1-2-2-1分数裂项.教师版
坚强毅力忍传-小升初语文复习资料
:「 教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时
候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，
列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较
高。
知识点拨
分数裂项
“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法
•
裂项分为分数裂项和整
这样的话，找到相邻两项的相似部分，
数裂项，常
见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母，找出每项分子分
母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间部分消去的过程，
让它们消去才是最根本的。
1
(1)
的，这里我们把较小的数写在前面，即
对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
—形式
a b
，
a b
那么有九
b^
(
a b
)
(2)
对于分母上为
3
个或
4
个连续自然数乘积形式的分数，即:
1
n (n 1) (n 2)
1
n (n 1) (n
2) (n 3)
形式的，我们有:
编辑版
word
1
n (n 1) (n 2)
n (n 1) (n
2) (n 3)
2n (n 1) (n 1)(n
[
2)
]
3
【
n (n 1) (n 2) (n 1) (n ' 2) (n
3)
裂差型裂项的三大关键特征:
（
1
）
分子全部相同，最简单形式为都是
提取出来即可转化为分子都是
1
的，复杂形式可为都是
x（x
为任意自然数
）
的，但是只要将
x
1
的运算。
2
个分母上的因数“首尾相接” （
2
）
分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻
（
3
）
分母上几个因数间的差是一个定值。
、“裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
（1）
ab
a b
1
a b a b b
1
a
2 .2
(2
)
丿
a b
裂和型运算与裂差型运算的对比：
a b
a b a b
a b a b b a
，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,
22
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
编辑版
word
:「
【例
1
】
1
2例题精讲
1 1
1 2 2
3
3 4 4 5
1
1
5 6
2
星
O
【题型】计算
【考点】分数裂项
【难度】
【关键词】美国长岛，
【解析】原式
1
小学数学竞赛
1
1 2
1 1 L
2 3
1 1
5 6
1 1 5
16
6
如改为： —
1 1
1
提醒学生注意要乘以
（
分母差
）
分之一，
，计算过程就要变为:
1 3 3 5
丄丄
5 7 7 9
111
1 9 2 13355779
【答案】
5
6
【巩固】
1
10 11
11 12
10 11
11 12
1
59 60
【难
度】
2
星
11111
(
59 60)10
【题型】计算
【考点】分数裂项
【解析】原式（丄丄）（丄丄）
60 12
【答案】-
12
【巩固】二
L — — ________
10 9 9 8 5 4 4 3
【难度】
2
星 【考点】 分数裂项
【题型】计算
2
【解析】
原式
2
1 1
1 1 L
9
10
8 9
1 1 1 1
4 5 3 4
〕丄工
3 10
15
【答案】
7
15
1 1
1 1 2
【例
2
】
【考点】 分数裂项
1 L L 1
1 2 3 1 2 L
【难度】
3
星
100
【题型】计算
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单
的项开始入手，通过公式
的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的
1
1 (1
2
原式
1 2
99
1
【答案】
101
【例
3
】
1 1
13 3 5
【考点】 分数裂项
2 1 1 2
1
1) 1
1
2
，
1 2 (1 2) 2 2 3
2
2
2 2 1
200 99
2
(
101) 1 -
3 4
100 101
2 3
1
101 101
1
L
5 7
1
【题型】计算
1
99 101
【难度】
2
星
1
【解析】
【答案】
1 1 1
13 3 5 5 7
50
L
99 101
(1
2
1
3 3 5
1 1
1 1
、
99 101
50
) -
101
101
编辑版
word
【巩
固】
计算：
25
1
1 1
5 7
【难度】
L
23
2
星
1
25
【题型】计算
1 3 3 5
迎春杯， 初赛,
【考点】分数裂项
【关键词】
2009
年,
【解
析】
【答
案】
【巩
固】
六年级
原式
25
1
2
1
1
1
1 L
3 3 5
1 1
23 25
1 x 1
25 1 —
2 25
哲色
12
2 25
12
251 251 251
L
4 8 8 12 12 16
【考
分数裂项
点】
【关键词】
2008
年，台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式
251
2000 2004
【难度】
2
星
251
2004 2008
【题型】计算
251
16
251
16
251
16
1 1 1
L
1 2 2 3 3 4
1
1 1 1
丄
L
1 -
2 3 3
4
2
501 501 21
15
502 32 32
1 1
500 501 501 502
1
501
1
502
【答案】
21
15 -
32
【巩固】 计算：
【考点】分数裂项
1
【解析】
原式
3
2 5
2 4 5 6
5 7 7 11 11 16 16 22
【难度】
3
星
7 1
22 29 29
【题型】计算
1 1 1 1 1 1 1 1 11111
2
5 5 7 7 11 11
16 16
22 22 29 29 2
【答案】
1
2
【例
4
】
计算：
1
(-
1 1
8 24 48
1
1 1 1 1
)128
80 120 168 224 288
【题型】计算
【难度】
2
星
【考点】分数裂项
【关键词】
2008
年，
101
中学
【解析】原式(
【答案】
28
4
1
1 1
—L
)
128
2 4 4 6 6 8 16 18
1 1 1 1 1 1
1
、
( )
128 L
2 2
4 4
6 16
18
1
(
-)
64
2 18
4
28
9
9
【巩固】丄丄丄丄丄丄丄丄
6
12 20 30 42 56 72 90
【考点】分数裂项 【题型】计算
【难度】
2
星
【关键词】
2008
年，第六届，走美杯，初赛，六年级
【解析】根据裂项性质进行拆分为:
6 12 20 30 42 56 72 90
编辑版
word
1
111111 1
2 3 34 45 56 67 7889 9 10
1 1 =2
10 5
2
【答案】
2
5
【巩固】
1
I 1
丄
1 1 1
3 6 10
15 21 28
【考点】分数裂项
【题型】计算
【难度】
6
星
【关键词】
2008
年，第
6
届，走美杯,
6
年级，决赛
【解析】原式
12 3 4
1111
2 _ _ _ _
2 2 3 3
【答案】-
【巩固】计算：丄
1 1 1 1 1 1 1 1
【考点】分数裂项
2 6
12
20
【难度】
30
42
3
56 72 90
星
【题型】计算
【关键词】
2006
年,
第
4
届，
+
走
美杯，
6
年级，
Hr
昇 决赛
1
1
1 1
1 1 1 1 1
2
(
2 3 3 4 4 5
5667 78899 10
)
1 1
1 1 1
(--
2
(2
2 3 3
-L
1 1
4
9
和
10
【答案】-
10
【巩固】丄-
1
-
1
10 40 88
154
238
【考点】分数裂项
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】原式
1 1
11111
1 1 1
11 14 14 17
2 5 5 8 8 11
I 11111
1 5
17 34
编辑版
word
4
【解析】原式
2 5 5 8 8
11 11 14 14 17
1 1 1
2 5
1
17
5 8 8 11
5
34
编辑版
word
【答
案】
5
34
【例
5
】计算：
【考点】分数裂项
1
3 5 7
【关键词】
5 7 9
1
【难度】
3
星
2001 2003 2005
1
【题型】计算
2005
年，第
10
届，华杯赛，总决赛，二试
1
1 1
4
F
1 1
2001 2003
2003 2005
【解析】原式丄
1004003
【答
案】
12048045
—4.5 0.1&
18
【例
6
】
1
13 3.75 3.2
3
【考点】分数裂项
【关键词】
2007
年，仁华学校
1004003
2003 2005 12048045
1 1 1 1
3 15 35 63
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】原式
7 9 16 1
1 1 1
18 2 90
1
13 1 3 3 5 5 7
1 3
3 3 1.25 4 0.8
7 1
111
4 6 1 1 1
1
12
2
1 -
7 9
13-
3 3 5
3
46 3
1 8
23
24 4 2 9 =36
【答案】—
36
【例
7
】计算：
【考点】分数裂项
【关键词】第五届，
【解析】原式
1
1 1 1 1 1
L
1-
2- 3 4 - 20
2 6
12 20 420
【难度】
3
星
【题型】计算
小数报, 初赛
2 3
, 1 L 20 -
1
丄丄
2 6 12 20
L —
420
1 1 1 1 1
L
1 2 2
3 3 4 4 5
20
21
丄 丄
210 1
1 1
111,
L
2
2 3 3 4 20 21
1 20
210 1
—
210 —
21 21
210
【答案】
210
20
2
1
【巩固】计算：
2008
丄
2009
18
【考点】分数裂项
【关键词】
2008
年，学而思杯，
1 1
1
2011 —
54
2010
108 180
【难度】
2
星
6
年级，
1
试
1
2012 =
270
【题型】计算
编辑版
word
【解析】原式
2008 2009 2010 2011
2012
1 1111
3 6 6 9 9 12 12 15 15
18
1 1 1 1 1 , 1 1
2010 5 —
9
1 2 2 3
L -
5 6
10050 —
54
【答案】
10050 —
54
【巩固】计算：
-
1 2 2
4
2
6 15
35 77
【考点】分数裂项
【难度】
2
星
【题型】计算
2009
【关键词】年，学而思杯，
6
年级
【解析】原式
II 325375 III
7
2 6 15 35 77
111111111
22335577 11
1 10
11
11
【答
10
案】
11
【巩固】计算：
1
丄丄丄丄丄丄
3 15 35
63 99 143 195
【考点】分数裂项
【题型】计算
【难度】
3
星
【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为
2 2
:
3 2 1 1 3
，
15 4
2
195
14 1 13 15
，
所以原式
1 1 1 1
7 9 9 11 11 13 13 15
1
1 1
1
1
1
L
1
丄丄
2 1 3
2 3 5 2 13 15
1 1 1
7
2 1 15 15
【答案】-
15
【巩固】计算：
1 5 11
19 29 9701
9899
L
6 12
9900
【考点】分数裂项
20 30 9702
【题型】计算
【关键词】
2008
年，四中
【难度】
3
星
1
1 1
【解析】原式
1
1
1 L
2
12
9900
1
II
1
1 2
1 1
2 3 99
100
99 100
2 2 3
编辑版
word
3 5
，
1
1
2 3
2 2 3
99 100
编辑版
word
99
99
1
1
2
99 1
1
100
98
丄
100
1
【例
8
】
L
12 3 2
7 8
【考点】分数裂项
【难度】
【题型】计算
【解
首先分析出
析】
原式
35 144
【答
35
案】
144
【巩
计算:
固】
2 3 4 98 99 100
【考点】分数裂项
【难
3
星
【题型】计算
【解
1
度】
1_
析】
(
1 2
3 4 3 4
98 99
99 100
)
1
99 100
)
4949 4949
2 2 9900
19800
【答
4949
案】
19800
【巩
计算：
L
固】
1 3
2 4 6 3 5 7
20 22 24
【考点】分数裂项
【题型】计算
【解
原式=
—
1
------
【难度】
3
星
析】
1 3 5
1 1 1
)
4 1 3
、
1 ,
=_ ( —
+
(
40 65
21
23 4
28160
= ----- F
483 2112
---
38625
340032
【答
38625
案】
340032
【巩
固】
1 3 5
4
4
93 95
4
97
95 97
4
3 5 7
99
【考点】分数裂项
【难度】
3
星
【题型】计算
【解
1 1 1 1 1 1
析】
3 5
) (
3 5
5 7
)
95 97
) (
95 97
编辑版
word
97 99
)
【答案】
1 1
1 3 97 99
3200
9603
3200
9603
99
【巩固】
1 2 3
【考点】分数裂项
99
【解析】
1 2 3
98
2 3 4
97
98
L
2 3 4 3 4 5
97
1
99
100 101
3
星
【难度】
【题型】计算
【答
案】
100 1 100
1 2
3 1 2 3
100 2 100
2 3 4 2 3 4
100
3
100
3 4 5
3 4 5 3 4 5
1 100 99
99 100 101 99 100 101
100 100 100
1 2 3
100
2 3 4
1 1 1 1
(
2 2
歸)
2
(
1
100 1
2 3
1 2
3
2
3
2 100
1
2 3 4 2 3 4 3 4
3
100 1
3 4 5 3
4 5 4 5
100
100 99
99 100 101 99 100
101 99 100 101 100 101
100 1 1 1
99 100
101 (2 3 3 4
3 4 5
100 101
51
24
101
101
1 1
2 3 4 5 3456
1 1 1 1
1 2 3 2 3
4 2 3 4 3 4 5
1 1
1 2 3 8 9 10
119
2160
7 8 9
【难度】
3
星
[例
9
】—
1 2 3
【考点】分数裂项
【解析】原式-
3
1
3
9
【答案】工
2160
【巩
固】
1 1
6 7 8 9 7 8 9 10
1 1
8 9 10
【题型】计算
【难
【题型】计算
【考点】分数裂项 【解析】原
1
度】
1 1 .
(
1 _ 1 1 2
3 4 2
3 4
... )]
式
3 [1
3 19 20 1
3 4 5
3 2
17 18 19 18 19 20
3
1
1 2 3 18 19 20 18 19 20 6840
1139
1
1139
【答
案】
6840
57
【例
10
】计算：
L 19
1 2
3 2 3 4 8 9 10
【考点】分数裂项 【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目•但是本题中分子不相
同，而是成等差数列，且等差数列的公差为
2
.相比较于
2
,
4
,
6
,
这一公差为
2
的等差数列
（
该数列的第
n
个数恰好为<
br>n
的
2
倍
）
，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大
3
,所以可以先 把原式中每一项的分子都分成
3
与另一个的和再进行计算.
1 2 3 4
3 ___
3
3 4 5……
2
3
17 18 19
3
星
20
原式
3 2
1 2 3
3 4
2 3 4
3 16
8 9 10
编辑版
word
3
1
1 2 3 2
3 4
L
8 9 10
8 9 9 10
— — — L
8
8 9 10
9 10
1 2 9 10
111
3 3 4
2 10
4 60 5
丄丄
2
2 90
2n 3
9 10
23
15
也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
,再将每一项的
2n 3
，所以
n 1 n 2 n n 1 n 2
分别加在一起进行裂项•后面的过程与前面的方法相同.
n n 1 n 2
【答案】空
15
5
19
17
【巩固】计算：
1155
（
L
19
—
)
2 3 4 3 4 5
8 9 10 9 10 11
【考点】分数裂项 【难度】
3
星
【题型】计算
【关键词】
2009
年，迎春杯，初赛，五年级
19
17
【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:
•这
L
个
3 4 5 8 9 10
算
式
不
同
即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
9 10 11
于我们常见的分数裂
项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子
是分母的差或和的情况•所以应当对分子进行适当的变
17
19
形，使之转化成我们熟悉的形式. 观察可知
5 2 3
,
7
8 9 10 9 10 11
9 10
L -
2 3 4 3 4 5 9
10 11
1
1111
3 4 2 4 4 5 10 11 9 11
1 1 1 1
L
10 11
L
9 11
3 4 4
5 2 4
1111
3 5
111,
1
丄丄丄
10 11
2 10
31
所以原式
1155
一
651
•
55
（法二）
1111
3 11 2 3 11 33 2
5 4
31
6
5 33 55
L
8 10 9 11
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法•由于分子成等差数列，而等差数列的
通项公式为
a
nd
，其中
d
为公差•如果能把分子变成这样的形式，再将
变成两个分数，接下来就可以裂项了.
a
与
nd
分开，每一项都
L
17
19
3 4 5 8 9 10 9 10 11
1
3 2
L
1 8 2 1 9 2
8 9 10 9 10 11
1
3 2
L
_1
3 4 5 3 4 5 8 9 10
编辑版
word
8 9 10 9 10 11 9 10 11
1
1
1 1
L
8 9
10 9 10 11
1 1
2 2 2 2
L
3 4 4 5
1111
9 10 10 11
1
10
11
3
4 4 5
1111
2
门
口
V~5
9 10 10 11
1 1
2
3
11
1 1 2 2
3 41 31
12 220 3
11 4 220 55
，
所以原式
1155
1
2
1 1
2 3
10 11
(法三)
651
.
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:
55
5 7 17
19
L
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
5 17 1
1 1
7
1 1
L
2 3 4 4 5 2 8 9
2 2 3 3 4
1
9 10
1
1 1
19
2
9 10 10 11
19 1
2 10 11
5
一
1
23
2 - 72 - 5
31
1
34
- 7
1
19 17
--- L
4 5 2
2
19 1
2 10 11
.
2 1
丄
19 31
12 3 10 220 55
所以原式
1155
9 10
1
9 10
55
(法四)对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳•先找每一项的通项公式:
2n 1 a
n
(
n 2
,
3
,
,
9
)
n(n 1)( n
2)
如果将分子
2n
n
和
n 1
，就是上面的法
1
分成
2n
和
1
,就是上面的法二；如果将分子分成
【答案】
651
3
4
____ 5
12
【巩固】计算：
———— -
L
1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7
2 4 5 2
10 11 13 14
【考点】分数裂项 【难度】
3
星
【题型】计算
5
个连续自然数的乘积，所以可以先
【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是
将每一项的分子、分母都乘以分子中的数•即：
2 2 2
2
4
651
.
原式
3
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
5
L
12
10 11 12 13 14
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性,
可以用平方差公式：
2
22
3 1 5 4
,
4
2
6 4
,
5 3 7 4
严
3
原式 —
2
4
2 3 4 5 6
2 6 4
2 3 4 5 6
1
4 5 6
2 3 4 5 6
2
5
3 4 5
6 7
3 7 4
3 4 5 6 7
1
11 12 13
2
12
2
1 2 3 4 5
1 5 4
1 2 3
4 5
1 _1
2 3 4 3 4
1 2 3 4 5
10 11
12 13 14
10 14 4
10 11 12 13 14
10 11
12 13 14
编辑版
word
【答
案】
【例
11
1 1 1
2 2 3 3 4
1
3 4
1
4 5
1 1
11 12 12 13
1
1 2
3 4
1 1
2
3 4 5 2 3 4 5
1
3 4 5 6
L
1
10 11 12
13
1
11 12 13 14
1
2
1 1
2
3
12
13
1
1
2 3 4
1
14
11 12
13
77 1
1 1 1 1 1
12 2 12 13 24 11 12 13 14 8 11 12 13
75
616
】
1
75
1 1 1 1
14 8 2 11 14 8 308 616
2 2 3
3
2 3 4
4
L
2 3 4 5
【难度】
4
星
9
2 3 4L 10
【题型】计算
分数裂项
【考
原式
点】
2
【解
析】
【答案】
3628799
9
2 3 2 3 4 2 3 4 5
10 1
2 3 4L 10
1
2 3 4L 9
1
2 3 4L 9 10
3628799
3628800
1
2 3 4L 9 10
2 3 4L 10
3628800
】」 J
【例
12
12
【考点】
分数裂项
1
原式
【解析】
【答
案】
【巩
固】
【考
点】
【解
析】
3
【难度】
4
星
4
1 2 3 4 5
5 1
123456
5
【题型】计算
12 3
1
2 3 4
3 1
________6________
1234567
4 1
1
2 1 2 3 1 2 3 4 1
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
3
1
2 3
1 1 1
1 2 1 2 1 2 3 4
5 6 7
1
5
039
1
5
0
4
0 5040
3
计算：
Z L 99
5039
3! 4! 100!
5040
分数裂项
【难度】
4
星
2 3 4 5
1
1
1 2 3 4
L
【题型】计算
原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了.
原式
2
1 2 3
3 1
1 2 3
3
12 3 4
4 1
12 3 4
99
1 2 3 L
100
100 1
1 2 3 L 100
1
L
1
___________________________ 1 _____
1 2 3 4 1
2 3 L 99 1 2 3 L 100
1
_1_
2 100!
编辑版
word
12 12 3 12 3
1 1
12 1
2 3 L 100
1 1
【答案】丄丄
2 100!
2
【例
13
】
1 (1 2)
【考点】分数裂项
2
【解析】原式=
+
1274
【答
案】
1275
【巩
固】
【考
点】
【解
析】
3
(1 2) (1 2 3)
4
(1 2 3) (1
1
2 3 4)
【题型】计算
(1 2 3 L
50
49) (1 2 L 50)
【难度】
3
星
34
5
丄丄
50
+
+
1 3 3 6 6 10 10 15
十…十
1225 1275
1 1
、 ，
1 1
、
1
1
、
, 1
=(- )+ (
1 3 3 6
+
+ (
1
、
)
1274
1275 6 10 1225 1275
4
(
2) (1
2 3)
(1 2 3)
1
3
星
【难
3
(1 2) (1
2 3)
度】
100
L
(1 2 L 99) (1 2 L 100)
【题型】计算
1 (1 2)
分数裂项
(1 2
3 4)
1
1
2
1 (1 2)
(1 2 L
原式
1
100
99) (1 2 L 100)
1
2 L 100
7 2
1 2 3
，
1
2 L
99
1
1
5049
5050
5050
【答
5049
案】
5050
2
3 10
【巩
L
(1 2 3 L 9) (1
2 3 L
固】
1
(
1 2
)
(1 2) (1 2 3)
【考点】分数裂项
【题型】计算
【难度】
2
星
2
3
4 10
【解析】 原式
1
L
45 55
)
(-
1 3 3 6 6 10
,1 1 111,
丄
1
1
1 - L
3 3 6 6 10 45 55
1
【答案】
1
55
【例
14
】亠
10
)
1 1 —
55
1
55
1
2
3 1
5 1
【考点】分数裂项
【关键词】仁华学校
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项:
1 1 1
原式 (—
1
1
2
2
9 1
11
2
1
7 1
【难度】
3
星
1
2
1
13 1
【题型】计算
2
a b
(a
b)
(a
b)
，
2
1 .
1
1
()
()
()
)( )( ) 8 1010 12
12 14
2
4 4 6 6 8 1 1 1 1
1
1 1
6 6 8 8 10
10 12 12 14)
2
丄
1111
(
2 4
1
(
1
1
14
4
编辑版
word
【答案】
3
14
【巩固】
计算：
（1
1 1 1 1 1 1
）
（1
孑）
（1
卩）
（1
5
2
）
L （1
48
2
）（1
49
2
）
【考点】 分数裂项
【难度】
3
星
【题型】计算
-.
1
11
42 8
1
5
249
【巩固】计算：
5 7
15
1 2
2 3 3
2
L
7 8
【考点】分数裂项
【难度】
4
3
星
【题型】计算
2
2 2 2 2
9
2 2
【解析】原式
1
3
2
4 3
8 7
1
3 3 4
,2
L
1
2
_ 2
2
1
7
2
8
2
1
~~2
~~2
1 1
1
~2
2
3 3 4
L
1 1
2
~~2
1
—
1
2
63
7 8
8
64
【答案】—
64
2 2 2
2
【巩固】计算:
3
2
1
5 1 7 1
3
L
1993 1
1995 1
2
1
L
2
【考点】分数裂项
5171
【难度】
3
星
1993 1
1995
【题型】计算
1
【解析】原式
1
2
3
1
2
1
1
2
1 -
2 . . 2
5
2
1
7
2
2
1
2
2
2
1993 1
997
2 4 4 6
L
1994 1996
1 1 1 1 1 1
997
2 4 4
-L
6 1994 1996
997
1 1
997
2 1996
997
1996
【答
997
997
案】
1996
^2 ^2
2
【巩固】
计算
1 3
2
4
2
3
2
5
98
2
100
2
计算：
:
2
2
L
1
3
1
【考分数裂项
【难
4 1
3
99
1
点】
【解
2 2
度】
星
【题型】计算
析】
1 3 10
2
2
4
2 2
2
20
3 5
34
由于
10
2-
,
20
1 3
3
2
1 8 4 1 15 3 3 8
4
2
4 4 4
丿
U
〃
J
、亠7 厶
2
匚
2
L 2
2
9
1
3 1 4 1
99
2
1
2 98 4
1
98 100
196
4 -
1
1 -
1
1
1
1 1 1
2 3 2 4 3 5
L —
98
1
100
编辑版
word
2
2
1995 1
2 3 ,
34
8 15
-
15
196 3 2
9900
198 4751
4950
51
【答案】
198
勺
4950
2
222
1
2 3
50
【巩固】计算：—
99 101
r~5
^7
1 3
3
星
【题型】计算
【难
【考点】分数裂项
度】
但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,
2
2
1
,
4
2
1
,
6
2
1
,……,
100
2
1
，可以发现如果分母都加上
1
,那么恰好都是分子的
4
倍,
所以可以先将原式乘以
4
后进行计算，得出结果后除以
4
就得到原式的值了.
2 2
2
1 1 1
196 2
1 -
2 99 100
199
2
22
4
100
100 1
2
2 1 4 1
1
4
1
-50
4
1
-50
4
1
1
2
1
2 ! 1
1
1
2
1
4 1
1 1
1
2
1
1
6 1
4
63
【答案】
12
101
5
6
【例
15
】
5 6
【考点】分数裂项
5 6
【解析】
5
6
1 3 3 5 5
1 1 1
-1
3 3
2
1
彳
1
50 1
2 101
7 99
101
1 1
1
1 1
L
5 5 7
99 101
1 50
50 -
101
4 101
L
7 7
6 7 7
6
8 8
9 9 10
8 8 9 9 10
【难度】
3
星
【题型】计算
6
7 7 8 8 9 )9 10 1
6 7
7
8
8 9 9 10 5
【答案】-
10
7 9 13
365
【巩固】
11
5 7 6 12 20
30 42
【考点】分数裂项 【难度】
3
星
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
3
6 2
3 3 4 4 5 5
6
【解析】原式
=
5 7 2 3 3 4 4 5 5 6
67
【答案】
4
7 9 10 11 19
【巩固】计算：-
【考点】分数裂项
【答案】
5
3
1 1 1
)(
( ...
)
6 6 7
11113
9 10 5 10 10
【题型】计算
3 6 1 1 1 1 .1 1=
4
572334 6 7
3
8 20 21 24 35
【难度】
3
星
251111
【题型】计算
丄
？
丄
111115
【解析】原式丄总?丄
3457845373857
编辑版
word
【巩固】
123
工
2 11
17
垄
3 5 7 12 20 28 30 42
【考点】分数裂项
【解析】原式
12311111!2113
【难度】
3
星
【题型】计算
3573445475667
1111
3 3 6 6
2 1 2
5 5 5
3 1 3
777
1 1 1
4 4 4
3
3
一
4
1 1 20 10 26
38 27
2 3 30 31 41 51 119 120 123 124
【考点】分数裂项 【难度】
3
星
【题型】计算
【巩固】丄
1 1
【解析】原式
1
1 1 1 1 1 1
1 1
7
1 1 1 1
4
30
1 1
4 31
2 3 30 31 41 3 17
1 1 1 1 1 1 1
2-
7
2
3 3 7 4 3 4
17 3
41
【答案】
2
1
7
【答案】
3
3
4
【考点】分数裂项
【解析】原式
5
【难度】
3
星
11315
【题型】计算
?2!7 18
6 12 20 30 42
56
1 1 1 1
L
11
2 3 3 4 7 8
3
8
11
21 11 10
【答案】
10
35 49 63 77 91 105 3 1
【巩
_ __ ___ __ __ ____ 1 _ _
固】
6
1
12
5
20 30
9
42
11
56 8
17
8
19 7 13 15
计算：
【巩固】
6 12 20 30 42 56 72 90
【难度】
3
星 【考点】分数裂项 【题型】计算
【解析】
原式
1
2 3 3 4 4
5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
2 3 3 4 4 5 5 6 6
1 1 1 1
、
1
1
1 1
( ) ( ) (-
) (
2 3 3 4 4 5 5
1 1
3
1
2 10
5
7 7 8 8 9 9 10
1 1
1
、
，1 1
、
1 1 1 1
、
) ( )( )
( )( )
6 6 7 7 8 8 9 9 10
【答案】
3
5
编辑版
word
1
7 9
8
17 5
4 5 12 20 15
30 12
【考点】分数裂项 【难度】
3
星
【巩固】
1
【题型】计算
111111112 111
【解析】原式-
453445355646
编辑版
word
1
2
1
3
2
3
【答案】
3
2 2
2 2 2 2 2
【例
16
】
1 2
2
2 3
18
18 19
19 19
19
0
0
1 2
2
3
【考点】分数裂项
【难度］
3
星 【题型］计算
【解析】原式
1
2 3 2 3 4
19
18
19 2 0
19 19
2
—
1
2
—
3
4 3 18 19 20 19 1
17
20
36 -
0
19
【答案】
36
19
20
【巩
1 1
1
1 2007 1
固】
(
1 2007
2 2006
... 2006 2
2007
1
)
2008
(
1 2006
2 2005
【考点】分数裂项
【难度】
4
星
【题型】计算
【解析］原式
=
2008
1 1
2007
1
008
(
1
2007
2 2006
2007 1
)
2008
(
1 2006
1
-)
=2008
1 1
2007 1
2006 1
1
2008
(
1
躺)
2008
(
1 2006
-)
2007
2
2006
2006 1
=1 2008 2008
2008
)
1
(
2007 2007
)
(
2008 1 2007 2 2006
2007 1
)
2008
(
1 2006 2006
1
)
1 1 1 1
1
1
[(1
1
2008
2007
2
2006 ...
2007
1)
1
2006
2006
1)]
1 1 1 1 1 1
1
2007
2
2006 ...
2007
1
(1
1
2008
2006
1
2008
1
(
2007
1
2007
1
1
2006
)
2015028
【答
1
案】
2015028
【例
17
］计算:
1_
丄
1
丄
98
99 51
52
99 -----
【考点］分数裂项
【难
5
星
【题型］计算
1
1
1
度］
1
1
1
1
1
【解析］原式
2
4
L
98 3 5
L
99 51 52
L
1
99
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4
L
2
50
3
-L
5 49
2
52 54
L
98
1 1 1 1 1
1 1 1 1
L
50
3
-L
5 49 27
L
2
4
26
49
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
L
2
4 24
3 5
L
25
2
L
26 28
48 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
4
L
24
3 5
L
25 13 14
L
24
50
1 1 1 1 1,
1 1 1 1 1
1
2 4
L
12
3 5
L
11
2
14 16
L -
24 50
25
编辑版
word
1
2006 1
)
1 1
【答案】
1L
12 11
1
12
1
1
50 25
10
12
50 25
4 5 6
49
50 25 50
49
50 25
50
2
】计算：丄
【例
18
【考点】
分数裂项
【解析】
【答案】
135134
135135
【例
19
】计算:
分数裂项
【考点】
3
2
【解析】
【答
案】
12
3 3 5
【难
度】
3 5 7 9 11
4
星
13 1
--------
【题型】计算
3 5 7 9 11 13
1
3 5 7 9 11
1
3 5 7 9 11 13
135134
135135
1
3 5 7 9 11 13
2
5 7
【难度】
11
2
2
17
19
8
2
1 3
5
3
2
3 5 7
【题型】计算
4
2
17 19
21
9
11
1 3 5
2
2
17 19 21
1 3
8
2
2
17 19 19
21
9
2
17
19 19 21
所以原式
2
17 19
9
8
2
8
2
9
17
19 19 21
379
399
2
379
1 512
133
399 19 21 1 3
1
399
+ +…
+
------------------ + ------- +
…
+
----------
3 5 7 19 21 23 2 4 6 20 22 24
1
、
. 1 , 1 1
、
2 4 22 24
+
10465
编辑版
word
340032
1 1
340032
1 1 1
编辑版
word