精神压力大怎么办-性动作描写片段

几类数列裂项求和
传统的裂项求和如
c
其中

a< br>n

是等差数列已被大家熟悉，从近年的高考题和模

aa
i 1
ii1
n
拟题来看，在裂项上力求有一定的创新，本文从安徽省近年的高考模拟 题和高考题出发来介
绍几类裂项求和问题。
1. 形如
11
(nkn)
型
nkn
k
例：（合肥二模文科数学）
1
上的点与
x< br>轴上的点顺次构成等
x
1
腰直角三角形
OB
1
A< br>1
,A
1
B
2
A
2
,,
直角顶点 在曲线
y
x
如图所示,设曲线
y
上,设
A
n< br>的坐标为

a
n
,0

,
A
0为坐标原点.

(1) 求
a
1
,并求出
a
n
和
a
n1
(nN)
之间的关系式;
(2) 求数列

a
n

的通项公式；
(3) 设
bn

2
(nN

),
，求数列

b
n

的前
n
项和
S
n
.
a
n1
a
n
2. 形如

11

11
型



n (n1)(n2)2

n(n1)(n1)(n2)


例（安徽名校联考六）
已知数列

a
n

，其前
n
项和为
S
n
满足
S
n1
2
S
n
1
（

为大于0的常数），且
a
11
，
a
3
4
.
(1) 求

的值;
(2) 求数列

a
n

的通项
a
n
;
(3) 若
b
n
2log
1
2

1
1
5
n
T
,
n1
,设
T
n< br>为数列

2
的前项和,求证:.

n
a
n
4

n(b
n
1)








1

3. 含指数型裂项
例（安徽名校联考）
已知数列

a
n

的前n
项和为
S
n
，若
S
n
2a
nn,
且
b
n

（1） 求证：数列

a
n
1

为等比数列；
（2） 求数列

b
n

的前
n
项和
T
n
.



例(安徽省“江南十校”联考)
a
n
1
.

a
n
a
n12
n1
a
n
数列

a
n

满足
a
1
2
，
a
n1

（
n N

）.
1
(n)a
n
2
n
2< br>2
n
（1）设
b
n

，求数列

b
n

的通项公式
b
n
；
a
n
1
51
（2）设
c
n

，数列

c
n

的前
n
项和为
S
n
，求出
S
n
并由此证明：
S
n
＜.
n(n1)a
n1
162
解析:对(2)解答如下:
2
n
2
n1
由（1）知
a
n

n
2
，
bn1
2
n2
(n1)
2
11 n
2
2n2

∴
a
n1

，
c
n


(n1 )
2
1n(n1)2
n2
2n(n1)2
n1

1

n
2
nn2




n1n1

2

n(n1)2n(n1)2
< br>
1

111



n1

nn1

2

2n2(n1)2


∴
S
n

1111

1111
(
2

n1
)

()()
223
2 222

12222232
11
(1)
n
1
2
2
1
2

1

1



n1

1
22

2(n 1)2

1
2
1

1n2


1()
n1


2

2 n1


1
n1
n21
n1
1
 ()(1)
递减 易知
()
2n12n1
1
n1
n21
11
123
∴0＜
()()

2n12118
2
(

11

)
nn1

n2(n1)2


∴
51

1
1
n

2
151


1(
n
)
＜，即 ＜
S
n

1622n

1
2162
< br>合肥三模中也将含指数型裂项作为文科数学的压轴题，考题如下：
已知正项等差数列

a
n

中，其前
n
项和为
S
n
， 满足
2S
n
a
n
a
n1
.
(1)求数列

a
n

的通项公式；
S
n
1
，
T
n
b
1
b
2
< br>a
n
2
4. 含三角型裂项
(2)设
b
n

b
n
,
求证:
T
n
3.

例（安徽省高考题）
在数
1
和
100
之间插入
n
个实数，使得这
n2
个数构成递增的等比数列，将这
n2
个数的乘积记作
T
n
，再令
a
n
lgT
n,< br>n1
.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式； < br>（2）设
b
n
tana
n
tana
n1
,
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
解析:对(2)的解答过程如下:
由题意和(1)的计算结果可知
b
n
tan(n2)tan(n3),(n1)

另一方面,利用
tan1tan((k1)k)
得

tan(k1)tank
所以

S
n

tan(k1)tank
,

1tan(k1)tank
tan(k1)tank
1,

tan1

b

tan(k1)tank

i
i1k3
nn2

tan(k1)tank




tan1


k3


tan(n3)tan3
n
tan1
例(安庆重点中学联考) 已知数列

a
n

中,
a
1
1,a
2

(1)求
a
2
,a
3
的值;

3
n2
(n1)a
n
1
(n2,3,4,)

,
且
a
n1

na
4
n

(2)设
b
n

1
1(nN

),
试用
b
n
表示
b
n1
并求

b
n

的通项公式;
a
n1
sin3
(nN

)
,求数列

c
n

的前
n
项和
S
n
.
cosb
n
cosb
n1
( 3)设
c
n

解析:对问题（3）的解答如下:
∵
cn

sin3
sin(3n33n)
tan(3n3)ta n3n
，
cosb
n
cosb
n1
cos(3n3 )cos3n
∴
S
n
c
1
c
2
L c
n
(tan6tan3)(tan9tan6)L(tan(3n3)t an3n)

tan(3n3)tan3

以上我们通过几个典型问 题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清
楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模 型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培
养学生的化归、转化的能力.


4