小学奥数-整数裂项
春晚2019-安徽高考作文题
小学奥数--整数裂项
对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难
求出结果的。如果算式中每一项的排列都
是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂
项法就是一种行之有效的巧算和简算方
法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每
个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂
变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
后延减前伸 差数除以N
例1、
计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100
分析：这个算式实际上可以看
作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分
别相乘，再求所有
乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）
2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）
3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）
4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）
……
98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）
99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）
将以上算式的
等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化
为（99×1
00×101-0×1×2）÷3。
解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
=（99×100×101-0×1×2）÷3
=333300
例2、
计算3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101
分析：这个算式实际上也可以看作是
：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别
相乘，再求所有乘积的和
。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。
3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）
5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）
7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）
……
97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）
99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）
将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。
解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101
=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）
=1029882÷6
=171647
例3、
计算1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋96×97×98＋97×98×99
分析：这个
算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分
别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。
1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）
2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）
3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）
……
96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）
97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）
右边累加
，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。
解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99
=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）
=23527350
例4、 计算10×16×22＋16×22×28＋……＋70×76×82＋76×82×88
分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。
解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）
=2147376
通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数
相乘，再把所有的乘
积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一
项向前伸展一个数，
用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
将以上叙述可以概括一个口
诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差
数除以N。N取什么值，两
数相乘积。公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以
取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后
面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
例5、 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
分析：n×n=(n-1)×n+n
解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
=1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99）+（99×100+100）
=（1×2+2×3+……+98×99+99×100）+（1+2+3+……+99+100）
=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2
=333300+5050
=338350
例6、
计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100
分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n
解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100
=2+（2×
4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+……+（96×98+98）+（98×100+100）
=（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100）+（2+4+6+8+……+98+100）
=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2
=169150
例7、
计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100
分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n
解：1×1×1+2×
2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100
=1+（1×2×3
+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）
=（1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101）+（1+2
+3+……+99+100）
=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2
=25492400
例8、 计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101
解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101
=（1×3+3×5+……+99×101）+（2×4+4×6+……+98×100）
=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6
=171650+166600
=338250
例9、
计算1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）
解：1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）
=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2
=（1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2
=（100×101×102÷3）÷2
=171700
将上面的口诀继续编写是：前
延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂
项。式长要转化，类比解决它
。口诀需熟记，灵活靠练习。
练习题：
1、
计算1×4+4×7+7×10+……+94×97+97×100
2、
计算2×4×6+4×6×8+……+94×96×98+96×98×100
3、
计算5×5×5+6×6×6+7×7×7+……+65×65×65
4、
计算3+（3+6）+（3+6+9）+……+（3+6+9+12+……+300