浪漫七夕图片-月球的知识

分数裂项计算



本讲知识点属于计算大板块内容，其实分 数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项 的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本 讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的
前提， 是能力的体现，对学生要求较高。
教学目标
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项 计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的 和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关 系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两 项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形 式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是 1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

11111
【例 1】

。
1223344556
例题精讲

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

11

115
【解析】 原式














12

23
56

166
1111
提醒学生注意要乘以(分母差)分之 一，如改为：，计算过程就要变为：

13355779
1111
11

1





．
13355779

19

2
5
【答案】
6
111
【巩固】
......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】
12
2222
【巩固】


109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】 原式
2



2< br>




4534

91089

310

15
7
【答案】
15
1111
【例 2】



11212312100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和 公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从 第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
112112
代入有

，， ……，

1
(11)1
1212
(12)2< br>23
22
2222120099
原式


 2(1)1
1223341001
99
【答案】
1

101
1111
【例 3】


13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
0
【解析】
(1…）
1 3355799101
50
【答案】
101
111

1

【巩固】 计算：
25



1335572325

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级
1

11111

1

1

25 24


25

1


【解析 】 原式
25

1
12

2

3352325

2

25

225
【答 案】
12

2551
【巩固】

488 1212162000200420042008
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛
251

11111




【解析】 原式



16

12233450050150 1502

21
【答案】
15

32
3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
【解析】 原式


25577229292
1
【答案】
2
11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，101中学
1111
【解析】 原式
（）128

2446681618
4
【答案】
28

9
11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
2
【答案】
5
111111
【巩固】
1

3610152128
【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算
【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛
1111
【解析】 原式
1


1212 312341234567
7
【答案】
4
111111111
【巩固】 计算：

＝

26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛
111111111
【解析】 原式
()

223344556677889910
1
【答案】
10
11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式



255881111141417
5
【答案】
34
1111
【例 5】 计算：

135357 579200120032005
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【解析】 原式

1

11

11







4

1335

3557

11








2001200320032005


1004003
< br>12048045
7
4.50.16
11

11
18
【例 6】






1
133.753.2

3153563

3
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2007年，仁华学校
79161

111
< br>1
18290
【解析】 原式





1
1335577 9

1331.2540.8
3
23
【答案】
36
11111
【例 7】 计算：
123420

261220420
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第五届，小数报，初赛
11

111

【解析】 原式


12320






420

261220
20
【答案】
210

21
11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，学而思杯，6年级，1试
11111
【解析】 原式
20082009201020112012


3 66991212151518
5
【答案】
10050

54
11224
【巩固】 计算：

____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2009年，学而思杯，6年级
1325375117
【解析】原式



26153577
10
【答案】
11
1111111
【巩固】 计算：



3195
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：
32< br>2
113
，
154
2
135
，……，
19514
2
11315
，
1111111
所以原式



13355 77991111131315
7
【答案】
15
19899
【巩固】 计算：

．
26122
【答案】

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2008年，四中
1
1

1

1

【解析】 原式

1



1



1



1



2
6

12

9900

1
【 答案】
98

100
111
【例 8】

123234789
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


n1



n1

11

11



【解析】 首先分析出


n1nnn1

n 1

n

n1

2

n1
n

n1

2


 

原式

【答案】
1

11
11







2

1223

2334

1

11



1







6778

7889


35

144
111


1232349899100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】 原式
()

21223233434989999100
4949
【答案】
19800
1111
【巩固】 计算：

135246357202224
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
1
1
【解析】 原式＝＋＋…+++…+
135357192123
246
20 2224
1111
11
＝(－)＋(－)
41321234
242224
40
652816010465
＝＋＝＋
483
211234
38625
＝
340032
38625
【答案】
340032
4444
【巩固】
......
13 5357939597959799
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】
()()......()()

1335355793 95959795979799
3200
【答案】
9603
9998971
【巩固】

12323434599100101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
991001100
1
100
1
【解析】 ＝＝－＝－
123123123
23
123
23
9810021 002100
1
＝＝－＝－
23423423423423 4
34
9710031003100
1
＝＝－＝－……
345345345345345
45
1100991009910 0
1
＝＝－＝－
991001019910010199100101 9910010199100101
100101
【巩固】 计算：

原式

【答案】
24
111
...(... )

123234345991001012334100101< br>51

101
11111
【例 9】

123423453456678978910
【考点】分数 裂项 【难度】3星 【题型】计算
1

111111


【解析】 原式



3

1232342343 457898910

119
【答案】
2160
333
【巩固】
......
12342 34517181920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111111
【解析】 原式
3[(...)]

31232342343 45171819181920
1139
【答案】
6840
5719
【例 10】 计算：

．
1232348910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那 么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2 ．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数
列(该数列的第
n
个数恰好为n
的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可
以先把原式中每一项的 分子都分成3与另一个的和再进行计算．
3234316
原式

< br>
1232348910
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性 质，可知分子的通项公式为
2n3
，所以
2n3232

，再 将每一项的与
n

n1



n2

n12

n1n

2



n

n





n1



n2

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与 前面的方法相同．
n

n1



n2< br>
【答案】
23

15
571719

）
234345891091011
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级
571719
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同

234345891091011
于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的 分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的 变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知
523
，
734，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
【巩固】 计算：
1155（
所以原式
1155
31
651
．
55
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成 等差数列，而等差数列的
通项公式为
and
，其中
d
为公差．如果 能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开，每一项都
变成两个分 数，接下来就可以裂项了．
112234131

，
1222
31
所以原式
1155651
．
55

（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
31
所以原式
1155651
．
55
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
2n1
（
n2
，3，……，9）
a
n
n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就 是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，就是上面的法一．
【答案】
651

34512
【巩固】 计算：
 
12452356346710111314
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补 上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先
将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即 ：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式< br>


12345234563456710 11121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子 、分母的对称性，
可以用平方差公式：
3
2
154
，
4
2
264
，
5
2
374
…… 3
2
4
2
5
2
12
2
原式



1234523456345671011 121314
75
【答案】
616
12349
【例 11】



223234234523410
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
12349
【解析】 原式



223234234523410< br>3628799
【答案】
3628800
123456
【例 12】

121231234123451234561 234567
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
13141516171
【解析】 原式



121231234123451234561 234567
5039
【答案】
5040
2399
【巩固】 计算：

.
3!4!100!
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
2399
原式



123123412 3100
11
【答案】


2100!
23450
【例 13】

1(12)( 12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
3
4550
【解析】 原式＝＋＋＋＋…＋
13
3 6
610101512251275
11
11111
11274
＝（

）＋（

）＋（

）＋（）＝

366101225
1275131275
1274
【答案】
1275

234100
【巩固】

1(1 2)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
311
211
【解析】 ，，……，


(12) (123)12123
1(12)112
10011
，所以 
(1299)(12100)129912100
1原式
1

12100
5049
【答案】
5050
2310
【巩固】
1
1（12）(12 )(123)(1239)(12310)
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
23410
【解析】 原式
1()

13366104555
1
【答案】
55
111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题 是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab)
，
111111
原式
()()()()()()

24466881010121214
3
【答案】
14
111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1< br>2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
)(1
2
)

23454849
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11113
11124
【解析】
1
2
(1)(1)
，
1
2
(1)(1)
， ……所以，
22222
33333
25
原式



2233494924949
25
【答案】
49
35715
【巩固】 计算：
22

22

22

22

12233478
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
2
7
2
【解析 】 原式

22

22

22

22< br>
12233478
63
【答案】
64
3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固】 计算：
2

．
315
2
17
2
11993
2
11 995
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2

2

2

22

1111
【解析】 原式


1
2


2222< br>3151711993119951

997
【 答案】
997

1996
1
2
3
2
2< br>2
4
2
3
2
5
2
98
2
100
2
【巩固】 计算：
2

2

．
213
2
14199
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
100)

1
2
3
2
102
2
4
2
203
2
5
2
34
104
204344
【解析】
2
，
2

，
2

，……由于
2
，
2
，
2
，
2133184115
88151 5
33
4444
可见原式
2
2

2
2
2
2
2
2
213141991
4751【答案】
198

4950
1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算：

．
13355799101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来 关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
2
2
1
，
4
2
1
，
6
2
1
，……，
100< br>2
1
，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，
所以可以先将 原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
1

2
2< br>4
2
6
2
100
2


2

2

原式


2


2
4

2141611001

63

101
56677889910
【例 15】

56677889910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
5667788991
【解析】
()...()

56677889910
3
【答案】
10
365791113
【巩固】



57612203042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】 原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4

9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
21
【解析】 原式

111115

3457845373857
【答案】
5


【巩固】



3571220283042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
13
【解析】 原式


3573445475667
3
【答案】
3

4
3827
【巩固】



2330123124
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111

11
 
11

11

11

11




















【解析】 原式

23303141

317
< br>717

430

341

431

1
【答案】
2

7


35496377 91105

31
【巩固】


6

12

20

30

42

56

1
8


8





【答案】
12
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算



5791 11315

3


71

8
【解析】 原式




8


61220304256

【答案】
10

5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
23344556677889910
【解析】 原式
1


23344556677889 910
3
【答案】
5
11798175
【巩固】


451220153012
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
【解析】 原式


453445355646
【答案】
3

1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2< br>19
2
20
2
【例 16】

122318191920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
92021919
【解析】 原式
...

21736
2191202 0
19
【答案】
36

20

【巩固】
(......)(......)

12007220062 0062200712008120062200520061
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
2
【解析】 原式=
(...)(...)

200812007220062 007120081200620061
2
=
(...)(... )

200812007220062007120081200620061< br>1220072007
=
(...)(...)

20 0812007220062007120081200620061

=
 [(...)(...)]

26261

=
[(...)(...)]

26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】
2015028
111111
【例 17】 计算：


23459899515299
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算

11
【解析】 原式




24

11
【解析】




24

11
【解析】




24

1

11< br>



98

35

1
11




50

351

11




50

35

1

11


99

5152

1



99


1



98


1

1

1


2
< br>
49

5254

1

11
 

49

2627

1



49



11
【解析】




24

11
【解析】




24

11
【解析】




24

11
【解析】




24

1

11< br>



24

35
1
11




24

35
1

11




12

35
1

11




12

35

1

1

1


2< br>

25

2628

1

11




25

1314
1

11

2


11

141 6
1

11




11
 
78



1

1



48

50

1

1



24

50

1

11



24

5025


1
< br>11



12

5025
1

111

11

111

1

【解析】








2






246

35

81012

5025
1

111

11

111

1

【解析】














246

3 5

456

5025
【解析】
1
【答案】
1149


502550
49

50
24612


335357357911
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
315171131
【解析】 原式



33535735791113
【例 18】 计算：
1

1

【解析】


1

335
【解析】
1
【解析】

【答案】
11

1


357911

335

1



35791113

1

35791113
135134

135135
135134

135135

2
3
2
8
2
4



1719

135357

2
11




171921

122
2

【例 19】 计算：
133557
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
2
3
2
4
2
11
22442< br>9
2
9
【解析】

13535 71719211335355717191921
224
【解析】

133557
12

【解析】 所以原式

1335
2
8
2
9


17191921

22
8
24



1719

133557
2
8
2
9




17191921

2
9
1512133379
【解析】



192113399399

【答案】
379

399