美女女孩-年三十

数列综合练习（一）
1．等比数列前
n
项和公式：

a
1
1－
qa
1
－
a
n
q


＝
1－
q
(1)公式：
S
n< br>＝

1－
q


na
1

q
＝1
n
q
≠1

.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略
q
＝1的情况．
2．若{
a
n
}是等比数列，且公比
q
≠1，则前
n
项和
S
n
＝.
1－
qq
－1
3．推导等比数列前
n< br>项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前
n
项 和．
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
111
(1)＝－；
nn
＋1
nn
＋1


a
1
(1 －
q
)＝
A
(
q
－1)．其中：
A
＝nn
a
1

一、选择题
1．设
S
n
为等比数列{
a
n
}的前
n
项和，8
a
2
＋
a
5
＝0，则等于( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
2．记等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
＝2，
S
6
＝18，则< br>A．－3 B．5
C．－31 D．33
3．设等比数列{
a
n
}的公比
q
＝2，前n
项和为
S
n
，则等于( )
A．2 B．4
1517
C. D.
22
4 ．设{
a
n
}是由正数组成的等比数列，
S
n
为其前
n
项和，已知
a
2
a
4
＝1，
S
3＝7，则
S
5
等于( )
1531
A. B.
24
3317
C. D. 42
n
5．在数列{
a
n
}中，
a
n
＋1
＝
ca
n
(
c
为非零常数)，且前
n
项和为
S
n
＝3＋
k
，则实数
k
的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
6．在等比数列{a
n
}中，公比
q
是整数，
a
1
＋
a
4
＝18，
a
2
＋
a
3
＝12，则此数列 的前8项和为( )
A．514 B．513 C．512 D．510

二、填空题
n
－1
7．若{
a
n
}是等比数列，且前
n
项和为
S
n
＝3＋
t
，则
t
＝________.
8．设等比数列{
a
n
} 的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
＝1，
S
6
＝4
S
3
，则
a
4
＝______ __.
9．若等比数列{
a
n
}中，
a
1
＝1，
a
n
＝－512，前
n
项和为
S
n
＝－3 41，则
n
的值是________．
10．如果数列{
a
n}的前
n
项和
S
n
＝2
a
n
－1，则 此数列的通项公式
a
n
＝________.
三、解答题
11． 在等比数列{
a
n
}中，
a
1
＋
a
n＝66，
a
3
a
n
－2
＝128，
S
n
＝126，求
n
和
q
.





.
S
5
S
2
S
10
等于( )
S
5
S
4
a
2

12．已知
S
n
为等比数列{
a
n
}的 前
n
项和，
S
n
＝54，
S
2
n
＝60，求
S
3
n
.




n
＋2
13．已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝2－4.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)设
b
n
＝
a
n
·log
2
a
n
，求数列{
b
n
}的前
n
项和
Tn
.



14．已知等差数列{
a
n}满足：
a
3
＝7，
a
5
＋
a
7＝26，{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.
(1)求
a
n
及
S
n
；
1
*
(2)令
b
n
＝
2
(
n
∈N)，求数列 {
b
n
}的前
n
项和
T
n
.
a
n
－1



.
2
n
－1
15．设数列{
a
n
}满足
a
1
＝2，a
n
＋1
－
a
n
＝3·2.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)令
b
n
＝
na
n
，求数列{
b
n
}的前
n项和
S
n
.





1

16．在数列{
a
n
}中，
a
1
＝2，
a
n
＋1
＝
a
n
＋ln

1＋< br>
，则
a
n
等于( )

n

A．2＋ln
n
B．2＋(
n
－1)ln
n
C．2＋
n
ln
n
D．1＋
n
＋ln
n







1
2
17．已知正项数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝(
a
n
＋1)，求{
a
n
}的通项公式．
4






18．(12分)在数列 {
a
n
}中，
a
1
＝1，
a
n
＋ 1
＝2
a
n
＋2.
(1)设
b
n
＝n
－1
.证明：数列{
b
n
}是等差数列；
2
(2)求数列{
a
n
}的前
n
项和．





1
19．(12分)已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
＝1，
a
n
＋1
＝
S
n
(
n
＝ 1,2,3，…)．
2
(1)求数列{
a
n
}的通项公式； 31
n
(2)当
b
n
＝log(3
a
n
＋1
)时，求证：数列{}的前
n
项和
T
n
＝
2
b
n
b
n
＋1
1＋
n
n
an

.习题解答：
4
1. D 解析 由8
a2
＋
a
5
＝0得8
a
1
q
＋
a
1
q
＝0，
S
5
a
1
1＋2
5
∴
q
＝－2，则＝＝－11.
S
2
a
1
1－2
2
2. . 答案 D
a
1
1－
q
6
1－
q
S
6
解析 由题意知公比
q
≠1，＝
S
3
a
1
1－
q
3
1－
q
3
＝1＋
q
＝9，
a
1
1－
q
10
1－
q
S
10
5
∴
q
＝2，＝＝1＋
q

5
S
5
a
1
1－
q
1－
q
5
＝1＋2＝33.
3.答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义，
S
4
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＝＋a
2
＋
a
2
q
＋
a
2
q，
a
2
q
2
S
4
115
2
得＝＋1＋
q
＋
q
＝.
a
2
q
2
a
1
1－
q
4
方法二
S
4
＝，
a
2
＝
a
1
q
，
1－
q
4< br>S
4
1－
q
15
∴＝＝.
a
2
1－
qq
2
4. 答案 B
解析 ∵{a
n
}是由正数组成的等比数列，且
a
2
a
4
＝1，
2
∴设{
a
n
}的公比为
q
，则
q
>0，且
a
3
＝1，即
a
3
＝1.
1 1
∵
S
3
＝7，∴
a
1
＋
a
2< br>＋
a
3
＝
2
＋＋1＝7，
qq
即6
q
－
q
－1＝0.
11
故
q
＝或
q
＝－(舍去)，
23
1
∴
a
1
＝
2
＝4.
2< br>q
1
1－
5
2
131
＝8(1－
5
)＝.
124
1－
2
5. 答案 C
解析 当
n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝3＋
k
， nn
－1
当
n
≥2时，
a
n
＝
Sn
－
S
n
－1
＝(3＋
k
)－(3＋
k
)
nn
－1
n
－1
＝3－3＝2·3.
由题 意知{
a
n
}为等比数列，所以
a
1
＝3＋
k＝2，
∴
k
＝－1.

6.答案 D
解析 由< br>a
1
＋
a
4
＝18和
a
2
＋
a
3
＝12，
4
∴
S
5
＝



a
1
＋
a
1
q
＝18
得方程组

2

a
1
q
＋
a
1
q
＝12

3


< br>a
1
＝2
，解得


q
＝2
8

a
1
＝16


或

1
q
＝


2

.
2
∵
q
为整数，∴
q
＝2，
a
1
＝2，
S
8< br>＝
2－1
9
＝2－2＝510
2－1
1
7.答案 －
3
n
解析 显然
q
≠1，此时应有
S
n
＝
A
(
q
－1)，
1
n
1
又
S
n
＝·3＋
t
，∴
t
＝－.
33
8.答案 3
3
a
1
1－
q
64·
a
1
1－
q
33
解析
S
6＝4
S
3
⇒＝
⇒
q
＝3(
q
＝1不合 题意，舍去)．
1－
q
1－
q
3
∴
a
4
＝
a
1
·
q
＝1×3＝3.
9.答案 10
a
1
－
a
n
q
1＋512
q
解析
S
n
＝，∴－341＝，
1－
q
1－
q
n
－1
n
－1
∴
q
＝－2，又∵
a
n＝
a
1
q
，∴－512＝(－2)，
∴
n
＝10.
n
－1
答案 2
解析 当
n
＝1时，
S
1
＝2
a
1
－1，∴
a< br>1
＝2
a
1
－1，∴
a
1
＝1.
当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－
S< br>n
－1
＝(2
a
n
－1)－(2
a
n
－1
－1)
∴
a
n
＝2
a
n
－1，∴{
a
n
}是等比数列，
n
－1*
∴
a
n
＝2，
n
∈N.




a
1
a
n
＝128，
11. 解 ∵
a
3
a
n
－2
＝
a
1
a
n
，∴
a
1
a
n
＝128，解方程组



a
1
＋
a
n
＝66，



a
1
＝64，
得


a
n
＝2，




a
1
＝2，
① 或


a
n
＝64.


②
a
1
－
a
n
q
1
，可得
q
＝， < br>1－
q
2
n
－1
由
a
n
＝
a
1
q
可解得
n
＝6.
a
1
－
a
n
q
将②代入
S
n
＝，可得
q
＝2，
1－
q
将①代入
S
n
＝
1
可解得
n
＝6.故
n
＝6，
q
＝或2
2
12. 解 方法一 由题意
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
成等比数 列，
182
2
∴6＝54(
S
3
n
－60)，∴
S
3
n
＝.
3
a
1
1－
q
n
方法二 由题意得
a
≠1，∴
S
n
＝＝54 ①
1－
q
a
1
1－
q
2
n
S
2n
＝＝60 ②
1 －
q
101
a
1
9×54
a
1
1－
q
3
n
9×541182
nn
由②÷①得1＋
q
＝， ∴
q
＝，∴＝， ∴
S
3
n
＝＝(1－
3
)＝.
991－
q
81－
q
893
n
＋2
13.解 (1)由题意，
S
n
＝2－4，
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－1
＝2
n
＋2
－2
n
＋1
＝2
n
＋1
，
3当
n
＝1时，
a
1
＝
S
1
＝2－4＝ 4，也适合上式，
n
＋1*
∴数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝2，
n
∈N.
n
＋1
(2)∵< br>b
n
＝
a
n
log
2
a
n
＝(
n
＋1)·2，
234
nn
＋1
∴
T
n
＝2·2＋3·2＋4·2＋…＋
n
·2＋(
n
＋1)·2， ①
345
n
＋1
n
＋2
2
T
n
＝2·2＋3·2＋4·2＋…＋
n
·2＋(
n
＋1)·2. ②
由
a
n
＝
a
1
q
n
－1

②－①得，
T
n
＝－2
3
－2
3
－2
4
－2
5
－…－2
n
＋1
＋(
n
＋1)·2
n
＋2

3
n
－121－2
3
n
＋233
n
－1
n
＋2
＝－2－＋(
n
＋1)·2 ＝－2－2(2－1)＋(
n
＋1)·2 1－2
n
＋23
n
－1
n
＋2
n
＋2
n
＋2
＝(
n
＋1)·2－2·2 ＝(
n
＋1)·2－2＝
n
·2.

14.解 (1)设 等差数列{
a
n
}的首项为
a
1
，公差为
d
.


a
1
＋2
d
＝7，
因为
a
3
＝7，
a
5
＋
a
7
＝26，所以< br>


2
a
＋10
d
＝26，
1




a
1
＝3，
解得


d
＝2.

所以
a
n
＝3＋2(
n
－ 1)＝2
n
＋1，
S
n
＝3
n
＋
2
nn
－1
2
×2＝
n
＋2
n
.
2所以，
a
n
＝2
n
＋1，
S
n
＝n
＋2
n
.
(2)由(1)知
a
n
＝2
n
＋1，
1111
所以
b
n
＝
2
＝＝·
2
a
n
－12
n
＋1－14
nn
＋1
1

1

1
＝·

－

，
4

nn
＋1

111111
所以
T
n
＝ ·(1－＋－＋…＋－)
4223
nn
＋1
11
n
＝·(1－)＝，
4< br>n
＋14
n
＋1
即数列{
b
n
}的前
n
项和
T
n
＝
n

4
n
＋1

2
n
－12
n
－3
15.解 (1)由已知，当
n
≥1时，
a
n
＋1
＝[(
a
n
＋1
－
a
n
)＋(
a
n
－
a
n
－1
)＋…＋(
a
2
－
a
1
)]＋
a
1
＝3(2＋2＋…＋2)＋2＝
2(
n
＋1)－1
2.
2
n
－1
而
a
1
＝2，符合上式，所以数列{
a< br>n
}的通项公式为
a
n
＝2.
2
n
－1< br>(2)由
b
n
＝
na
n
＝
n
·2知
S
n
＝1·2＋2·2
3
＋3·2
5
＋…＋
n
·2
2
n
－1
， ①
23572
n
＋1
从而2·
S
n
＝1·2＋2 ·2＋3·2＋…＋
n
·2. ②
23 52
n
－12
n
＋1
①－②得(1－2)
S
n＝2＋2＋2＋…＋2－
n
·2，
1
2
n
＋1
即
S
n
＝[(3
n
－1)2＋2]．
9
16.答案 A

1

解析 ∵
a
n
＋1
＝
a
n
＋ln

1＋

，
n

n
＋1

1

∴
a
n
＋1
－
a
n
＝ln

1＋

＝ ln＝ln(
n
＋1)－ln
n
.
n

n

又
a
1
＝2，
∴a
n
＝
a
1
＋(
a
2
－
a< br>1
)＋(
a
3
－
a
2
)＋(
a4
－
a
3
)＋…＋(
a
n
－
a
n
－1
)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln
n
－ln(
n
－1)]＝2＋ln
n
－ln 1＝2＋ln
n
.

1
2
17. 解 当
n
＝1时，
a
1< br>＝
S
1
，所以
a
1
＝(
a
1
＋1)，
4
解得
a
1
＝1.
111
2222
当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n
－S
n
－1
＝(
a
n
＋1)－(
a
n< br>－1
＋1)＝(
a
n
－
a
n
－1
＋ 2
a
n
－2
a
n
－1
)，
444
22
∴
a
n
－
a
n
－1
－2(
a
n
＋
a
n
－1
)＝0，
∴(
a
n
＋
a
n
－1
)(
a
n
－
a< br>n
－1
－2)＝0.
∵
a
n
＋
a
n
－1
>0，∴
a
n
－
a
n
－1
－2＝0.
∴
a
n
－
a
n
－1
＝2.
∴{
a
n
}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴
a
n
＝1＋2(
n
－1)＝2
n
－1.
n
18解：(1)证明 由已知
a
n
＋1
＝2
a
n
＋2，

得
b
n
＋1
＝＝
n
－1
＋1＝
b
n
＋1.
222
∴
b
n
＋1
－
b
n
＝1，又
b
1
＝
a
1
＝1.
∴{
b
n
}是首项为1，公差为1的等差数列．
n
a
n
＋1
2
a
n
＋2
＝
n< br>n
a
n
(2)解 由(1)知，
b
n
＝
n
，.
2
12
n< br>－1
∴
S
n
＝1＋2·2＋3·2＋…＋
n
·2 < br>12
n
－1
n
两边乘以2得：2
S
n
＝1· 2＋2·2＋…＋(
n
－1)·2＋
n
·2，
12
n－1
n
两式相减得：－
S
n
＝1＋2＋2＋…＋2－
n
·2
nnn
＝2－1－
n
·2＝(1－
n
)2－1，
n
∴
S
n
＝(
n
－1)·2＋1.
n< br>－1
a
n
＝
b
n
＝
n
.∴
a
n
＝
n
·2
n
－1
1
a
＝S
，


2
19解、：(1)解 由已知

1
a
＝


2
S
n
＋1
n
nn
－1

(
n
≥2)，
3
得
a
n
＋1
＝
a
n
(
n
≥2)．
2
3
∴数列{
a
n
}是以
a
2
为首项，以为公比的 等比数列．
2
111
又
a
2
＝
S
1＝
a
1
＝，
222
3
n
－2
∴a
n
＝
a
2
×()(
n
≥2)．
2
1，
n
＝1，


∴
an
＝

13
n
－2
×，
n
≥2.

2

2


3333
n
－1
(2)证明
b
n
＝log(3< br>a
n
＋1
)＝log[×()]＝
n
.
2222
1111
∴＝＝－.
b
n
b
n
＋1
n
1＋
nn
1＋
n
1111
∴
Tn
＝＋＋＋…＋
b
1
b
2
b
2
b< br>3
b
3
b
4
b
n
b
n
＋1
11111111
＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
122334
n
1＋
n
1
n
＝1－＝
1＋
n
1＋
n