思维方式-个人简历封面制作

开一数学组教研材料 （裂项相消法求和之再研究 ）

张明刚
一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项
基本类型： < br>1.形如
1
n(nk)

1
k
(
1
n

1
nk
)
型。如
111
＝－；
nn＋1
n
n＋1
111
1
2.形如a
n
＝< br>＝
()
型；
2n－12n＋1
22n12n1
(2n)
2
3.
a
n

(2n1)(2n1)
1
1
2
(
1
2n1

1
2n1
)

4.
a
n

1
n(n1)(n2 )
n2
n(n1)
1
2
n

1
2n( n1)
[
1

1
(n1)(n2)
1
n2
n1
]

5.
a
n

2(n1) n
n(n1)

1
2
n

1
(n 1)2
n
,则S
n
1
1
(n1)2
n

n＋1
6.形如a
n
＝
2
型．
nn＋2
2
1
4
n
1

1


7 .形如a
n
＝
n
＝

型；
4
－1 4
n
＋
1
－1
3

4
n
1 4
n1
1

8.
n＋12n－（n－1）
11
.
n
＝
n
＝
n
－
1
－
n·2< br>n
n（n－1）·2n（n－1）·2（n－1）2
1
n
1
ab
1
ab
nk

1
k
9.形如a
n
＝


n

k

n

型；
a
n

1
(n1)nnn1

10.


ab

11.
nn!

n1

!n!
1 2.
C
n
14.
tan

tan

tan

tan

tan(



)
m1
C
n1
C
n
mm
13.
a
n
S
n
S
n1

n2

1


15.利用两角差的正切公式进行裂项
把两角差的 正切公式进行恒等变形，例如
tan(



)
tan< br>
tan

1tan

tan

可以
1

另一方面，利用
tan1tan


k1

k


tan(k1)tank
tan1
M
a
tan(k1)tank
1tan(k1)tank
，得
tan(k1)tank1,

16 利用对数的运算性质进行裂项
对数运算有性质
log
N
logMlog N
，有些试题则可以构造这种形式进行裂项.
17 利用排列数或组合数的性质进行裂项
mmm1
排列数有性质
nn!(n1)!n!
，组合数有这样的性 质
C
n
C
n1
C
n
，都可以作为裂项的依据 .
例7 求和：
11!22!nn!_____

分析 直接利用
nn!(n1)!n!
可得结果是
(n1)!1
. < br>2222332333
18.求和：
S
n
C
2
C
3
C
n
.有
C
k
C
k1
C
k
，从而
S
n
C
2
C
n1< br>C
3
C
n1
.

裂项相消法求和之再研究
一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项
一、多项式数列求和。
（1） 用裂项相消法求等差数列前n项和。即形如
a
n
anb
的数列求前n项和
22
此类型可设
a
n
(AnBn)[A(n1)B(n 1)]anb
左边化简对应系数相等求出A,B。
则S
n
a
1
a
2
a
3
a
n
(AB)0(4A2B)(AB)(9A3B)(4A2B)
(AnBn)[A(n1)B(n1)]
AnBn
2
22

例1：已知数列

a
n
的通项公式为
a
n
2n1
，求它的前n项和
S< br>n
。
解：令a
n
(AnBn)[A(n1)B(n1)]2n1
则有a
n
2AnBA=2n1

2A2

A1




BA1

B0
a
n
n(n1)
S
n
a
1
a
2
a
3
22
22

a
n
1 2132
222
n(n1)n
222
m
1m
2
b
m2
n
（2）用裂项相消法求多项式数列前n项 和。即形如
a
n
b
m1
nb
1
nb
0
的数列求前
n项和。
此类型可
设a
n
(c
m
nc
m1
n
mm
1
c
1
n) [c
m
(n1)
m
c
m1
(n1)
m
1
c
1
(n1)]

2

b
m1
n
m
1
b
m2
n
m
2
b
1
nb
0

上边化简对应系数相等得到一个含有m元一次方程组。
说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。
解出< br>c
1
,c
2
,,c
m
。再裂项相消法用易知
S
n
c
m
n
m
c
m1
n
m 
1
c
1
n

3
例2：已知数列
< br>a
n

的通项公式为
a
n
n
，求它的前n 项和
S
n
。
解：设a
n
（An
A(4n
4An
n
3
3
3
4
Bn
2
3
Cn
2
Dn）[A(n1)B(n1) C(n1)D(n1)]
2
432
6n4n1)B(3n
2< br>3n1)C(2n1)D
(6A3B)n(4A3B2C)n(A BCD)

A


4A1


< br>B

6A3B0




< br>
4A3B2C0


ABCD0

C




D
a
n
（
1< br>4
n
4



1
4
1
2
1
4
0
1
2
(n1)
3

1
4
1
2
n
2
3
1
4
n）[
2
1
4
(n1)
2
4
(n1)]
2

n(n1)

(n1)n





22

22
二、
222
 S
n

12

23

12

34

23




 


2

2

2
< br>2

2


n(n1)

(n1) n

n(n1)





222

222
二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。
n
（1）用裂项相消法求等比数列前n项和。即形如
a
n
aq
的数 列求前n项和。这里不妨设
q1
。（
q1
时为常数列，前n项和显然为< br>S
n
an
）
nn
1
此类型可设
an
AqAq
，则有
a
n
(A
A
q)q
n
aq
，从而有
A
n
A
q
 a,A
aq
q1
。再用裂项
n
相消法求得
S
n
AqA

n
例3：已知数列

a
n

的通项公式为
a
n
3
，求它的前n项和
S
n。
解：设
a
n
AqAq
nn
1
，则有
a
n

1
2
2
2A
3
3
33
，从而有
A
nn
3
2
3
，故
a
n

n1
3
n1
2

3
n< br>2
。
S
n
a
1
a
2
a< br>3
a
n
(333333
243
3)< br>n
1
2
(3
n1
3)

n
（2 ）用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前n项和。即形如
a
n
(an b)q
的数列求前
n项和。
3

此类型通常的 方法是乘公比错位错位相减法，其实也可以用裂项相消法。这里依然不妨设
q1
，
（
q1
时为等差数列，不再赘述。）
nn
1
n
1n
1
可设
a
n
(AnB)q[A(n1)B]q< br>，则有
a
n
[(AqA)nBqAB)q(aqnbq)q，
从而得到方程组


(AqA)aq

Bq ABbq
n
，继而解出A，B。再用裂项相消法求得
S
n
(A nB)qB

n
例4：已知数列

a
n
的通项公式为
a
n
n3
，求它的前n项和
S
n。
nn
1
n
1
n
1
解：设
a
n
(AnB)3[A(n1)B]3
，则有
a
n
[2An2BA)33n3
，
A
2n1
n1
2n 3
n

2A3

2
从而得到方程组

，解得

。
a
n
33


44< br>3

2BA0



B
4
232

3
S
n
a
1
a
2
a
3
a
n

1
4
[333335 333
22
(2n1)3
n1
(2n3)3]
n
1
4
[(2n1)3
n1
3]
（3）用裂项相 消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前n项和。
m
1
m
2b
m2
n
即形如
a
n
(b
m1nb
1
nb
0
)q
n
的数列求前n项和。
此类型有一个采用m次错位相减法的方法求出，但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了。
同样 这里依然不妨设
q1
，（
q1
时为多项式数列，不再赘述。）
下面介绍错位相减法的方法：
m
1
m
2

设
a
n
(B
m1
nB
m2
nB
1
nB
0
)q[B
m1
(n1)
C
1nC
0
)q
n
nm
1
B
m2
(n1)
m
2
B
1
(n1)B
0
)q
n
1
。
m
1
m
2

先对上 式化简成
a
n
(C
m1
nC
m2
n
的形式，其中
C
0
,C
1
,
n
C
m1
是用
B
0
,B
1
,B
m1
,q
B
m1
再用来表示的一次式子。同样让对应系数相等得到一个m元一次方程组，用代入法可以 解出
B
0
,B
1
,
m
1
m
2
B
m2
n
用裂项相消法求得
S
n
(Bm1
nB
1
nB
0
)qB
0
。 n
2
例5：已知数列

a
n

的通项公式为< br>a
n
n2
，求它的前n项和
S
n
。
n n
1
n
1
n
12222
解：设
a
n
(AnBnC)2[A(n1)B(n1)C)2
，则有
a
n
(An(2AB)n(ABC)]22n2


A2

A2

n
1
n
22
从而得到
2AB0
，解得

B4
，所以
a
n
(n2n3)2[(n1)2(n1)3)2


AB C0

C6

S
n
a
1
a
2
a
3
(n2n3)2
2
a
n< br>22323222
n1
232
(n2n3)22n1
[(n1)2(n1)3)2
2n

6
事 实上裂项求和适合用于所有能将
a
n
化成
a
n
f(n) f(n1)
形式的所有数列

a
n

，
f(n)
与
a
n
存在形
式上相似性，从而利用待定系数法的方式得到
f(n)
的表达式，最终可以得到
S
n
f(n)f(0)
。这里 部
分可用倒叙相加法的数列不能使用此法是因为它没有一个统一形式不带省略号的前n项和公式。例如调 和
数列

n
1

也不能用此法，事实上调和数列

n

是不可求前n项和的数列。
1
四、结论。
从上面的论断不难得出裂项相消法，适合所有可求前n项和的数列。不愧为数列求前n项和的万能
方法。 不过值得肯定的是有部分数列利用裂项相消法，不易找出它的裂项方法，尤其是与指数函数，对数
4

函数，三角函数这些比较高级的基本初等函数相关的初等函数。对于前两个大 点得出的结论，我们当然也
可以使用待定系数法来求
S
n
，只是不要忘记它们 都是用裂项相消法证明出来的结论。保留原来的参数得到
结论也可以使用，从而直接得出待定参数的值， 但对记性的要求很高，这里就不再啰嗦。
例6：已知数列

a
n

的通项公式为
a
n

3n4
n(n1)(n2)，求它的前n项和
S
n
。
解：设
a
n
AnB
n(n1)

A(n1)B
(n1)(n2)
3n4
则
a
n

(AnB)(n2)n(AnAB)
n(n1)(n2)

An2B
n(n1)(n2)
3n 2

所以
An2B
n(n1)(n2)

n(n 1)(n2)
1
12
2
，

4

A 3

2B4

7
34

，解得
< br>
A3

B2

，所以
a
n

3n1
n(n1)

3n1
(n1)(n2)

S
n
a
1
a
2
a
3
1< br>2
3n1
a
n

4
23

23

3n2
n(n1)(n1)(n2)


(n1)(n2)
=
n3n
2(n1)(n2)
例7：已 知数列

a
n

的通项公式为
a
n
2
2
2n1
n
n
2
2
n
n
n
n2n1
321
1
21
n
，求它的前n项和< br>S
n
。
解：
a
n

321

2
(2
n1
1)(21)

1
2
n1
1

S
n

1
21
1
1
21
2

1
21
2

1
21
3

1
21
n

1
2
n1
1
1
1
2
n1
1

2
2
n1
n1
2
1

o
2
例8：已知数列

a
n

的通项公式为
a
n
sinn
，求它的前n项和
S
n
，
S
89< br>。
解：
a
n
sinn
2o

1
2

1
2
cos2n
，
cos2n
o
o< br>
sin1cos2n
sin1
o
o
oo

sin(2n1)sin(2n1)
2sin1
o
oo

< br>1sin(2n1)

1sin(2n1)

a
n< br>

n(n1)


oo
22sin1 22sin1

1
2
sin(2n1)
2sin1
o
o
o
S
n
(n1)

S
89< br>
1
2
(891)
sin(2891)
2sin1< br>o
o
44.5

作业：
1、请用裂项相消法求下列各数列的和.
4
（1）已知数列

a< br>n

的通项公式为
a
n
n
，求它的前n项和
S
n
。
5

n
2
（2）已知 数列

a
n

的通项公式为
a
n
(n n)3
，求它的前n项和
S
n
。
（3）已知数列
a
n

的通项公式为
a
n

n2
n (n1)2
n
，求它的前n项和
S
n
。
o
（ 4）已知数列

a
n

的通项公式为
a
n
sinn
，求它的前n项和
S
n
。
（5）已知数列
< br>a
n

的通项公式为
a
n


2n1
n(n1)(n2)
，求它的前n项和
S
n
。
6