荣耀路由x1-刻舟求剑故事

裂项相消法
利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， 也有可能
前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前
后等式两边保持相等。
（1）若是{a
n
}等差数列，则
1111111 1
.()
,
.()

a
n
a
n 1
da
n
a
n1
a
n
a
n2
2da
n
a
n2
（2）
111


n（n1）nn1
1111
()

n(nk)knnk
（3）
（4）
1111
()

（2n1（)2n1）22n12n1
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
1
nn1
（5）< br>（6）
n1n


1
(nkn)

k
（7）


1.已知数列
1
nnk
的前n项和为， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为．
[解析] (1) ……………①
时, ……………②
①②得:

第
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即 ……………………………………3分
在①中令, 有, 即，……………………………………5分
故对

2.已知{a
n
}是公差为d的等差数列，它的前n项和为 S
n
，S
4
=2S
2
+8．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅰ）若a
1
=1，设T
n
是数列 {
恒成立的最大正整数m的值；
}的前n项和，求使不等式T
n
≥对所有的 nⅠN*
[解析]（Ⅰ）设数列{a
n
}的公差为d，
Ⅰ S
4< br>=2S
2
+8，即4a
1
+6d=2(2a
1
+d) +8，化简得：4d=8，
解得d=2．……………………………………………………………………4分
（Ⅰ）由a1
=1，d=2，得a
n
=2n-1，…………………………………………5分
Ⅰ =．…………………………………………6分
Ⅰ T
n
=
=
=≥，…………………………………………8分
又Ⅰ 不等式T
n
≥

对所有的nⅠN*恒成立，
第
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Ⅰ ≥，…………………………………………10分
化简得：m
2
-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
Ⅰ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分
3.)已知各项均不相同 的等差数列{a
n
}的前四项和S
4
=14,且a
1
,a< br>3
,a
7
成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅰ)设T
n
为数列的前n项和,求T
2 012
的值.
[答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得
解得d=1或d=0(舍去),Ⅰa
1
=2. (5分)
故a
n
=n+1. (6分)
(3分)
(Ⅰ)==-,(8分)
ⅠT
n
=-+-+…+-=-=. (10分)
ⅠT
2 012
=. (12分)
4.)已知数列{a
n
}是等差数列,
T
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
-=8n+4,设数列{|a
n
|}的前n项和为S
n
,数列的前n项和为
(2)求证:≤T
n< br><1.
[答案] (1)设等差数列{a
n
}的公差为d,则a
n
=a
1
+(n-1)d. (2分)
Ⅰ-=8n+4,
Ⅰ(a< br>n+1
+a
n
)(a
n+1
-a
n
)=d( 2a
1
-d+2nd)=8n+4.

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当n=1时,d(2a
1
+d)=12;
当n=2时,d(2a
1
+3d)=20.
解方程组得或(4分)
经检验知,a
n
=2n或a
n
=-2n都满足要求.
Ⅰa
n
=2n或a
n
=-2n. (6分)
(2)证明:由(1)知:a
n
=2n或a
n
=-2n.
Ⅰ|a
n
|=2n.
ⅠS
n
=n(n+1). (8分)
Ⅰ==-.
ⅠT
n
=1-+-+…+-=1-. (10分)
Ⅰ≤T
n
<1. (12分)
5.已知等差数列{a
n
} 的公差为2,前n项和为S
n
,且S
1
,S
2
,S
4
成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅰ)令b
n
=(-1)
n-1
[答案] 查看解析
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
[解析] (Ⅰ)因 为S
1
=a
1
,S
2
=2a
1
+×2=2 a
1
+2,
S
4
=4a
1
+×2=4a
1
+12,
由题意得(2a
1
+2)
2
=a
1
(4a
1
+12),

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解得a
1
=1,
所以a
n
=2n-1.
(Ⅰ)b
n
=(-1)
n-1
=(-1)
n-1

=(-1)
n-1
当n为偶数时,
.
T
n
=-+…+-
=1-
=.
当n为奇数时,
T
n
=-+…-+++=1+=.
所以T
n
=

6. 已知点的图象上一点，等比数列

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的首项为，且前项和

(Ⅰ) 求数列和的通项公式；
(Ⅰ) 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？
[解析]解：(Ⅰ) 因为，所以，
所以，，
，
又数列是等比数列，所以，所以，
又 公比，所以，
因为，
又，所以，所以，
所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，
所以，当时，，

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所以. （6分）
(Ⅰ) 由(Ⅰ) 得
，（10分）
由得，满足的最小正整数为72. （12分）
7. 在数列
等比数列（
，中，
）.
，，且成等差数列，成
（Ⅰ）求
论；
，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结
（Ⅰ）证明：.
[解析] （Ⅰ）由条件得，
由此可得.
猜测
用数学归纳法证明：
. （4分）
①当时，由上可得结论成立.
②假设当时，结论成立，即，

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那么当时，
所以当时，结论也成立.
由①②，可知对一切正整数都成立.
（Ⅰ）因为.
当时，由（Ⅰ）知.
所以


.
综上所述，原不等式成立. (12分）
8.已知数列的前项和是，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；

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.
7分） （

（Ⅰ）设
的正整数的值．
，，求使成立的最小
[解析] （1） 当时，，由， ……………………1分
当时，
Ⅰ是以为首项，为公比的等比数列． ……………………4分
故 …………………6分
（2）由（1）知，
………………8分


，
故使

成立的最小的正整数的值
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. ………………12分

9. 己知各项均不相等的等差数列{a
n
}的前四项和S
4
=14，且a
1
，a
3
，a
7
成等比数列．
（I）求数列{a
n
}的通项公式；
（II）设T
n
为数列
最小值．
的前n项和，若T
n
≤¨对恒成立，求实数的
[解析] 122. （Ⅰ）设公差为d. 由已知得……………………………3分
解得，所以………………………………6分
（Ⅰ），
………………………………9分
对恒成立，即对恒成立
又
Ⅰ的最小值为……………………………………………………………12分
10. 已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）数列满足，求证：，

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[解析] （Ⅰ）成等差数列, Ⅰ，
，
当时，,
两式相减得： .
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分）
(Ⅰ) ， （8分）
，

. （12分）
11.等差数列{a
n
}各项均为正整数, a
1
=3, 前n项和为S
n
, 等比数列{b
n
}中, b
1
=1, 且b
2
S
2
=64,
{}是公比为64的等比数列.
(Ⅰ) 求a
n
与b
n
;
(Ⅰ) 证明:++…+<.
[答案] (Ⅰ) 设{a
n
}的公差为d, {b
n
}的公比为q, 则d为正整数,
a
n
=3+(n-1) d, b
n
=q
n-1
.
依题意有①

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由(6+d) q=64知q为正有理数, 又由q=知, d为6的因子1, 2, 3, 6之一, 解①得d=2, q=8.
故a
n
=3+2(n-1) =2n+1, b
n
=8
n-1
.
(Ⅰ) 证明:S
n
=3+5+…+(2n+1) =n(n+2) ,
所以++…+=+++…+
=
=<.
12. 等比数列{a
n
}的各项均为正数, 且2a
1
+3a
2
=1,
(Ⅰ) 求数列{a
n
}的通项公式;
=9a
2
a
6
.
(Ⅰ) 设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n
, 求数列的前n项和.
[答案] (Ⅰ) 设数列{a
n
}的公比为q. 由=9a
2
a
6
得=9, 所以q
2
=.
因为条件可知q>0, 故q=.
由2a
1
+3a
2
= 1得2a
1
+3a
1
q=1, 所以a
1
=.
故数列{a
n
}的通项公式为a
n
=.
(Ⅰ) bn
=log
3
a
1
+log
3
a
2< br>+…+log
3
a
n

=-(1+2+…+n)
=-,
故=-=-2,

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++…+=-2++…+=-.
所以数列的前n项和为-.
13.等差数列{a
n
}的各项均为正数,a
1
=3,其前n项和为Sn
,{b
n
}为等比数列,b
1
=1,且
b
2
S
2
=16,b
3
S
3
=60.
(Ⅰ)求a
n
和b
n
;
(Ⅰ)求++…+.
[答案] (Ⅰ)设{a
n
}的公差为d,且d为正数,{b
n
}的公比为q,
a
n
=3+(n-1)d,b
n
=q
n-1
,
依题意有b
2
S
2
=q·(6+d)=16,
b
3
S
3
=q
2
·(9+3d)=60,(2分)
解得d=2,q=2.(4分)
故a
n
=3+2(n-1)=2n+1,b
n
=2
n-1
.(6分)
(Ⅰ)S
n
=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),(8分)
所以++…+
=+++…+
=(10分)
=
=-.(12分)
14.设数列{a
n
}的前n项和S
n
满足:S
n
=na
n
-2n(n-1). 等比数列{b
n
}的前n项和为T
n
,公比为a
1
,且
T
5
=T< br>3
+2b
5
.

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(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为M
n
,求证:≤M
n
<.
[ 答案](1)ⅠT
5
=T
3
+2b
5
,Ⅰb
4+b
5
=2b
5
,即(a
1
-1)b
4
=0,又b
4
≠0,Ⅰa
1
=1.
n≥2时,a
n< br>=S
n
-S
n-1
=na
n
-(n-1)a
n-1
-4(n-1),
即(n-1)a
n
-(n-1)a
n-1
=4(n-1).
Ⅰn-1≥1,Ⅰa
n
-a
n-1
=4(n≥2),
Ⅰ数列{a
n
}是以1为首项,4为公差的等差数列,
Ⅰa
n
=4n-3. (6分)
(2)证明:Ⅰ==·,(8分)
ⅠM
n
=++…+
=
=<,(10分)
又易知M
n
单调递增,故M
n
≥M
1
=.
综上所述,≤M
n
<. (12分)




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