裂项相消法求和附答案
提高口语表达能力-团队凝聚力
裂项相消法
利用列项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,
也有可能
前面剩两项,后面剩两项,再就是通项公式列项后,有时需要调整前面的系数,使列项前
后等式两边保持相等。
(1)若是{a
n
}等差数列,则
1111111
1
.()
,
.()
a
n
a
n
1
da
n
a
n1
(2)
111
n(n1)
n
n1
(3)
11
n(nk)
k
(
1
n
1
nk
)
(4)
1
(2n1()2n1)
1
2
(1
2n1
1
2n1
)
(5)
1111
n(n1)(n2)
2
[
n(n1)
<
br>(n1)(n2)
]
(6)
1
nn1
n1n<
br>
(7)
11
nnk
k
(nkn)
1.已知数列的前n项和为, .
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和为.
[解析] (1) ……………①
时,
……………②
a
n
a
n2
2da
n
a
n2
①②得:
即 ……………………………………3分
在①中令, 有, 即,……………………………………5分
故对
2.
已知{a
n
}是公差为d的等差数列,它的前n项和为S
n
,S
4<
br>=2S
2
+8.
(Ⅰ)求公差d的值;
(Ⅱ)若a
1=1,设T
n
是数列{}的前n项和,求使不等式T
n
≥对所有的n∈N
*恒成立的最大
正整数m的值;
[解析](Ⅰ)设数列{a
n
}的公差为d,
∵ S
4
=
2S
2
+8,即4a
1
+6d=2(2a
1
+d)
+8,化简得:4d=8,
解得d=2.……………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由a1
=1,d=2,得a
n
=2n-1,…………………………………………5分
∴ =.…………………………………………6分
∴ T
n
=
=
=≥,…………………………………………8分
又∵
不等式T
n
≥对所有的n∈N*恒成立,
∴
≥,…………………………………………10分
化简得:m-5m-6≤0,解得:-1≤m≤6.
∴ m的最大正整数值为6.……………………………………………………12分
3.)已知
各项均不相同的等差数列{a
n
}的前四项和S
4
=14,且a
1<
br>,a
3
,a
7
成等比数列.
2
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设T
n
为数列的前n项和,求T
2 012
的值.
[答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)
解得d=1或d=0(舍去),∴a
1
=2. (5分)
故a
n
=n+1. (6分)
(Ⅱ)==-,(8分)
∴T
n
=-+-+…+-=-=. (10分)
∴T
2
012
=. (12分)
4.)已知数列{a
n
}是等差数列,-=8n+
4,设数列{|a
n
|}的前n项和为S
n
,数列的前n项和为T
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求证:≤T
n
<1.
[答案] (1)设等差数列{a
n
}的公差为d,则a
n
=a
1
+(n-1)d. (2分)
∵-=8n+4,
∴(a
n+1
+a
n
)(a
n
+1
-a
n
)=d(2a
1
-d+2nd)=8n+4.
当n=1时,d(2a
1
+d)=12;
当n=2时,d(2a
1
+3d)=20.
解方程组得或(4分)
经检验知,a
n
=2n或a
n
=-2n都满足要求.
∴a
n
=2n或a
n
=-2n. (6分)
(2)证明:由(1)知:a
n
=2n或a
n
=-2n.
∴|a
n
|=2n.
∴S
n
=n(n+1).
(8分)
∴==-.
∴T
n
=1-+-+…+-=1-. (10分)
∴≤T
n
<1. (12分)
5.已知等差数列{a
n
}
的公差为2,前n项和为S
n
,且S
1
,S
2
,S
4
成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)令b
n
=(-1),求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
[答案] 查看解析
[解析] (Ⅰ)因为S
1
=a
1
,
S
2
=2a
1
+×2=2a
1
+2,
S
4
=4a
1
+×2=4a
1
+12,
由题意得(2a
1
+2)=a
1
(4a
1
+12),
解得a
1
=1,
所以a
n
=2n-1.
(Ⅱ)b
n
=(-1)=(-1)
=(-1).
当n为偶数时,
T
n
=-+…+-
=1-
=.
当n为奇数时,
T
n
=-+…-+++=1+=.
所以T
n
=
n-1
n-1n-1
2
n-1
6.
已知点的图象上一点,等比数列的首项为,且前项和
(Ⅰ) 求数列和的通项公式;
(Ⅱ)
若数列的前项和为,问的最小正整数是多少
[解析]解:(Ⅰ) 因为,所以,
所以,,
,
又数列是等比数列,所以,所以,
又 公比,所以,
因为,
又,所以,所以,
所以数列构成一个首项为1,公差为1的等差数列,,
所以,当时,,
所以. (6分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得
,(10分)
由得,满足的最小正整数为72. (12分)
7.
在数列,中,,,且成等差数列,成等比数列().
(Ⅰ)求,,及,,,由此归纳出,的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:.
[解析] (Ⅰ)由条件得,
由此可得.
猜测. (4分)
用数学归纳法证明:
①当时,由上可得结论成立.
②假设当时,结论成立,即,
那么当时,
.
所以当时,结论也成立.
由①②,可知对一切正整数都成立. (7分)
(Ⅱ)因为.
当时,由(Ⅰ)知.
所以
.
综上所述,原不等式成立. (12分)
8.已知数列的前项和是,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,求使成立的最小的正整数的值.
[解析] (1) 当时,,由,
……………………1分
当时,
∴是以为首项,为公比的等比数列.
……………………4分
故 …………………6分
(2)由(1)知,
………………8分
,
故使成立的最小的正整数的值.
………………12分
9. 己知各项均不相等的等差数列{a
n
}的前四项和S4
=14,且a
1
,a
3
,a
7
成等比数列.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)设T
n
为数列的前n项和,若T
n
≤¨对恒成立,求实数的最小值.
[解析] 122. (Ⅰ)设公差为d. 由已知得……………………………3分
解得,所以………………………………6分
(Ⅱ),
………………………………9分
对恒成立,即对恒成立
又
∴的最小值为……………………………………………………………12
分
10.
已知数列前项和为,首项为,且,,成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(II)数列满足,求证:,
[解析] (Ⅰ)成等差数列, ∴,
,
当时,,
两式相减得: .
所以数列是首项为,公比为2的等比数列,. (6分)
(Ⅱ) , (8分)
,
.
(12分)
11.等差数列{a
n
}各项均为正整数,
a
1
=3, 前n项和为S
n
, 等比数列{b
n
}中,
b
1
=1, 且b
2
S
2
=64,
{}是公比为64的等比数列.
(Ⅰ)
求a
n
与b
n
;
(Ⅱ) 证明:++…+<.
[答案] (Ⅰ) 设{a
n
}的公差为d,
{b
n
}的公比为q, 则d为正整数,
a
n
=3+(n-1)
d, b
n
=q.
依题意有①
由(6+d)
q=64知q为正有理数, 又由q=知, d为6的因子1, 2, 3, 6之一, 解①得d=2,
q=8.
故a
n
=3+2(n-1) =2n+1,
b
n
=8.
(Ⅱ) 证明:S
n
=3+5+…+(2n+1)
=n(n+2) ,
所以++…+=+++…+
=
=<.
12.
等比数列{a
n
}的各项均为正数,
且2a
1
+3a
2
=1,
=9a
2
a
6
.
(Ⅰ)
求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ) 设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3a
n
, 求数列的前n项和.
n-1
n-1
[答案] (Ⅰ)
设数列{a
n
}的公比为q. 由=9a
2
a
6
得=9,
所以q=.
因为条件可知q>0, 故q=.
由2a
1
+3a
2
=1得2a
1
+3a
1
q=1,
所以a
1
=.
故数列{a
n
}的通项公式为a
n
=.
(Ⅱ) bn
=log
3
a
1
+log
3
a
2<
br>+…+log
3
a
n
=-(1+2+…+n)
=-,
故=-=-2,
++…+=-2++…+=-.
所以数列的前n项和为-.
13.等差数列{a
n
}的各项均为正数,a
1
=3,其前n项和为S
n
,{b
n
}为等比数列,b1
=1,且
b
2
S
2
=16,b
3
S
3
=60.
(Ⅰ)求a
n
和b
n
;
(Ⅱ)求++…+.
[答案]
(Ⅰ)设{a
n
}的公差为d,且d为正数,{b
n
}的公比为q,
a
n
=3+(n-1)d,b
n
=q,
依题意有b
2
S
2
=q·(6+d)=16,
b
3
S
3
=q·(9+3d)=60,(2分)
解得d=2,q=2.(4分)
故a
n
=3+2(n-1)=2n+1,b
n
=2.(6分)
(Ⅱ)S
n
=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),(8分)
所以++…+
n-1
2
n-1
2
=+++…+
=(10分)
=
=-.(12分)
14.设数列{a
n
}的前n项和S
n
满足:S
n
=na
n
-2n(n-1)
. 等比数列{b
n
}的前n项和为T
n
,公比为
a
1,且T
5
=T
3
+2b
5
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为M
n
,求证:≤M
n
<.
[
答案](1)∵T
5
=T
3
+2b
5
,∴b
4+b
5
=2b
5
,即(a
1
-1)b
4
=0,又b
4
≠0,∴a
1
=1.
n≥2时,a
n<
br>=S
n
-S
n-1
=na
n
-(n-1)a
n-1
-4(n-1),
即(n-1)a
n
-(n-1)a
n-1
=4(n-1).
∵n-1≥1,∴a
n
-a
n-1
=4(n≥2),
∴数列{a
n
}是以1为首项,4为公差的等差数列,
∴a
n
=4n-3. (6分)
(2)证明:∵==·,(8分)
∴M
n
=++…+
=
=<,(10分)
又易知M
n
单调递增,故M
n
≥M
1
=.
综上所述,≤M
n
<. (12分)