金银铜铁打一地名-党风廉政建设心得体会

求数列通项：
构造法
类型1 形如
a
n1
k
1
a
n
k
2
q
n
的数列的递推公式，构 造
(a
n1
Aq
n1
)k
1
(a
n
Aq
n
)
入递推公式求出A，化为等比数列解决。
类型2 形 如
a
n1
k
1
a
n
k
2
n
2
k3n
的数列的递推公式，构造
(a
n1
A(n 1)
2
B(n1)C)
代
，

k
1
(a
n
AnBnC)
，
代入递推公式求出A，B，C，化为等比数列 解决。
2
类型3 形如
a
n1
k
1
an
k
2
q
n
k
3
n
的数列的递推 公式，构造
(a
n1
Aq
n1
B(n1)C)
k
1
(a
n
AqBnC)
，
代入递推公式求出A， B，C，化为等比数列解决。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通 项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数
列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1.设数列

a
n

的前
n
项的和S
n





例2： 已知
a1
=2，
a
n1
2a
n
3
n
 n
，试求
a
n
的通项公式.









例3： 设各项均为正数的数列
< br>a
n

的前n项和为
S
n
，对于任意正整数n，都有 等式：








例4： 数列

a
n

中前n项的和
S
n
2na
n
，求数列的通项公式
a
n
.










n

412
a
n
2
n1

，
n1,2,3,
求通项
a
n
；
...
333

例5. 已知数列

a
n
中，
a
1
1
；数列

b
n

中，
b
1
0
。当
n2
时，
11< br>a
n
(2a
n1
b
n1
)
,
b
n
(a
n1
2b
n1
)
，求
a
n
,
b
n
.
33












2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用累加的方 法就可求得
这一数列的通项公式.
类型4 形如
a
n2
pa< br>n1
qa
n
（其中p，q均为常数）的数列的递推公式。
先把原 递推公式转化为
a
n2
sa
n1
t(a
n1sa
n
)
其中s，t满足

例6. 已知数列
a
n

中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n2


stp


stq
21
a
n1
a
n
，求
a
n
。
33











例7： 数列

a
n

中，
a
1
1,a
2
3
，且
a
n2
(n3)a
n1
(n2)a
n
，（n∈ N*），求通项
公式
a
n
.

3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例8： 数列

a
n

中，
a
1










4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
2
例10： 设正项数列

a
n

满足
a
1
1
，
a
n
2a
n1
（n≥2）. 求数列

a
n

的通项公式.









例11： 已知数列
a
n

中，
a
1
2
，n≥2时
a< br>n










1
，前n项的和
S
n
n
2
a
n
，求
a
n1
.
2
7a
n1
3
，求通项公式.
3a
n1
1
求数列前n项之和：

裂项相消法：
即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于


c


其中{
a
n
} 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的

a
n
an1



1

1

数列等。 如：1）

和

（其中

a
n

等差）可裂项为：


a
n
a
n1



a
n
a
n1


111111
()
；2）（根式在分母上时可考虑
(a
n1
a
n
)
。
a
n
a
n1
da
n< br>a
n1
d
a
n
a
n1
利用分母有理化 ，因式相消 求和）

常见裂项公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
1
n(n1)
1
n(nk)
1
n(n 1)(n1)

1
n

1
n1
；
1
(
kn
11
nk
1
)
；

1
(n1)(n2)
[
1
2n(n1)
]；
n
(n1)!

1
n!

1
( n1)!

2
n1n
（5）常见放缩公式：
2(
n 1

n
)
1
n

2
nn1
2(
n

n1
)
.
例12 （2010年东城二模 19改编）已知数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，
S
n1
 4a
n
1
，
设
b
n
a
n1
2a
n
．
（Ⅰ）证明数列

b
n

是等比数列；
（Ⅱ）数 列

c
n

满足
c
n













例13 （2010•四川）已知数列

a
n

满足
a
1
=0，
a
2
=2，且对任意m、n∈N都有
*
1
(nN
*
)
，求
T
n
c
1
c
2
c
2
c
3
c
3
c< br>4
c
n
c
n1
。
log
2
b
n
3
a
2m1
a
2n1
2a
mn1
2(mn)
2

（1）求
a
3
，
a
5
；
*
（2）设
b
n
a
2n1
a
2n1
(n∈N ),证明：{b
n
}是等差数列；
（3）设
c
n
(a< br>n1
a
n
)q













n1
(q≠0，n∈N),求数列{c
n
}的前n项和S
n
．
*

例14 设数列{a
n
}的首项a
1
=1 ，前n项和S
n
满足关系式：3tS
n
－(2t+3)S
n
－
1
=3t(t＞0,n=2,3,4…).
(1)求证：数列{a
n
}是等比数列；
1
(2)设数列{an
}的公比为f(t)，作数列{b
n
}，使b
1
=1,bn
=f()(n=2,3,4…)，求数列{b
n
}
b
n1< br>的通项b
n
；
(3)求和：b
1
b
2
－b
2
b
3
+b
3
b
4
－…+b
2n
－
1
b
2n
－b
2n
b
2n+1
.