小学 奥数裂项法(含答案)
小学算术题-毕业论文翻译
奥数裂项法
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母
分数后再计算。
（一）阅读思考
例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好
是它们的乘积，
把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
即
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1. 计算：
分析与解答：
上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这
一来问题解起来就十分方便了。
1
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分
分
数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2.
计算：
公式的变式
当分别取1，2，3，……，100时，就有
1
例3. 设符号（
）、< >代表不同的自然数，问算式
号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，
面提到的等式
另外一种方法
设
得算式
这里
入上式得
都是自然数，且
。
是个单位分数，所以
，即
一定大于零，假定
。
，即是的约数，有个
就有个，
，
，则，代
，当时，利用上面的变加为减的想法，
就变成
，与前
中这两个符
相联系，便可找到一组解，即
又因为是自然数，所以一定能整除
这一来我们便得到一个比
，是
上面指出当
的约数时，一定有
，
更广泛的等式，即当
，即
，是的约数时，一定有，这里
，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当
当
当
当
当
当
当
当
时，
时，
时，
时，
时，<
br>时，
时，
时，
，
，
，
，
，
，
，
，
1
当
时，，
故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】
二.尝试体验：
1. 计算：
2. 计算：
3. 已知
是互不相等的自然数，当
时，求
1
。
【试题答案】
1. 计算：
2. 计算：
3. 已知是互不相等的自然数，当时，求
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
1
。
还有别的解法。
1
裂项法（二）
前一
节我们已经讲过，利用等式，采用“裂项法”能很快求出
这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到
另一等式：
，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
【典型例题】
例1.
分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
下面我们用
当
当
当
……
当
当
时，有
时，有
时，有
时，有
时，有
，现在给、一些具体的值，看看有什么结果。
上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样
，只是分子是2
不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如
，……，这样采用裂项法
也能较快求出结果来。
因为
所以
，……，，
1
例2.
因为
所以
同样可得
一般地，因为
这里是任意一个自然数。
利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
1
例3. 计算：
分析与解：
而
即
连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
1
【模拟试题】
二. 尝试体验
1.
求和：
2. 求和：
3. 求和：
15分钟）
1
（答题时间：
【试题答案】
1. 求和：
2. 求和：
3. 求和：
1