题1 已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

4

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：

5

所以

.
练习、求值：


四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其 合并即可.
[
例
7] 求数列的前n项和：
11,
111
4,
2
7,,
n1
3n2
，…
aaa
111
解：设
S
n
(11)(4)(
2
7)(
n1
3n2)

a
aa
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
(1
111

2

n1
)(1473n 2)

（分组）

a
a a
(3n1)n(3n1)n
当a＝1时，
S
n
n
＝
（分组求和）

22
6

1
n
(3n1)n
a a
1n
(3n1)n
a

当
a1
时，S
n

＝

1
a12
2
1a
1
[
例
8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32
解：设
a
k
k(k1)(2k1)2k3kk
∴
S
n


k(k1)(2k1)
＝

(2k
k1k1
nn
3
3k
2
k)

将其每一项拆开再重新组合得
S
n
＝
2

k1
3
n
k3

k

k

（分组）

32
k1k1
33222
nn
＝< br>2(12n)3(12n)(12n)

n
2
(n1)
2
n(n1)(2n1)n(n1)

＝
（分组求和）

222
n(n1)
2
(n2)
＝
2

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解
（裂项）
如：
sin1


tan(n 1)tann
（1）
a
n
f(n1)f(n)
（2）

cosncos(n1)
(2n)
2
111
111
1()


（3）
a
n

（4）
a
n

(2n1)(2n1)22n12n1
n(n 1)nn1
（5）
a
n

1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
n212(n1)n11 11

n

n
,则S1

n
n (n1)
2
n(n1)
2n2
n1
(n1)2
n
(n1)2
n
(6)
a
n

（7）
a
n

1111
()

(AnB)(AnC)CB AnBAnC
1
nn1
n1n
（8）
a
n



7

[
例
9] 求数列
1
12
,
1
23
1
,,
1
nn1
,
的前n 项和.
解：设
a
n

nn1
1

 n1n

（裂项）

1
则
S
n

1


（裂项求和）

1223nn1
＝
(21)(32)(n1n)

＝
n11

[
例
10] 在数列{a
12n
n
}中，
a
n

n1

n1
 
n1
，又
b
2
n

a
，求数列{b< br>n
}的前n项的和.
n
a
n1
解： ∵
a
1
n

n1

2
n1
< br>n
n1

n
2

∴
b
211
n

nn1
8(
n

n1
)

（裂项）
2

2
∴ 数列{b
n
}的前n项和

S
1111
n
8[(1
2
)(
2

3
)(
3

1
)(
1< br>4n

1
n1
)]

（裂项求和）
＝
8(1
1
n1
)
＝
8n
n1

[
例
11] 求证：
111cos1

cos0

cos1


cos1

cos2

 
cos88

cos89


sin
2< br>1


解：设
S
1
cos0

c os1


1
cos1

cos2

 
1
cos88

cos89


∵
sin1

cosn

cos(n1)

tan(n 1)

tann


（裂项）
∴
S
111
cos0

cos1


cos1

cos2


c os88

cos89


（裂项求和）
＝
1
sin1

{(tan1

tan0

)(tan2

tan1
< br>)(tan3

tan2

)[tan89

tan88

]}

＝
1
sin1

(tan89tan0)
＝
sin1

cot1

＝
cos1


1
sin
2
1


∴ 原等式成立


8

答案：


六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的 性质，因此，在求数列的和时，可将这
些项放在一起先求和，然后再求S
n
.
[
例
12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S
n
＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵
cosncos(180n)

（找特殊性质项）

∴S
n
＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90°
（合并求和）

＝ 0
[
例
13] 数列{a
n
}：
a
1
1 ,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1a
n
，求S
2002
.
解：设S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
200 2

由
a
1
1,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1
a
n
可得

a
4
1,a
5
3,a
6
2,

a
7
1,a
8
3,a
9
2,a
10
1,a
11
3,a
12
2,

……
a
6k1
1,a
6k2
3,a
6k3
 2,a
6k4
1,a
6k5
3,a
6k6
 2

∵
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4
a
6k5
a
6k6
0

（找特殊性质项）

∴ S2002
＝
a
1
a
2
a
3
 a
2002

（合并求和）


9

＝
(a< br>1
a
2
a
3
a
6
)(a7
a
8
a
12
)(a
6k1< br>a
6k2
a
6k6
)

 (a
1993
a
1994
a
1998
)a< br>1999
a
2000
a
2001
a
2002< br>
＝
a
1999
a
2000
a
2001
a
2002

＝
a
6k1
a
6k 2
a
6k3
a
6k4

＝5
[
例
14] 在各项均为正数的等比数列中，若
a
5
a< br>6
9,求log
3
a
1
log
3
a2
log
3
a
10
的值.
解：设
S
n
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10

由等比数列的性质 mnpqa
m
a
n
a
p
a
q

（找特殊性质项）

和对数的运算性质
log
a
Mlog
a
Nloga
MN
得
S
n
(log
3
a
1
log
3
a
10
)(log
3
a
2
log
3
a
9
)(log
3
a5
log
3
a
6
)

（合并求和）

＝
(log
3
a
1
a
10
)(log
3
a
2
a
9
) (log
3
a
5
a
6
)

＝
log
3
9log
3
9log
3
9

＝10




七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后 再利用数列的通项揭示的规律来
求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[
例
15] 求
1111111111
之和.



n个1
解：由于
111



1
k个1
11
9999(10
k
1)

（找通项及特征）


99
k个1
n个1
∴
1111111111




＝< br>1
1
111
(101)(10
2
1)(10
3
1)(10
n
1)

（分组求和）

9999
1
1
1
(10102
10
3
10
n
)(1

1

1

1)


99
n个1
10
＝

110(10
n
1)n

＝

91019
＝
1
(10
n1
109n)

81

8
,求

(n1)(a
n
a
n 1
)
的值. [
例
16] 已知数列{a
n
}：
a
n

(n1)(n3)
n1
解：∵
(n1) (a
n
a
n1
)8(n1)[
11
]

（找通项及特征）

(n1)(n3)(n2)(n4)
＝
8[
11
]

（设制分组）

(n2)(n4)(n3)(n4)
＝
4(

1111
)8()

（裂项）

n2n4n3n4

1111
)8

()

（分组、裂项求和）
∴

(n 1)(a
n
a
n1
)4

(
n4n4
n1n1
n2
n1
n3
＝
4(
＝

1
3
11
)8

44
13

3
提高练习：

1．已知数列

a
n

中，
S
n
是其前
n
项和 ，并且
S
n1
4a
n
2(n1,2,L),a
1< br>1
，
⑴设数列
b
n
a
n1
2a< br>n
(n1,2,)
，求证：数列

b
n
是等比数列；
⑵设数列
c
n

a
n
,(n 1,2,)
，求证：数列

c
n

是等差数列；
2
n







2
2．设二次方程
a
n
x-
a
n
+1
x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用
a
n
表示a
n1
；








11

< br>*
3．数列

a
n

中，
a
18,a
4
2
且满足
a
n2
2a
n1
a
n

nN

⑴求数列

a
n

的通项公式；
⑵设
S
n
|a
1
||a
2
||a
n
|
，求
S
n
；


12