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(1) 裂项相消求和
把数列的通项拆成两项之差再求和,正负相消剩下首尾若干项. 常见的拆项
公式:
111
＝
n
－

n×(n＋1) n＋1
1
1

＝(n＋k －n )
k
n＋k＋n
2
n
11
＝ －
(2
n
－1)(2
n
＋
1
－1) 2
n
－12
n
＋
1
－1

特别提醒： < br>(1)裂项相消法就是把数列的每一项分裂成一正一负的两项，使得相加后，
前后的项与项之间能 够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次相消，有的是
间隔相消．在正负项抵消后，是否只剩下第一 项和最后一项，或有时前面剩下两
项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点．
(2 )一般地，若{a
n
}为等差数列，则求数列{
1
}的前n项和可尝试此方法 ，
a
n
a
n
＋
1
a
n
＋
1
－a
n
111d1
事实上，＝＝＝
d
·(
a－)．
a
n
a
n
＋
1
da
n
a
n
＋
1
da
n
a
n
＋
1a
n
＋
1
n
如求
1111
＋ ＋ ＋…＋ ＝ ？
2×4 3×5 4×6 (n＋1)×(n＋3)
解：
∵
∴
1111
＝
2
( － )
(n＋1)×(n＋3) n＋1 n＋3
1111
＋ ＋ ＋…＋
2×4 3×5 4×6 (n＋1)×(n＋3)
1111111111
＝
2
[(
2
－
4
)＋(
3
－
5
)＋(
4
－
6
)＋…＋(
n
－ )＋( －
n＋2 n＋1
1
)]
n＋3
11111
＝
2
(
2
＋
3
－ － )
n＋2 n＋3
2 n＋5
5
＝
12
－
2(n＋2)×(n＋3)
1

[例1]
(2011课标Ⅰ)等比数列{a
n
}的各项均为正数，且2a
1
＋3a
2
＝1，a
2
3
＝9a
2
a
6
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设b

1


n
＝log
3
a
1
＋log< br>3
a
2
＋…＋log
3
a
n
，求数列



b
n



的前n项和．

解：
(1)设数列{a
n
}的公比为q.
由a
2
3
＝9a
2
a
6
得a
2
3
＝ 9a
2
4
，所以q
2
＝
1
9
.
由条件可知q>0，故q＝
1
3
.
由2a1，所以a
1< br>1
＋3a
2
＝1得2a
1
＋3a
1
q＝1
＝
3
.
故数列{a
1
n
}的通项公式为a
n
＝
3
n
.
(2)b
n
＝log
3
a
1
＋log
3
a
2
＋…＋log
3
a
n

＝－(1＋2＋…＋n)
＝－
n(n＋1)
2
.
故
1
n
＝－211
b
n(n＋1)
＝－2(
n
－
n＋1
) ，
11
b
1
＋
b
2
＋…＋
1
b
n

＝－2[(1－
111
＋…＋(
11
2
)＋(
2
－
3
)
n
－
n＋1
)]
＝－
2n
n＋1
.
所以数列{
12n
b
n
}的前n项和为－
n＋1
.





2

[练1]
(2013课标全国Ⅰ,17,0.466).已知等差数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
3
＝0,S
5
＝－5.
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{

解：
（1）设等差数列{a
n
}的公差为d，
1
a
2n
－
1
●

a
2n
＋
1
}的前n项和.

3a
1< br>＋3d＝8
∵前n项和S
n
满足S
3
＝
0，S
5
＝－
5，∴

5×4
5a＋

1
2
d＝－5
解得a
1
＝1，d＝－1．
∴a
n
＝1－(n－1)＝2－n．
（2）
1
a
2n
－
1
●

a
2n
＋
1
＝
1111
＝
2
(－)，
(3－2n)×(1－2n) 2n－3 2n－1

，
1
∴数列{}的前n项和
a
2n
－
1
●

a
2n
＋
1
1111
＝
2
[(－1－1) ＋(1－
3
)＋(
3
－
5
)＋…＋ (
签。
错误!未定义书签。
11
＝
2
(－1－)
2n－1
＝





n
．
1－2n
11
－)]错误!未定义书
2n－3 2n－1
3

[练2]已知数列{a
n
}是递增的 等比数列，且a
1
＋a
4
＝9，a
2
a
3
＝8.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)
设
S
n
为数列
{a
n
}
的前n项和，
b
n
a
n1
，求数列{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
S
n
S
n1

解:
（1）∵数列{a
n
}是递增的等比数列，且a
1
＋ a
4
＝9，a
2
a
3
＝8．
∴a
2
a
3
＝a
1
a
4
＝8．
解得a
1
＝1，a
4
＝8或a
1
＝8，a< br>4
＝1（舍），
解得q＝2，
即数列{a
n
}的通 项公式a
n
＝2
n
－
1
；
a
1
(1－q
n
)
（2）Sn＝ ＝2
n
－1
1－q
S
n+1
－S
n
a< br>n+1
11
∴b
n
＝
SS
＝
SS
＝
S
－ ，
S
n
＋
1
nn+1nn +1n
111111
∴数列{b
n
}的前n项和T
n
＝(< br>S
－
S
)＋(
S
－
S
)＋…＋(
S
－ )
S
n
＋
1
1223n
11
＝
S
－
S
n
＋
1
1
＝1－
[思维发散]
利用< br>

S
1
，n＝1，
a
n
＝


S
n
－S
n
－
1
，n≥2
1
．
2
n
＋
1
－1

.
通过纽带：a
n
＝S
n
－S
n
－
1 (n≥2)，根据题目求解特点，消掉一个a
n
或S
n
.然后再进
行构造成等差或者等比数列进行求解.
如需消掉S
n
，利用已知递推式，把n换成n－1得到递推式，两式相减即可. 若消掉a
n
，只需把a
n
＝S
n
－S
n
－
1
带入递推式即可.
不论哪种形式，需要注意公式a
n
＝S< br>n
－S
n
－
1
成立的条件n≥2

21
[练1]若数列{a
n
}的前n项和为S
n
＝
3
a
n
＋
3
,则{a
n
}的通项公式是a
n
＝______.
答案： (－2)
n
－
1





4

[练2]设
S
n
为数列{
a< br>n
}的前n项和，且a
1
＝－1，a
n
＋
1
＝S
n
S
n
＋
1
,则S
n
＝


答案：－
1
n



例2.
(2015课标Ⅰ
,
0.624）S
n
为数列{ a
n
}的前n项和.已知a
n
＞0，a
n
2
＋2a
n
＝4S
n
＋3.
（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式：
（Ⅱ）设b
1
n
＝
a
n
a
,求数列{b
n
}
n＋1

的前n项和.


解:
（Ⅰ）由a
n
2
＋2a
n
＝4S
n
＋3可知
当n＝1时，a
1
2
＋2a
1
＝4S
1
＋3＝4a
1
＋3，因为a
n
>0，所以a
1
＝3，
当n≥2时，a< br>n
－
1
2
＋2a
n
－
1
＝4Sn
－
1
＋3两式相减得
a
n
2
－a
n
－
1
2
＋2(a
n
－a
n
－
1
)＝4a
n

即(a
n
＋a
n
－
1
)(a
n
－a
n
－
1
)＝2(a
n＋a
n
－
1
)，因为a
n
>0，所以a
n－a
n
－
1
＝2，
所以数列{a
n
}是首项为3，公差为2的等差数列，
通项公式为a
n
＝2n＋1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b＝
11111
n
a
n
a
n＋1

＝
(2n＋1)(2n＋3)
＝
2
(
2n＋1
－
2n＋3
)
所以数列{
b
n
}前n项和
b
1
b
2
Lb
n


＝
11111
2
[(
3
－
5
)＋(
5
－
7
)＋…＋ (
1
2n＋1
－
1
2n＋3
)]错误!未定义书签。
＝
1
1
1
2
(
3

－
2n＋3
)
＝
1
1
6

－
4n
＋6








5

1[2020唐山高三二模]
已知S
n
是数列{a
n
}的前n项和，S
n
＋1
＝3S
n
＋1，a
1
＝1.
(Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式：
（Ⅱ）若b
1
n
＝log
3
a
2n
，c
n
＝
b
n
b
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
＋
1



6

练

练2[2017唐山一模]
已知数列{a
n
}为单调递增数列，S
n
为其的前n项和，2 S
n
＝a
n
2
＋n
(Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式：
a
n
＋
2< br>1
（Ⅱ）若b
n
＝
n
＋
1
, T
n
为数列{b
n
}的前n项和，证明: T
n
<
2

2•a•a
nn
＋
1


7

(2)错位相减法
如 果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成
的，那么这个数列的前n项和即可 用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此
法推导的．

特别提醒：用乘公比错位相减法求等比数列的和时，应注意：
(1) 在写出“S
n
”与“q·S
n
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准
确 写出“S
n
－q·S
n
”的表达式；
(2) “S
n－q·S
n
”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是
n－ 1项，一般是n－1项．


用错位相减法解决数列求和的步骤：
第一步 ：(判断结构)若数列{a
n·
b
n
}是由等差数列{a
n
}与等比数列{b
n
}(公比q)的对应
项之积构成的，则可用此法求和．
第二步：(乘公比)设{a
n
·b
n
}的前n项和为T
n
， 然后两边同乘以q.
第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有
然后两边同时作差．
第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T
n







q
k
(k∈N
*
)的项对齐，
8

[例1]已知a
n
＝(2n
－1
)•3< br>n
，求数列{a
n
}的前n项和S
n
.

解法1：错位相减法

解：
S
n
＝
1
•3
1
＋
3
•3
2
＋
5
•3
3< br>＋…＋(2n
－3
)•3
n
－
1
＋(2n
－ 1
)•3
n
，①
3S
n
＝
1
•3
2
＋
3
•3
3
＋
5
•3
4< br>＋ … ＋(2n
－3
)•3
n
＋(2n
－1
)•3
n
＋
1
，②
①
－
②
－2S
n
＝
1
•3
1
＋
2
•3
2
＋
2
•3
3
＋…＋2•3
n
－(2n
－1
)•3
n
＋
1

＝
1
•3＋
2
•3
2
(1－3
n
－
1
)
－(2n
－1
)•3
n
＋
1－3
1


＝
1
•3＋3
2
(3
n
－
1
－1) －(2n
－1
)•3
n
＋
1


＝－6＋(2－2n)•3
n
＋
1


∴S
n
＝3＋(n－
1
)•3
n
＋
1


解法2：
利用公式求解
a
n
＝(2n
－1
)• 3
n
＝(6n
－3
)•3
n
－
1
＝(an ＋b)•q
n
－
1

a＝6, b＝－3
, q
＝3
A＝
a
q－1
＝
6
3－1
＝3, B＝
b－A－3－3
q－1
＝
3－1
＝－3 ,C＝－B＝3
∴S
n
＝(An＋B) q
n
＋C
＝(3n－3) •3
n
＋3
＝(n－
1
)•3
n
＋
1
＋3
[总结]
第一步：把通项统一化成：c
n
＝(an＋b)•q
n
－
1
．
第二步：把前n项和化成：S
n
＝(An＋B) q
n
＋C
第三步：套公式即可：A＝
a
q－1
，B＝
b－A
q－1
，C＝－B
第三步公式记不住的，可这样求A,B



S
1
＝(A＋B) •3－B＝3

3A＋2B＝3

A

S＝3＋
3
•3
2

整理为


18A＋8B＝30

解得

＝3

B＝－3


2
＝(2A＋B) •3
2
－B



9

解法3：
裂项相消解错位相减

令
a
n
＝(2n
－1
)•3
n
＝[k(n＋
1
) ＋b]•3
n
＋
1
－
(kn＋b)•3
n
右式＝[2kn＋(3k＋2b)]•3
n
整理后与左式比较
∴


2k＝2


k＝1

3k＋2b＝－1
解得


b＝－2


∴a
n
＝(2n
－1
)•3
n
＝(n－
1
)•3
n
＋
1
－
(n－2)•3
n
∴S
n
＝[0•3
2
－(－1)•3
1
] ＋(1•3
3
－0•3
2
) ＋(2•3
4
－1•3
3
) ＋(3•3
5
－2•3
4
)
＋…＋[(n－
1
) •3
n
＋
1
－
(n－2)•3
n
]
＝(n－
1
)•3
n
＋
1
＋3


10

11

[例3]已知a
n
n
＝
3
n，求数列{a
n
}的前n项和S
n
.

解：
S
123
＋
n－1
n
n
＝
3
＋
3
2
＋
3
3
＋…
3
n
－
1
＋
3
n
，
1
3
S
n
＝
1
3
2
＋
2
n－1
n
3
3
＋ … ＋
3
n
＋
3
n
＋
1
，
两式相减得
2
S
111
…＋
1n
3
n
＝< br>3
＋
3
2
＋
3
3
＋
3
n< br>－
3
n
＋
1

1
(1－
1
33
n
)
＝－
n
1

3
n
＋
1

1－
3

＝
11n
2
－
2×3
n
－
3
n
＋
1
，
∴S＝
31n
n
4
－
4×3
n－
1
－
2×3
n

＝
3
2n＋3
4
－
4×3
n
.

解法2：
利用公式求解
a＝
n
＝(
11
n3
n
3
n＋0)•
3
n
－
1
＝(an ＋b)•q
n
－
1

a＝
1
, q
＝
1
3
, b＝0
3

1
3
0－(－
1
A＝
a
q－1
＝ ＝－
1
b－A
2
)
3

12
, B＝
q－1
＝
1
＝－
4

3
－1
3
－1
∴S
n
＝(An＋B) q
n
＋C
＝(－
1
n－
31
24
) •(
3
)
n
＋
3
4

＝
3
2n＋3
4
－
4×3
n
.




,C＝－B＝
3
4
12

解法3：
裂项相消解错位相减
令
a
n
k (n＋1)＋bkn＋
n
＝
3
n
＝
3
n
＋
1
－
b
3
n

化简比较左右
3n
－2kn＋(k－
3
n
＋
1
＝
2b)
3
n
＋
1


3
∴


－2k＝3

k－2b＝0

解得

k＝－

2


b＝－
3
4


－
3
＋1) －
333
∴a
n
＝
2
(n
4
－
2
n－
4
n
＝
3
n< br>3
n
＋
1
－
3
n


－
3
×2 －
3
∴S
24
－
3
1 －
3
2
×－
333
2－
3
42
×3 －< br>4
－
2
×
n
＝(
3
2
－
3
1
)＋(
3
3
－
4
3
2
)
－
3
(n＋1) －
333
…＋(
24
－
2
n－
＋
4
3
n
＋
1
－
3
n
)
－
3333
2
(n＋1) －
4
－
2
×1－
＝
3
n
＋
1
－
4
3< br>1



＝
3
－
2n＋3
4
4×3
n
.










13

[2020唐山高三期末]

解：
（1）在S
n
＝2
n
＋
1
－2中，
令n＝1，得a
1
＝S
1
＝2
1
＋
1－2＝2，
当n≥2时，S
n
－
1
＝2
n
－2，
则 a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝2
n< br>＋
1
－2
n
＝2
n
．
又因为a
1
＝2符合上式，
所以，a
n
＝2
n
．
（2）由（1）得b
n＋1n＋1
n
＝
a
n
＝
2
n
， 则
T
2 3 n
n＋1
n
＝
2
＋
4
＋…＋
2
n
－
1
＋
2
n
①，则
1
2
T
n
＝
2
4
＋
3
8
＋…＋
n
n＋1
2
n
＋
2
n< br>＋
1
②，
①－②，得
1
2
T
n
＝1＋
1
4
＋
1
8
＋…＋
1
n＋1
3
n＋3
2
n－
2
n
＋
1
＝
2
－
2
n＋
1
，
则T
n＋3
n
＝3－
2
n．



解法2：
利用公式求解





解法3：
裂项相消解错位相减






…4分
…12分
14

(2020·石家庄模拟)
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且2S
n
＝3a
n
－1
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)设b＝
n
n
a
n

，求数列{b
n
}的前n项和T
n
解：(Ⅰ)由2S
n
＝3a
n
－1 ①
2S
n
－
1
＝3a
n
－
1
－1 ②(n≥2)
①－②得2a－3a
a
n
n
＝3a
nn－
1
，∴
a
n
＝3，…………………3分
－
1
又当n＝1时，2S
1
＝3a
1
－1，即a
1
＝1，
∴{a
n
}是首项为1，公比为3的等比数列，∴ a
n
＝3
n
－
1
．…………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得：b
n
n
＝
3
n
－
1

∴T
1 2 3
…＋
n
n
＝
3
0
＋
3
1
＋
3
2
＋
3
n
－
1
，…………………③
1
＝
1 2
n－1
n
3
T
n
3
1
＋
3
2
＋…＋
3
n
－
1
＋
3
n
，…………④…………………8分
③－④得：
2
T
1 1 1
…＋
1 n
3
n
＝
3
0
＋
3
1
＋
3
2
＋
3
n
－
1
－
3
n
… ……………10分
1－
1
＝
3
n
n 3
2n＋3
1－
1
－
3
n
＝
2
－
2×3
n

3
∴T＝
9
6n＋9
n
4
－
4×3
n
． ……………………………………………12分

解法2：
利用公式求解





解法3：
裂项相消解错位相减









15

[练2]已知{a
n
}是递增的等差数列，a
2< br>，a
4
是方程x
2
－5x＋6＝0的根.
．．
（I）求{a
n
}的通项公式；

a

（II）求数列

n
的前n项和.
n


2


解法2：
利用公式求解





解法3：
裂项相消解错位相减


16