工伤事故分析报告-函数及其表示

用裂项法求数列的前n项和
一、教学目标：
(1)知识与技能：
会根据通项公式选择求和的方法，并能运用裂项法求数列的前n项。
(2)过程与方法：
①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；
② 通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同
层次的学生的能力都 能得到提高。
(3)情感、态度与价值观：
①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；
②通过对 数列通项和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善
于总结的良好思维习惯；
③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。
二、教学重点、难点：
教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点学习裂项法求和。
教学难点：如何裂项，裂项是否与原式相等以及余项的特征
三、教法设计：
本节课 设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切
入点，引导学生进行探索 、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析
需要解决的问题，在例题及变式中巩固 相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理
解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探 索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：
①诱导思维法：使学生对知识进行主动 建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥
其创造性；
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；
③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
教 学 步 骤
一、复习引入
回忆数列求和的方法：
1.公式法；
2.分组求和；
3.裂项相消法；


教师提问，师生一起回
顾





教 学 活 动 设计意图
充分发挥学生
学习的能动性,
以学生为主体,
展开课堂教学

通过学生对几

4.错位相减法；
5.并项求和法；
6.倒序相加法。
二、引入
裂项法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 是
将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一
些项，最终达到求和的目的。
常见的裂项求和：
1111

1
－
1

a
n
＝＝－
⇒a
n
＝＝

n

n ＋k


n(n＋1)
n
n＋1n(n＋k)
k

1
111
a
n
＝＝－
n(n＋1)(n＋2)n(n＋1 )(n＋1)(n＋2)
a
n
＝
1
n＋n＋1
＝n＋1－n ⇒a
n
＝
1
n＋n＋k
1
＝(
k
n＋1< br>






教师提问，学生回答


种常见的求和
方法的归纳、总
结
,简单回忆各方法的应用背景.
把遗忘的知识
点形成了一个
完整的知识体
系
－n)
三、例题精讲
3
【例】已知数列{a
n
}的前n 项和为S
n
满足：S
n
＝a
n
＋n－3．
2
（1）求证：数列{a
n
－1}是等比数列；
（2）令c
n
＝log
3
(a
1
－1)＋log
3
(a2
－1)＋…＋log
3
(a
n
－1)，令d
n
1
＝，求数列{d
n
}的前n项和T
n
.
c
n
3
解：（1）∵S
n
＝a
n
＋n－3
2
3
∴当n≥2时，S
n
－
1
＝a
n－
1
＋n－4
2
33
两式相减得：a
n
＝a
n
－a
n
－
1
＋1，即a
n
＝3a
n
－
1
－2
22






题目投影
堂，积极思考
学生先思考一段时间，
然后提问学生，理清思
路
















让学生参与课

法一（构造法）：∴a
n
－1＝3(a
n
－
1
－1)
3
又当n＝1时， S
1
＝a
1
－2，则a
1
＝4
2
∴数列{a
n
－1}是以3为首项，3为公比的等比数列
an
－13a
n
－
1
－2－1
法二（定义法）：∴＝＝3
a
n
－
1
－1 a
n
－
1
－1
3
又当n＝1时，S
1
＝a
1
－2，则a
1
＝4
2
∴数列{a
n
－1}是以3为首项，3为公比的等比数列
（2）由（1）得a
n
－1＝3
n
，于是log
3
(a< br>n
－1)＝n
n(n＋1)
∴c
n
＝1＋2＋…＋n＝
2








展示解法，强调细节
证明数列的两
种方法，拓展思
路。

1
－
1

∴d
n
＝＝2

n


n＋1

n(n＋1)
2
∴T
n
＝d
1
＋d
2
＋…＋d
n
－
1
＋d
n
1

11


1
－
1

1
－
1


＝2

1－
2

＋2

2
－
3

＋＋…＋2


n

＋2

n

n－1

n＋ 1


1－
1
＋
1
－
1
＋…＋< br>1
－
1
＋
1
－
1

1－
1

＝2

＝2


223
n－1nn
n＋1


n＋1

四、变式训练




既关注全体学
生，也关注个体
学生的学习情
况，同时暴露学
生可能产生的
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
问题
1
1.已知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝
2
，它的前n项和为S
n
，
第1题学生自述解题思
n＋3n ＋2
路
则S
2018
＝ .
2．等差数列{a
n
}中，2a
1
＋3a
2
＝11，2a
3
＝a
2
＋a
6
－4，其前n
项和为S
n
.



第2题学生板演

1
（2）设数列{ b
n
}满足b
n
＝，其前n项和为T
n
，求证：
S
n
＋
1
－1
3
T
n
＜(n∈N
*
).
4
五、归纳小结
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的
比、归纳
大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有的特点


易错点：
面了解学生对
本堂课的接受
情况,另一方面
培养学生的归
纳总结能力。使
知识系统化,条
理化。
六、巩固强化
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，有2S
n
＝n2
＋n (n∈N
*
).
特征
(1)求数列的通项公式a
n
；
n＋1


教师引导学生观察、对
启发、引导学生
归纳总结,一方

巩固强化裂 项相消法的
通过巩固训练,
达到引起学生
积极思维的目
的,提高分析问
题、解决问题能
力来满足不同
层次学生需要,
符合因材施教
原则。从而达到
培养学生养成
(2)若b
n
＝(－1)
11

＋< br>
a
n
a
＋

，求数列{b
n
}的 前n项和T
n
.
n1


“题后思考”的习
惯和提高数学
能力的效果。
七、课堂归纳
利用裂项法求和的基本步骤：
1.看；2.裂；3.验；4.消.
八、作业
1
1．已知正项等比数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，且2a
2
＝S
2
＋，a
3
2
＝2.
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；


1



的前n项和为T
n
，求满（Ⅱ）若b
n
＝log
2
a
n
＋3，数列

bb
＋
nn1


教师引导学生观察、对
比、 归纳

总结一般规律

1
足T
n
＞的正整数n的最小值.
3
2．已知{a
n
}为单调递增数列，S
n
为其前n项和，2S
n
＝a
n
＋n.
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式；
a
n
＋
2
2
(Ⅱ)若b
n
＝
n＋1
，T
n
为数列{b
n
}的前n项和，证明：T
n
2a
n
a
n
＋
1
1
＜.
2
3.正项数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n
－(n
2
＋n－1)S
n
－(n
2
＋n)＝
0.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
；
n＋1
2
(2)令b
n
＝数列的前n项和为T
n
.证明：对于任意的n2
，
(n＋2)
2
a
n
5
∈N
*，都有T
n
＜.
64

六、教学评价
自主性：注重发展学生的个性,分层式练习和选择性作业,充分体现学生的主体地位.
实践性：通过学生评析中的变式训练,给学生提供了一个很好的做数学的学习环境和学习机会.
可行性: 所教的班级是高一年级的普通班,学生数学功底一般, 具备一定的独立思考、合作探究能力.
有效性: 通过学生的练习与评析, 给学生提供了一个发现问 题,讨论问题,解决问题的平台,为学生高效获
取知识和提高综合素质创造条件.