六年级+分数裂项
县政府工作报告-大三学年总结
分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可
以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行
一部分
运算,使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通
项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的
前提,是能力的体现,对学生要求较高。
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆
分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项,常见的裂项方
法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的
观察每项的分子和分母
,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂
的计算,一般都是中间
部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可
以写作两个因数乘积的分数,即
那么有
1
形式的,这里我们把较小的数写在前面,即<
br>ab
,
ab
1111
()
abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:
1
1
,形式的,我们有:
n(n1)(n2)
n(n
1)(n2)(n3)
1111
[]
n(n1)(n
2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]
n(n
1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关键特征:
(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可 为都是x(x为任意自然数)的,但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
(3)分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
abab11
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
(1)
(2)
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的,
同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。
11111
【例 1】
。
1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛,小学数学竞赛
11
11
【解析】 原式
< br>
12
23
11
115
56
166
例题精讲 < br>提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为:
1111
11
< br>1
.
13355779
19
2
5
【答案】
6
1111
,计算过程就要变为:
13355779
111
【巩固】
......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()
106012
1
【答案】
12
2222
【巩固】
109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星
【题型】计算
1111
1111
11
7
【解析】 原式
2
2<
br>
4534
91089
310
15
7
【答案】
15
1111
【例 2】
11212312100
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和
公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。从
第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的
112112
代入有
,,……,
1
(11)1
1212
(12)2<
br>23
22
2222120099
原式
2(1)1
1223341001
99
【答案】
1
101
1111
【例 3】
13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星
【题型】计算
0
【解析】
(1…)<
br>13355799101
50
【答案】
101
11
1
【巩固】 计算:
25
133557
1
2325
【考点】分数裂项 【难度】2星
【题型】计算
【关键词】2009年,迎春杯,初赛,六年级
1
111
【解析】 原式
25
1
2
335
11
1
1<
br>
2524
25
1
12
2325
2
25
<
br>225
【答案】
12
2551
【巩固】
4881212162000200420042008<
br>【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年,台湾,小学数学竞赛,初赛
【解析】 原式
251
111
16
122334
11
500501501502
11
<
br>501502
251
11111
1
16
22334
25150150121
1
5
165023232
21
【答案】
15
32
3245671
255771111161622222929
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
1
11
【解析】
原式
2557722929
2
1
【答案】
2
11111111
【例 4】 计算:
()128
8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星
【题型】计算
【巩固】 计算:
【关键词】2008年,101中学
1111
【解析】 原式
()128
2446681618
1111111
()128
224461618
11
()64
218
4
28
9
4
【答案】
28
9
11111111
【巩固】
_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星
【题型】计算
【关键词】2008年,第六届,走美杯,初赛,六年级
【解析】
根据裂项性质进行拆分为:
11111111
6122<
br>11111111
233445566778899
10
112
==
2105
2
【答案】
5
111111
3610152128
【考点】分数裂项 【难度】6星
【题型】计算
【巩固】
1
【关键词】2008年,第6届,走美杯,6年级,决赛
【解析】 原式
1
111
121231234
222
1
233478
11
11111
2
78
22334
1
1234567
1
7
2
1
8
4
7
【答案】
4
111111111
=
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
【巩固】 计算:
【关键词】2006年,第4届,走美杯,6年级,决赛
【解析】 原式
111111111
()
223344556677889910
1111111
(
)
22334910
111
()
2210
1
10
【答案】
1
10
11111
【巩固】
。
1
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
11111
【解析】 原式
255881111141417
1
1111111111
3
25
5881111141417
1
11
5
3
217
34
5
【答案】
34
1111
13535757
9200120032005
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
【例 5】
计算:
【关键词】2005年,第10届,华杯赛,总决赛,二试
【解析】 原式
1
11
11
<
br>
4
13353557
11<
br>
2
001200320032005
1
11
1004003
4
1320032005
12048045
1004003
【答
案】
12048045
7
4.50.16
11
11
18
【例 6】
1
133.753.2
3153563
3
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2007年,仁华学校
79161
111
1
18290
【解析】
原式
1
1331.254
0.8
13355779
3
71
46
1
1
1
1
1
1
1
1
233579
1312
3
46318
23
=
24429
36
23
【答案】
36
11111
【例 7】
计算:
123420
261220420
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第五届,小数报,初赛
1
1
111
20
261220420
11111
210
122334452021
1111111
2101
223342021
120
2101210
2121
20
【答案】
210
21
11111
【巩固】 计算:
200820092010
=
。
20112012
70
【考点】分数裂项
【难度】2星 【题型】计算
11111
【解析】
原式
20082009201020112012
3
66991212151518
1
111111
20105
9
122356
【解析】
原式
123
10050
【答案】
10050
5
54
5
54
11224
____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星
【题型】计算
【巩固】 计算:
1325375117
26153577
111111111
2233557711
110
1
1111
【解析】原式
【答案】
10
11
1111111
【巩固】
计算:
3195
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【解析】 分析这个算式各项的分母,可以发现
它们可以表示为:
32
2
113
,
154
2135
,……,
19514
2
11315
,
1111111
所以原式
13355
77991111131315
1
11
1
11
1
11
2
13
2
35
2
1315
1
11
7
2
115
15
7
【答案】
15
19899
【巩固】 计算:
.
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
【关键词】2008年,四中
1
1
1
1
【解析】 原式
1
1
1
1
26129900
11
1
99
122399100
11
111
99
1
99100
223
1<
br>
99
1
100
98
【答案】
98
1
100
1
100
111
【例 8】
123234789
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【解析】 首先分析出
原式
n1
n1
<
br>11
11
n1
nn12n1nn12n1nnn1
1
11
1
6778
7889
1
11<
br>
11
2
1223
2334
1
11
2
1289
35
144
【答案】
35
144
111
1232349899100
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】
原式
()
21223233434989999100
9
()
212991
4949
【答案】
19800
1111
【巩固】 计算:
135246357202224
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
1
11
1
1
【解析】 原式=++…+++…+
13
5
357
192123
246
202224
11
1
1
11
=(-)+(-)
4
13
21
23
4
24
2224
652816010465
40
=+=+
483
211234
38625
=
340032
38625
【答案】
340032
4444
【巩固】
......
13535
7939597959799
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
11111111
【解析】
()()......()()
1335355793
95959795979799
11
3200
139799
9603
3200
【答案】
9603
9998971
【巩固】
12323434599100101
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
11
991001100100
【解析】 ==-=-
12312
3123
23
123
23
98100210021001<
br> ==-=-
23423423423423434
971
00310031001
==-=-
……
3453453453
4534545
110099100991001
==-=-
991
0010199100101991001019910010199100101100
101
111
原式
...(...)
12
3234345991001012334100101
1111151
100()()24
221
51
【答案】
24
101
【巩固】 计算:
11111
123423453456678978910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【例 9】
1
111111
【解析】
原式
3
1232342343
457898910
1
11
119
3
12389
10
2160
119
【答案】
2160
333
【巩固】
......
1234234
517181920
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
1111111
【解析】
原式
3[(...)]
31232342343
45171819181920
113192011139
1231819201819206840
1139
【答案】
6840
5719
【例 10】 计算:
.
1232348910
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同,那
么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相
同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2
.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为n
的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以
先把原式中每一项的
分子都分成3与另一个的和再进行计算.
3234316
原式
<
br>
1232348910
112
1
<
br>1
3
2
12
32348910123234
8
<
br>
8910
1
9
10
1
111111
1
1
3
2
2
122
3233489910
2334
3
11
11
1111
2<
br>
2
12910
910
2334
3
11
23
711
11
2
2
290
210
15
4605
也可以直接进行通项归纳.根据等差数列
的性质,可知分子的通项公式为
2n3
,所以
2n3232
,再将每一项的与
n
n1
n2
n1
n2
n
<
br>n1
n2
n1
n2
3
分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相
同.
n
n1
n2
【答案】
23
15
571719
)
234345891091011
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【巩固】
计算:
1155(
【关键词】2009年,迎春杯,初赛,五年级
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式:
571719
.这个算式不同
234345891091011
于我们常见的分数裂项的地方在于
每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况.所以应当对分子进
行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式.
观察可知
523
,
73
4
,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以
571719
234345891091011
2334910
23434591011
111111
342445351011911
1
1
111
1
1011
2435911
34
45
11
1
111111
1111
101
1
2
243546
3445
11
1
1111
81
28
31
<
br>
311
2
210311
332
533
55
31
所以原式
1155651
.
55
(法二)
1111
810911
上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列
,而等差数列的
通项公式为
and
,其中
d
为公差.如果能把分子
变成这样的形式,再将
a
与
nd
分开,每一项都
变成两个分数,接下
来就可以裂项了.
571719
23434589
1091011
122132182192
234345891091011
122132182192
<
br>
234234345345891089109
101191011
111222
1
2
<
br>
891091011
34459101011
234345
1
111111
1111
2<
br>
2
233434459101011
3445
1
11
11
2
2
231011
311
112234131
,
1222
31
所以原式
1155651
.
55
(法三)
11
1011
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:
571719
234345891091011
5
11
7
11
17
11
19
11
2
2334
2
3445
2
89910
2
910101
1
5111
75
97
<
br>
223<
br>
22
34
22
45
1
191
1917
22
91021011
511111
91
223344591021011
511
1931
1231022055
31
所以原式
1155651
.
55
(法四)对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:
2n1
(
n2
,3,……,9)
a
n
n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1,就
是上面的法二;如果将分子分成
n
和
n1
,就是上面的法一.
【答案】
651
34512
12452356346710111314
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【巩固】 计算:
【解析】 观察可知
原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先
将每一项的分子、
分母都乘以分子中的数.即:
3
2
4
2
5
2
12
2
原式
123452345
6345671011121314
现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行
分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,
可以用平方差公式:
3
2
1
54
,
4
2
264
,
5
2
3
74
……
3
2
4
2
5
2
12
2
原式
123452345634
5671011121314
15426437410144
1234523456345671011121
314
111
1
<
br>111213
234345456
4444<
br>
1011121314
123452345634567
1
111
111
2
2
334344511121213
111111
1011121311121314
1234234523453456
1
1
1
11
2
231213
123411121314
1771111175
1111
12212132411121314
811121314821114
8308616
75
616
12349
【例 11】
223234234523410
【考点】分数裂项
【难度】4星 【题型】计算
12349
【解析】
原式
223234234523410<
br>213141101
22323423410
1111111
1
2223232342349234910
【答
案】
1
【答案】
1
234910
3628799
3628800
3628799
3628800
123456
【例 12】
121231234123451234561234567
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
13141516171
【解析】 原式
12123123412345123456123456
7
111111
12121231231
2341234567
111
12121234567
15039
1
50405040
5039
【答案】
5040
2399
【巩固】 计算:
.
3!4!100!
【考点】分数裂项 【难度】4星
【题型】计算
【解析】
原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了.
2399
原式
123123412
3100
31411001
1231234123100
111111
<
br>
12123123123412399123
100
1111
121231002100!
11
【答案】
2100!
23450
【例
13】
1(12)(12)(123)(123)(12
34)(12349)(1250)
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
23
4550
【解析】
原式=++++…+
1336
610101512251275
111<
br>1
1111274
1
=(
)+(
)+(
)+()=
6
1
3
3610
127
5
1225
1275
1274
【答案】
1275
234100
【巩固】
1(12)(12)(123
)(123)(1234)(1299)(12
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
211
311
【解析】
,,……,
1(12)112
(12)(123)
12123
100)
10011
,所以
(1299)(12100)129912100
1
原式
1
12100
15049
1
50505050
5049
【答案】
5050
2310
【巩固】
1
1(12)(12)(1
23)(1239)(12310)
【考点】分数裂项
【难度】2星 【题型】计算
23410
【解析】
原式
1()
13366104555
11
11111
1
1
4
555
336610
1
1
1
1
55
55
1
【答案】
55
111111
【例 14】
2
2
2
2
2
2
.
31517191111131
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题
是利用平方差公式进行裂项:
a
2
b
2
(ab)(ab)
,
111111
原式
()()()()()()
<
br>24466881010121214
11
()
24466881
1113
()
214214
3
【答案】
14
111111
【巩固】 计算:
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
)
23454849
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
11124
11113
【解析】
1
2
(1)(1
)
,
1
2
(1)(1)
,……所以,
33333
22222
25
原式
2233494924949
25
【答案】
49
35715
【巩固】
计算:
22
22
22
22
12233478
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
【解析】 原式
22
<
br>22
22
122334
8
2
7
2
22
78
1
1111
1
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
1
63
1
2
64
8
11
7
2
8
2
【答案】
63
64
3
2
15
2
17
2
11993
2<
br>11995
2
1
【巩固】
计算:
2
.
315
217
2
11993
2
11995
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2<
br>
2
2
22
11
11
【解析】
原式
1
2
2222<
br>
31
51
71
199
31
19951
22
2
997
244619941996
11
1111
997
19941996
2446
1
997
1
997
997
2
1996
1996
997
【答案】
997
1996
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
98
2
100
2
【巩固】 计算:
2
2
2
.
2
213141991
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
1
2
3
2
102
2
4
2
203
2
5
2
34104
204344
【解析】
2
,
2
,<
br>2
,……由于
2
,
2
,
2
,
2134115
318
881515
33
44
44
可见原式
2
2
2
2
2
22
2
213141991
111
1
<
br>2984
98100
132435
1
11111
1964
<
br>1
2
32435
1
11
1962
1
299100
199
19632
9900
4751
198
4950
11
98100
【答案】
198
4751
4950
1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算:
.
13355799101
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根
据平方差公式分别变为
2
2
1
,
4
2
1
,
6
2
1
,……,
100
2
1
,可
以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,
所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后
除以4就得到原式的值了.
1
2
2
4
2
62
原式
2
4
214
2
16
2
1
100
2
100
2
1
1
111
1
2
1
2
1
2
4
214161
1
111
50
4
133557
1
1
100
2
1
1
99101
11
99101
11
11111
50
1
4
2
<
br>33557
63
11
1
150
50
1
12
<
br>
50
4
2
101
<
br>4
101
101
63
101
【答案】
12
56677889910
【例 15】
56677889910
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
5667788991
【解析】
()...()
56677889910
3
【答案】
10
365791113
【巩固】
57612203042
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
【关键词】第三届,祖冲之杯,人大附中
36233445566736111111
【解析】
原式=
...
=
4
57233445566757233467
【答案】
4
9
【巩固】计算:
3457820212435
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
21
【解析】
原式
111115
3457845373857
【答案】
5
【巩固】
3571220283042
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
13
【解析】
原式
3573445475667
3
1111
212
313
111
3
4
3366
555
777
444
3
【答案】
3
4
3827
【巩固】
2330123124
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
11111
11
11
11
11
11
23303141
317
717
430
341
<
br>431
1
1111111
2
7
2337434
1
【答案】
2
7
3549637791105
31
【巩固】
6
12
20
30
42
56
1
8
8<
br>
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
579111315
3
71
8
【解析】
原式
8
6122030
4256
1111
2334
11
11
7
8
78
8
1
1
11
788
8
28
211110
【答案】
10
5791113151719
【巩固】
计算:
1
6122
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
23344556677889910
【解析】
原式
1
23344556677889
910
11111
1()()()()()()()(
)
23344556677889910
113
1
2105
3
【答案】
5
11798175
【巩固】
451220153012
【考点】分数裂项 【难度】3星
【题型】计算
1
【解析】 原式
453445355646
1111
2452
3
3456
【答案】
3
1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
【例 16】
122318191920
【考点】分数裂项
【难度】3星 【题型】计算
92021919
【解析】
原式
...21736
21912020
19
【答案】
36
20
【巩固】
(......)(......)
12007220062
0062200712008120062200520061
【考点】分数裂项
【难度】4星 【题型】计算
2
【解析】
原式=
(...)(...)
200812007220062
007120081200620061
2
=
(...)(...
)
200812007220062007120081200620061<
br>1220072007
=
(...)(...)
20
0812007220062007120081200620061
=
[(...)(...)]
26261
=
[(...)(...)]
26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】
2015028
111111
【例 17】 计算:
23459899515299
【考点】分数裂项 【难度】5星
【题型】计算
1
111
111
11
【解析】 原式
98
3599
515299
24
1
111
11
11
1
2
【解析】
50
3549
98
24
5254
1
11
1
111
11
【解析】
<
br>
50
3549
262749
24
11
【解析】
24
11
【解析】
24
11
【解析】
24
11
【解析】
24
1
11<
br>
24
35
1
1
1
2
25
2628
1
1
48
50
1
11
24
35
1
11
12
35
1
11
25
1314
1
11
2
11
1416
1
1
24
50
1
11
<
br>
24
5025
1
11
12
35
1
<
br>11
11
78
<
br>1
11
12
5025
1
111
11
111
1
【解析】
2
<
br>
246
35
81012
502
5
1
111
11
111
1
【解析】
<
br>246
35
456
5025
【解
析】
1
【答案】
1149
502550
49
50
24612
335357357911
【考点】分数裂项
【难度】4星 【题型】计算
【例 18】 计算:
【解析】 原式
315171
335357
13
1
35791113
111
1
1
【解析】
1
335357911335
1<
br>【解析】
1
35791113
1
35791113
【解析】
【答案】
135134
135135
135134
135135
2
3
2
8
2
4
1719
135357
2
11
171921
122
2
【例 19】
计算:
133557
【考点】分数裂项
【难度】5星 【题型】计算
2
3
2
4
【解析】
135357<
br>2
11
2244
1719211335355
7
2
9
2
9
17191921
224
【解析】
133557
12
【解析】
所以原式
1335
2
8
2
9
17191921
22
8
24
1719
133557
2
8
2
9
17191921
2
9
1512133379
【解析】
192113399399
379
【答案】
399