奥数专题——裂项法(一)(含答案)上课讲义
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奥数专题——裂项法
(
一
)(
含答案
)-
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奥数专题一一裂项法(一)
同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通
分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考
111
例如
丄丄
丄
,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它
3 4 12
们的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:
1 1 n 1 n
n n 1 n(n 1) n(n 1)
n 1 n 1
n(n 1) n(n
1)
1 1 1
即
—
n n 1 n(n 1)
1 1 1
11
或
n(n 1) n n 1
下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1.计算:
1 1 1 1
1994 1995 1985 1986 1986 1987
1987 1988
1 1
1
1995 1996 1996 1997
1997
分析与解答:
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1 1 1
1985 1986 1985 1986
1 1 1
1986 1987 1986 1987
1 1 1
1987 1988
1987 1988
1 1 1
1994 1995
1994 1995
1
1995 1996
1
1996
1997
1 1
1995 1996
1 1
1996
1997
上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消
变为0,这一来问题解起来就十分方便了。
1 1
1985
1986
1986 1987
1
1
…
1987 1988
1
1995 1996
1
1996 1997
1997
1 1 1 1
1986
1 1
1987 1988
1
1
1
1996
1985 1986
198
1 1
1
1997 1997 1985
1995 1996
像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其
中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法
例
2
计算:
J
1 1
12 12
1
3
1 2 3
…
100
公式的变式
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1 2
…
n n (n 1)
当
n
分别取1, 2, 3,……
,
100时,就有
1
2
1 r_2
1 2
r_2
1 2
1 2 3 3 4
1 2
1 2 3 4 4 5
1 2
1 2 …100 100
101
112 12 3 1
2 2 2
…
1 2 2 3 3 4
2 (
1 1 1
1 2 2 3 3 4
2 (1
11111
2 2 3 3 4
2 (1 )
1
101
100
101
200
101
1
烫
101
2
…
100
2 2
99 100 100 101
1 1
…
)
99 100 100 101
1111
…
)
99 100 100 101
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1 1 1
例
3
.设符号(八…代表不同的自然数,问算式
6
厂—中这
两个符号所代表的数的数的积是多少?
1
1
分析与解:减法是加法的逆运算,
6
一
()
1
1
一就变成
1
n(n
,与前面提到的等式-
组解,即
1)
相联系'便可找到一
1
42
另外一种方法
设
n
、
x
、
y
都是自然数,且
丄时,
利用上面的变加为减的
y
想法,得算式7
nx y
1
1
。
这里
丄
是个单位分数,所以
x n t
n
一定大于零,
假定
x n t 0
,则
y
,代入上式得
,即
t
是n
2
的约数,有
n
个
t
就有
n这一来我们便得到一个比
2
nt
1
n(n
1)
更广泛的等式,即当
牛,是
n
2
的约数时,一定有
n n t n(n t)
又因为y是自然数,所以
t
一定能整除
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上面指出当
X n t
,
y L n
,
t
是n
2
的约数时,一定有---,这
t
里
n 6, n
2
n x y
36
, 36 共有 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 九个约数。
当
t 1
时,
X
7
, y
42
当
t 2
时,
X
8
, y
24
当
t 3
时,
X
9
, y
18
当
t 4
时,
X
10
, y
15
当
t 6
时,
X
12
, y
10
当
t 9
时,
X
15
, y
10
当
t 12
时,
X
18
, y
9
当
t 18
时,
X
24
, y
8
当
t 36
时,
X
42
, y
「
7
故()和 < >所代表的两数和分别为49, 32, 27, 25。
【模拟试题】(答题时间:20分钟)
二尝试体验:
1.计算:
1 1
1
1 1
1 2 2 3 3 4 98
99 99 100
2.计算
1 1 1
1
1
1 1
1
1 1
1111
3 6 10 15
21 28
36
45 55 66 78 91
3.已知
x
、
y
是互不相等的自然数,当
丄
1
-时,求
fc
X
y
。
18 X y
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120 105
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【试题答案】
1.计算:
1
1
98 99
111
2 2 3
1
99
100
1111
98 99 99 100
100
99
100
2.计算
:
1 1
1
10
3
6
1 1 1
15
21 28
1 1 1 1
36 45 55 66
1 1
78 91
1 1
105
120
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 12 20
30 42 56 72 90
110
132 156
182 210
240
1 1 1
1 1 1 1 1 1
2
(
2 3344556677889 9 10 10
11
1 1 1 1 1
)
)
11 12 12 13 13
14 14 15 15 16
2 2 2
1 1 1
18 x y
3.已知
x
、
y
是互不相等的自然数,当 一 ——时,求x y
x y的值为:75,81,96,121,147,200,361。
因为18的约数有1, 2, 3, 6, 9,18,共6个,所以有
1 1 1 1 1
18 18 (1 1) 36 36
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1
1 2
1 1
18
18
(1 2) 54 27
54 27
81
1
1 3
1 1
18 18
(1 3) 72 24
72 24 96
1 1 6 1 1
18 18
(1 6)
126 21
21 126 147
1
1 9
1 1
18 18
(1 9)
180
20
20 180 200
1 1 18 1 1
18
18
(1 18) 19 342
19 342 36
1
1
2 3
1 1
18 18
(2 3) 45
30
30 45 75
1
2 9
1 1
18 18
(2 9) 99
22
22 99 121
还有别的解法
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