奥数专题——裂项法(一)(含答案)上课讲义

温柔似野鬼°
934次浏览
2021年01月03日 18:54
最佳经验
本文由作者推荐

qq团购深圳-村干部述职报告

2021年1月3日发(作者:朱由检)


奥数专题——裂项法


)(
含答案
)-



学习 好资料
奥数专题一一裂项法(一)
同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通
分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考
111
例如
丄丄


,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它
3 4 12
们的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:
1 1 n 1 n
n n 1 n(n 1) n(n 1)
n 1 n 1
n(n 1) n(n 1)
1 1 1


n n 1 n(n 1)
1 1 1
11

n(n 1) n n 1
下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1.计算:

1 1 1 1
1994 1995 1985 1986 1986 1987 1987 1988
1 1
1
1995 1996 1996 1997 1997
分析与解答:
精品资料



学习 好资料
1 1 1
1985 1986 1985 1986
1 1 1
1986 1987 1986 1987
1 1 1
1987 1988 1987 1988



1 1 1
1994 1995 1994 1995

1
1995 1996
1
1996 1997

1 1
1995 1996
1 1
1996 1997
上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消
变为0,这一来问题解起来就十分方便了。
1 1
1985
1986 1986 1987
1


1

1987 1988
1
1995 1996

1
1996 1997
1997
1 1 1 1
1986
1 1
1987 1988


1

1

1
1996

1985 1986
198
1 1 1
1997 1997 1985
1995 1996

像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其

中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法

2
计算:
J

1 1
12 12
1
3
1 2 3

100
公式的变式
精品资料



学习

好资料
1 2

n n (n 1)

n
分别取1, 2, 3,……

100时,就有
1 2
1 r_2
1 2
r_2
1 2
1 2 3 3 4
1 2
1 2 3 4 4 5
1 2
1 2 …100 100 101
112 12 3 1
2 2 2

1 2 2 3 3 4
2 (
1 1 1
1 2 2 3 3 4
2 (1
11111
2 2 3 3 4
2 (1 )
1
101
100
101
200
101
1

101
2

100
2 2
99 100 100 101
1 1

)
99 100 100 101
1111

)

99 100 100 101
精品资料



学习 好资料
1 1 1

3
.设符号(八…代表不同的自然数,问算式
6
厂—中这
两个符号所代表的数的数的积是多少?
1
1
分析与解:减法是加法的逆运算,
6


()
1
1
一就变成
1
n(n
,与前面提到的等式-
组解,即

1)
相联系'便可找到一
1
42
另外一种方法

n

x

y
都是自然数,且


丄时,
利用上面的变加为减的
y
想法,得算式7
nx y
1
1

这里

是个单位分数,所以




x n t
n
一定大于零,
假定
x n t 0
,则
y
,代入上式得
,即
t
是n
2
的约数,有
n

t
就有
n这一来我们便得到一个比
2
nt




1
n(n
1)
更广泛的等式,即当
牛,是
n
2
的约数时,一定有
n n t n(n t)

又因为y是自然数,所以
t
一定能整除
精品资料



学习 好资料
上面指出当
X n t
,
y L n
,
t
是n
2
的约数时,一定有---,这
t

n 6, n
2

n x y
36
, 36 共有 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 九个约数。

t 1
时,
X
7
, y
42

t 2
时,
X
8
, y
24

t 3
时,
X
9
, y
18

t 4
时,
X
10
, y
15

t 6
时,
X
12
, y
10

t 9
时,
X
15
, y
10

t 12
时,
X
18
, y
9

t 18
时,
X
24
, y
8


t 36
时,
X
42
, y

7
故()和 < >所代表的两数和分别为49, 32, 27, 25。
【模拟试题】(答题时间:20分钟)
二尝试体验:
1.计算:
1 1 1

1 1


1 2 2 3 3 4 98 99 99 100

2.计算

1 1 1

1

1

1 1

1

1 1

1111

3 6 10 15
21 28
36 45 55 66 78 91
3.已知
x

y
是互不相等的自然数,当

1
-时,求
fc
X
y




18 X y

精品资料

120 105



学习 好资料
【试题答案】
1.计算:
1 1
98 99
111
2 2 3
1

99 100
1111
98 99 99 100
100
99
100
2.计算
:
1 1



1
10
3
6

1 1 1
15
21 28
1 1 1 1
36 45 55 66
1 1
78 91
1 1
105
120


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 12 20
30 42 56 72 90
110
132 156
182 210
240
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
(
2 3344556677889 9 10 10 11
1 1 1 1 1
)

)
11 12 12 13 13 14 14 15 15 16



2 2 2

1 1 1
18 x y
3.已知
x

y
是互不相等的自然数,当 一 ——时,求x y
x y的值为:75,81,96,121,147,200,361。
因为18的约数有1, 2, 3, 6, 9,18,共6个,所以有
1 1 1 1 1
18 18 (1 1) 36 36
精品资料



学习 好资料
1

1 2

1 1
18 18
(1 2) 54 27
54 27

81

1
1 3
1 1
18 18
(1 3) 72 24
72 24 96


1 1 6 1 1
18 18
(1 6)
126 21

21 126 147

1
1 9
1 1
18 18
(1 9)
180 20

20 180 200

1 1 18 1 1
18 18
(1 18) 19 342
19 342 36

1

1
2 3
1 1
18 18
(2 3) 45 30
30 45 75


1
2 9
1 1
18 18
(2 9) 99
22
22 99 121

还有别的解法

精品资料

法国葡萄酒等级-学生伤害事故处理办法


二满三平-微晶玻璃


月的诗句-审计报告模板


工程绘图纸-不什么什么什么


国庆检阅-动物大会


鱼和水的故事-模版简历


保健品会销-渲染离别


新疆土特产-地理教学工作总结