数
f(x)
，求证：
f(1)f(2)

f(n)n(nN
*
)
.
x
n1
14
2
2
解析：∵
分析：此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特 征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从
而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量 时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对
于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放 大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩
小或分母放大即可。

例2.设数列 {a
n
}的前n项和为S
n
，满足
（1）求a
1
的 值；
（2）求数列{a
n
}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n， 有
n+12
，且a
1
，a
2
+5，a
3
成 等差数列．
．
3
解：（1）在2S
n
=a
n+1
﹣2+1中，令n=1得：2S
1
=a
2
﹣2+1，令n=2得：2S2
=a
3
﹣2+1，
解得：a
2
=2a
1< br>+3，a
3
=6a
1
+13，又2（a
2
+5）=a
1
+a
3
，
解得a
1
=1
（2）由2S
n
=a
n+1
﹣2
n
n+1
+1，
n+1
得a
n+2
=3a
n+1
+2
n
n+1
， 又a
1
=1，a
2
=5也满足a
2
=3a
1
+2，
1nnnn
1
所以a
n+1
=3a
n
+ 2对n∈N*成立，∴a
n+1
+2=3（a
n
+2），又a
1=1，a
1
+2=3，∴a
n
+2=3，∴a
n
=3﹣ 2；
（3）分析：（3）左边不能直接求和，考虑将通项放缩后求和。利用指数函数的单调性放缩为等 比模型。

（法二）∵a
n
=3﹣2=（3﹣2）（3
nnn﹣
1
+3
n
﹣
2
×2+3
n
﹣
3
×2+…+2
2n
﹣
1
）≥3
n
﹣
1
，∴≤，
∴+++…+≤1+++…+=＜；
10 18

裂项相消和放缩法解数列专题
（法三）∵a
n+1
=3当n≥2时，
n+1
﹣2
n+1
＞2×3﹣2
＜•
nn +1
=2a
n
，∴＜•
，…
，，
＜•， ＜•，，
累乘得：＜•，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．
n
nn
总 结：一般地，形如
a
n
ab
或
a
n
ab< br>（这里
ab1
）的数列，在证明
111


 k
a
1
a
2
a
n
（
k
为常数） 时都可以提取出
a
n
利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.
练习：
1.设数列
{a
n
}
满足
a
n
0
，
a
1
1
，
a
n
(12n)a
n
a
n1
a
n1
(n2)
，数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
n
S
n
2
；
n1
6n5
S
n

？说明理由. （3）试探究：当< br>n2
时，是否有
(n1)(2n1)3
（2）求证：当
n2< br>时，


11 18

裂项相消和放缩法解数列专题

（3）形如

a
i1
n
i
f(n)

例如：设
S
n
1223

n(n1)
，求证：
n(n1)n(n2)
S
n

(
nN< br>*
)
.
22


aba
2
b
2
根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：
ab11
22

ab
ab
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不 等式右边放缩用的是均值不等式
ab
，若放缩成
2
n
(n1)( n3)(n1)
2

，就放过“度”了。
n(n1)n1
，则得
S
n


k
i
1
22
i1
2
12 18

裂项相消和放缩法解数列专题
总 结：形如

a
i1
n
i
f(n)
的数列不等式 证明：
设
S
n
和
T
n
分别为数列
{a< br>n
}
和
{b
n
}
的前
n
项和，若< br>a
n
b
n
(nN
*
)
，利用不等式的“ 同向可加性”这一
基本性质，则有
S
n
T
n
.要证明不等 式

a
i1
n
i
f(n)
，如果记
T
n
f(n)
看作是数列
{b
n
}
的前
n
项和，则
b
n
T
n
T
n1
(n2 )
，
b
1
T
1
，那么只要证其通项满足
a
n
b
n
即可.
（二）放缩目标模型—可求积
放缩法证明与数 列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的
b
n
是可求积的模型， 能求
n
C
n1
C
n1
bb
积的常见的数列 模型是
n
（分式型），累乘后约简为

i
.
C
n
C
i1
1
bbmbbm
姐妹不等式：
(ba0 ，m0)
和
(ab0，m0)

aamaam
记忆口 诀：“小者小，大者大”，（解释：看
b
，若
b
小，则不等号是小于号，反之 ）。
1352n11
(nN
*
)
. 例如：求证：

2462n2n1

例如：求证：
(1 1)(1)(1)

(1
1
3
1
5
1
)2n1
。
2n1


总结：形如

a
i1
n
i
f(n)
的数列不等式证明：设
A
n
和
B
n
分别为数列
{a
n
}
和
{ b
n
}
的前
n
项积，若
n
0a
n
b
n
，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有
A
n
B
n
.要证明不等式

a
i
f(n)
，i1
如果记
B
n
f(n)
看作是数列
{b
n
}
的前
n
项积，则
b
n

B
n
(n2)
，
b
1
B
1
，那么只要证其通项满足
B
n1
0a
n
b
n
即可.
13 18

裂项相消和放缩法解数列专题
例3.已知数列
{a
n
}
满足
a
1

（1）求证：
{
a22
(nN
*
)
. ，
a
n1

n
2a
n
3
3
1
}
是等差数列，并求出
{ a
n
}
的通项
a
n
；
a
n
1
1
（2）证明：对于
nN
*
，
a
1
< br>a
2

a
3



a
n< br>
.
n1

（二）添加或舍去一些正项（或负项）
若多 项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证
明不等式 的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证
明的目的 。
n*
例如：已知
a
n
21(nN)
，求证：a
n1
a
1
a
2



n
(nN
*
)
.
23a
2
a
3
a
n1

本题在放缩时舍去了
22
，从而使和式得到了化简。



k
14 18

裂项相消和放缩法解数列专题
a1
例4.已知数列
{a
n
}
的各项为正数，其前n项和
S
n
满足S
n
(
n
2
2
)
.
（I）求
a
n
与a
n1
(n2)
之间的关系式 ，并求
{a
n
}
的通项公式；
（II）求证
1
S

1



1
2.

1
S
2
S
n

例5.已知数列：满足：，，记.
(I)求证：数列是等比数列；
(II)若对任意恒成立，求t的取值范围；
(III)证明:.
解：（Ⅰ）证明：由
a
3a2
n1

n

得
a
3a2
n1
2
n
a
2
a
n
2

n
2a
n
2a
n
2

a
3 a
n1
1
n
24(
a2
1
a
n
1)
a2
②
nn
∴
a
n1
2
a1

1
4

a
n
2
a
即
b
1
a2
n1
b
n
，且
b
1

1

1

n1n
1
4
a
1
14
∴数列

b
n

是首项为
1
4
，公比为
1
4
的等比数列．
15 18
①

裂项相消和放缩法解数列专题
124
n
11
n 1
1
a
n
2
（Ⅱ）由(Ⅰ)可知
b
n
()
n

∴
a
n

n

44a1
41
4
n
1
1
2
n
n
124
n
4
4
at4
由
n
得
t
n
，易得< br>n
是关于
n
的减函数

n
41
(41 )4
n
41
n
2
1
1
2
n
4

3
，∴
t
3
∴
n
4

4
41
414
2

24
n
133
（Ⅲ）
a
n

n

2
n
2
n

41414
333333
∴
a
1
a
2
a
n
(2)(2
2
)(2
n< br>)2n(
2

n
)

44
4444

1
1()
n
3
4
2n1(
1
)
n
2n
3
得证 ＝
2n
4
1
1
44
4

（三）固定一部分项，放缩另外的项
例6.设数列{
a
n
}的前< br>n
项和为
S
n
.已知
a
1
＝1，
（ 1）求
a
2
的值；
（2）求数列{
a
n
}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数< br>n
，有
解：(1)依题意，2
S
1
＝
a
2< br>－
2S
n
12
a
n1
n
2
 n
，
n
∈N
*
.
n33
17

.
a
n
4
11
 
a
1
a
2

12
－1－，又
S
1
＝
a
1
＝1，所以
a
2
＝4.
33< br>1
32
212
32
(2)当
n
≥2时，2
S
n
＝
na
n
＋1
－
n
－
n
－
n
，2
S
n
－1
＝(
n
－1)
a
n
－(
n
－1)－(
n
－1)－(
n
－1)，
3333
12
2
两式相减得2
a
n
＝< br>na
n
＋1
－(
n
－1)
a
n
－( 3
n
－3
n
＋1)－(2
n
－1)－，整理得(
n
＋1)
a
n
＝
na
n
＋1
－
n< br>(
n
＋1)，
33
aa
aaa

a

即
n1

n
1
.又
2

1
1
，故数列

n

是首项为
1
1< br>，公差为1的等差数列，
n1n211

n

a
2
所以
n
＝1＋(
n
－1)×1＝
n
.所以
a
n
＝
n
.
n
1711157
1
； (3)当
n
＝1时，1<
；当
n
＝2时，

a
1
a
2< br>444
a
1
4
11111

2

， 当
n
≥3时，
a
n
nn1nn1n
111< br>11111

11

11


＝1+
2

2

2
<1

< br>





a
1
a
2< br>a
n
434n4

23

34

111717
＝
1+
.
42n4n4
1117

. 综上，对一切正整数
n
， 有

a
1
a
2
a
n
4
此时
1

1






n1 n

此题采用了保留前2项，从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始 ，需根据
具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处。

16 18

裂项相消和放缩法解数列专题
练习：2.设
s1
1
2

1
3

1
100，则
s
的整数部分是（ ）
A.17 B.18 C.19 D.20
分析：不能直接求和式
s
，须将通项
1
n
思路：为了确定
s
的整数部分，必须将
s
的值放缩在相邻的两个 整数之间.
放缩为裂项相消模型后求和.

)
. 3.已知
{a
n
}
是各项都为正数的数列，
S
n
为其前n项和，且
a
1
1
，
S
n
(a
n

1 1
（I）求数列
{a
n
}
的通项
a
n
；
（II）求证：
1
2S

1



1
n1)S
2(1
1
)
.
1
3S
2
(
n
S
n
1


17 18
2a
n