祛痤疮方法-郑和下西洋故事

数列
一、基本概念：
1．数列的通项公式：表示数列

a
n

的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式． 数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n1
（或前几项）间的关系的公式．
2、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数。这个常数称为等差
数列的公差．
定义
a
n1
a
n
d(d
为常数
）
或
a
n1
a
na
n
a
n1
(n2)
,其中d为公差.
2< br>等差中项：若
a,A,b
成等差数列，则A叫做
a
与
b
的等差中项，且
A
ab
等差数列的通项公式

a
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN
*
)
；
通项公式的变形：①
a
n
a
m


nm

d

d
a
n
a
m
．
nm
n

a
1
a
n

n

n1
S
d
． 等差数列的前
n
项和：①
n
；②
S
n
na
1

2
2
3、等差数列的性质：
1) 当公差
d0
时，等差数列的通项公式
a
n
a1
(n1)ddna
1
d
是关于
n
的一次函 数，且
斜率为公差
d
；前
n
和
S
n
na
1

项0
2) 当
mnpq
时,则有
a< br>m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
dd
n(n1)
d
n
2
(a
1
)n
是关于
n
的二次函数常数
22
2
a
m
a
n
2a
p

4、等比数列：从 第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等
比数列，这个 常数称为等比数列的公比．
定义
a
n1
aa< br>，其中
q0,a
n
0
或
n1

n(n2)
，
q(q
为常数
）
其中q为公比.
a< br>n
a
n
a
n1
等比中项：在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等
2
比中项．若
Gab
，则称
G
为
a
与
b
的 等比中项．
等比数列的通项公式
a
n
a
1
q

n1

a
1
n
q(nN
*
)
；
q

nm
nm
aaq

通项公式 的变形：①
n
；；④
q
m
a
n
．
am

na
1

q1


等比数列< br>
a
n

的前
n
项和：
S
n


a
1

1q
n

aaq
．
1n


q1


1q
1q
6、等比中项的性质：
*
若

a
n

是等比数列，且
mnpq
（
m
、
n
、
p
、
q
），则
a
m
a
n
ap
a
q
；
若

a
n

是等 比数列，且
2npq
（
n
、
p
、
q
），则
a
n
*
2
a
p
a
q
．
二、基本运算：
1、数列的通项的求法：
1) 公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2) 数列的通项公式与前n项的和的关系 < br>n1

s
1
,
{a}
sa
1
 a
2
La
n
( 数列
n
的前n项的和为
n
)
a
n


ss,n2

nn1
3) 若
a
n1
a
n
f(n)
求
a
n用累加法：
a
n
(a
n
a
n1
)(a
n1
a
n2
)L(a
2
a
1
)
a
1
(n2)
。
a
aaa
4) 已知n1
f(n)
求
a
n
，用累乘法：
a
n< br>
n

n1
L
2
a
1
(n 2)
。
a
n
a
n1
a
n2
a1
。
5)
已知递推关系求
a
n
，用构造法（构造等 差、等比数列）
2、数列求和的常用方法：
1) 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列 求和公式，特别声明：运用等比数列求和公
式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常 用公式：
123Ln
1
n(n1)
，
2
2) 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一
起，再运用公式法 求和.
3) 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联 ，
则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前
n
和公式的 推
导方法）.
4) 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数 列的通项相乘构成，
那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法） .
5) 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
1

1

1
；
n(n1)nn1
1
②

1
(
1

1
)
；
n(nk)knnk
22
2(nn1)
. ⑤
2(n1n)
1

nn1nnn1


题型一：等差、等比数列的基本运算
①

例. 设
S
n
是等差数列

a
n

的前n项和，已知
a
2
3
，
a
6
11
，则
S
7
等于【 】
A．13 B．35 C．49 D． 63

〖例〗已知数列
{a
n
}
是等比数列，且
a
2
a
6
2 a
4
，则
a
3
a
5


A．1 B．2 C．4 D．8

a
2
0，则
S
1
〖例（2010浙江）设
S
1
为等比数列< br>
a
n

8a
2

的前n项和，
S

2

A．－11 B．－8 C．5 D．1



1为等差数列，，则等于
A. -1 B. 1 C. 3
D.7
2如果等差数列

a
n

中，
a
3
+
a
4
+
a
5
=12，那么
a
1
+
a
2
+•…+
a
7
=
A.14 B. 21 C. 28 D.35
3 设数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
n
2
，则
a
8
的值为
A. 15 B. 16 C. 49 D.64
4 在等差数列

a
n
中，
a
1
a
9
10
，则
a5
的值为
A.5 B. 6 C. 8 D.10
5 设
S
n
为等差数列
{a
n
}< br>的前
n
项和，若
S
3
3，S
6
24，则
a
9



数列求和与求通项的方法
1.定义法
：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例1．等差数列

a
n

是递增数列，前n项和为
S
n
，且
a
1
,a
3
,a
9
成等 比数列，求
S
2
5
a
5
．求数列

a< br>n

的通项公式.









。

练一练：已知数列
3
1 111
,5,7,9,
试写出其一个通项公式：__________；
4816 32
1．（2013年高考重庆卷（文））
(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问 6分)
设数列

a
n

满足:
a
11
,
a
n1
3a
n
,
nN

.
(Ⅰ)求

a
n

的通项公式及前
n
项和
S
n
;zhangwlx
(Ⅱ)已知

b< br>n

是等差数列,
T
n
为前
n
项和,且b
1
a
2
,
b
3
a
1
 a
2
a
3
,求
T
20
.











a
n

2.公式法
：已知
S
n
（即
a
1
a
2
La
n
f(n)
）求
a
n
，用作差法：
1．已知数列{
a
n
}的前
n
项和 为
S
n
，且满足
a
n







练一练：①已知
{a
n
}
的前n
项和满足
log
2
(S
n
1)n1
， 求
a
n
；



















S
1
,(n1)

S
n
S
n1
,(n2)
。
1
S
n
1< br> 。求数列{
a
n
}的通项公式；
2

3错位相减法
{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列.
S
n
a
1
b
1
a
2
b
2
La
n
b
n


（2013年高考湖南（文）
设
S
n
为数列{
a
n
}的前项和,已知
a
1
0
,2
a< br>n
a
1
S
1
•S
n
,
nN


(Ⅰ)求
a
1
,
a
2
,并求数列{
a
n
}的通项公式;(Ⅱ)求数列{
na
n
} 的前
n
项和.













4裂项法
常见裂项公式

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分
解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）
（201 3年高考大纲卷（文））
等差数列

a
n

中,
a
7
4,a
19
2a
9
,

(I)求

a
n

的通项公式;
(II)设
b
n














1
, 求数列

b
n

的前n项和S
n
.
na
n

．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
3
0
,
S
5
5
.
(Ⅰ)求
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)求数列
{
1
}
的前
n
项和.
a
2n1
a
2n1









5.累加法
：
若
a
n 1
a
n
f(n)
求
a
n
：
a
n
(a
n
a
n1
)(a
n1
an2
)L(a
2
a
1
)a
1
(n 2)
。
1
1
例3. 已知数列

a
n

满足
a
1

，
a
n1
a
n< br>
2
，求
a
n
。
2
nn












如已知数列
{a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a
n1


1
n 1n
(n2)
，则
a
n
=________ ；

a
n1
aaa
f(n)
求
a
n
，用累乘法：
a
n

n

n1
L< br>2
a
1
(n2)
。
a
n
a
n 1
a
n2
a
1
2
n
例4. 已知数列

a
n

满足
a
1

，
a
n1
a
n
，求
a
n
。
3
n1
6.累乘法：
已知






2
已知数列
{a
n
}
中，
a
1
2
，前
n
项和
S
n
，若
S< br>n
na
n
，求
a
n












7.已知递推关系求
a
n
，用构造法（构造等差、等比数列）。
n
（1）形如
a
n
ka
n1
b
、
a< br>n
ka
n1
b
（
k,b
为常数）的递推数列都 可以用待定系数法
转化为公比为
k
的等比数列后，再求
a
n
。
①
a
n
ka
n1
b
解法
：把原 递推公式转化为：
a
n1
tp(a
n
t)
，其中< br>t
再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列
a
n

中，
a
1
1
，
a
n 1
2a
n
3
，求
a
n
.










练 一练①已知
a
1
1,a
n
3a
n1
2，求
a
n
；



q
，
1 p

倒数法
：形如
a
n

a
n1
的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka
n1
b
例：
a
a
n1
n

3a
,a
1
1

n1
1






5 已知数列

a
1
n

中，a
n
≠０，a< br>1
＝
2
，a
a
n
n1
＝
12a
n

n∈N

）求a
n
（